法向量在立体几何中的应用.

1、法向量在立体几何中的应用查宝才（扬州市新华中学，江苏225002）向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。将向量引入中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法向量法。下面就向量中的一种特殊向量法向量，结合近几年的高考题，谈谈其在立体几何有关问题中的应用。1 法向量的定义1.1定义 1如果一个非零向量n 与平面垂直，则称向量n 为平面的法向量。1.2定义 2任意一个三元一次方程：AxByCzD0， (A2B 2C 20) 都表示空间直角坐标系内的一个平面

2、，其中n ( A, B , C )为其一个法向量。 1事实上，设点P0 ( x0 , y0 , z0 ) 是平面上的一个定点，n(A,B,C)是平面的法向量，设点 P( x, y, z) 是平面上任一点，则总有 P0 Pn 。 P0 P n 0 ， 故 ( A, B , C ) ( x x0 , yy0 , z z0 ) 0 ，即 A( x x 0 ) B( y y0 ) C (z z0 )0 ， AxByCz Ax 0By 0Cz00 ， 设 DAx 0By 0Cz0 ，则 式可化为 AxByCzD0 (A2B 2C 20) ，即为点 P 的轨迹方程。从而，任意一个三元一次方程：AxBy C

3、z D0 (A2B 2C 20) ，都表示一个平面的方程，其法向量为n( A, B , C ) 。2 法向量在立体几何中的应用2.1利用法向量可处理线面角问题设为直线 l 与平面所成的角，为直线 l 的方向向量v 与平面的法向量 n 之1间的夹角，则有（图 1）或（图 2）22nvv图 1图 2lln特别地0 时， l；时，0 ， l或 l /22例 1（ 2003 年 , 新课程、江苏 、辽宁卷高考题）如图 3，在直三棱柱 ABCA1 B1 C 1 中，底面是等腰直角三角形，侧棱 AA12， D， E 分别是 CC 1 与 A1 B 的中点，点 E 在平面 ABD上的射影是ABD 的重心 G

4、。求 A1 B 与平面 ABD 所成角的大小。（结果用反三角函数表示）A1解以 C 为坐标原点， CA 所在直线为 x 轴， CB 所在直线为y轴， CC 1 所在直线为 z 轴，建立直角坐标系，A设 CACB a ，x则A（ a,0,0）， B（0, a,0）， A（1 a,0,2）， D （ 0,0,1）ACB90 ，zC1DB1ECGB图 3yE（ a a,1）a a 1GE （a a 2）， BD（0,a,1），2,， G（,），6,233363 点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G， GE平面 ABD ，GEBD0 ，解得a2。GE（ 112）BA1（2,，, ,，3

5、332,2） GE平面 ABD ， GE 为平面 ABD 的一个法向量。GEBA 142由 cosGE , BA13| BA163|GE |3232得GE , BA1arccos2，3A1 B 与平面 ABD 所成的角为arccos2 ，即 arccos7。233评析因规定直线与平面所成角 0， ，两向量所成角 0， ，所以用此2法向量求出的线面角应满足| 。22.2利用法向量可处理二面角问题设 n1 ,n 2分别为平面,的法向量，二面角l的大小为，向量n1 , n2 的夹角为，则有（图 4）或（图 5）nnn图 4图 5lln例 2（2003年，北京卷高考题）如图 6，正三棱柱 ABCA1

6、B1 C1 的底面边长为33 ，3，侧棱 AA12D 是 CB 延长线上一点，且BDBC 。z求二面角 B1ADB 的大小。（略去了该题的，问）AA1取 BC 的中点 O，连 AO 。解由题意平面 ABC平面 BCC 1B1 ， AOBC ，CC1 AOOy平面 BCC1B1，BB1以 O 为原点，建立如图6 所示空间直角坐标系，xD图 6则A（0,0,33）3,0,0）， D（93,33,0），2， B（22,0,0）， B（1 2239333 ,0）， BB 1（0,3AD（,0,3）， B1 D （3,23,0），222由题意BB 1平面 ABD ， BB1（0, 33 ,0）为平面 A

7、BD 的法向量。2设平面ABD 的法向量为(,) ，n2xy z1n 2AD， n2 AD0 ， 9 x33z0则22，n2B1 Dn2 B1 D 03 x33 y02x33 y 。33) ，即2 不妨设n2(,1,z3x22BB 1n2331cosBB 1 , n22由，|BB1| n2|32322得BB 1 , n260 。 故所求二面角 B1ADB 的大小为 60 。评析（ 1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找证求”直接简化成了一步曲： “计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能

8、力的培养，体现了教育改革的精神。（ 2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取n2 (3, 1,3 ) 时，会算得 cos BB 1 , n21，从而所求二面角为120 ，但222依题意只为60 。因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。例 3（ 2002 年，上海春季高考题）zO1B1如图 7，三棱柱 OABO1 A1B1 ，平面 OBB 1O1平面 OAB ，A1O1OB 60 ，AOB90 ，且 OB OO1 2,OA3 ，OBy求二面角 O1ABO 的大小。（

9、略去了该题的问）A图 7x4解 以 O 点为原点， 分别以 OA ，OB所在直线为 x 轴， y 轴，过 O 点且与平面 AOB垂直的直线为z 轴，建立直角坐标系（如图7 所示），则 O(0,0,0)， O1 (0,1,3)， A(3 ,0,0) ， B (0,2,0) ， Oz 平面 AOB ， 不妨设平面AOB 的法向量为n1(0,0,1) ，设 平面 ABO1在此坐标系内的方程为：xByCzD0 ，3D0,由点 A，B， O1均在此平面内，得2BD0,B3CD0,解得 B31， D3 ， C22 平面 ABO 1 的方程为： x3 y1 z30 ，22从而平面 ABO 1 的法向量为n2

10、(1,31,) ，22 cosn1 ,n 2n1n22n1 , n2arccos2| n2 |4，| n1 |4即 二面角 O1AB2O 的大小为 arccos，4评析 在求平面的法向量时，也可用此法先求得在空间直角坐标系中该平面的方程，从而直接得到其法向量。2.3可利用法向量处理点面距离问题设n 为平面的法向量， A ， B 分别为平面内，外的点，则点B 到平面的距离| ABn |d（如图 8）。| n |nB略证：A图 8d | AB | | cosAB ,n |AB| |ABn| | AB n |AB | n | n |5例 4 （ 2003 年，全国高考题）如图 9，已知正四棱柱ABC

11、DA1B1C1 D1 , AB1, AA12，点 E 为CC1中点，点 F 为 BD 1 中点。求点 D1 到平面 BDE 的距离。（略去了该题的问）z解以 D 为原点，建立如图9 所示的直角坐标系，D1C1则 D( 0,0,0) ， B(1,1,0) ， E ( 0,1,1) ， D1(0,0,2) ，A1B1E BD(1,1,0)， BE(1,0,1)， BD1(1,1,2)，DFC y设 平面 BDE 的法向量为n( x, y, z) ，x AB则 nBD ， nBE ，图 9n BD 0 ， xy 0 ， 即xy，nBE0xz0x z 不妨设n (1, 1,1) ，则点D 1 到平面

12、BDE 的距离为d|BD1n |223 ，即为所求。| n |33例 5（2003年，北京春季高考题）如图 10，正四棱柱 ABCDA1 B1 C1 D1 中，底面边长为22 ，侧棱长为4，E， F 分别为棱 AB ， CD 的中点， EFBDG 。求三棱锥 B1EFD 1 的体积V 。（略去了该题的问）z解以 D 为坐标原点，建立如图10 所示的直角坐标系，D1C1则 B1(22 ,22,4) ， D1 (0,0,4)，A1B1E(2 2,2,0) ，F (2 ,22,0) ，DyGC D1E(2 2, 2, 4)， D1F( 2,2 2, 4)，AEFxBD1 B1(22,22,0)，图

13、10 cosD1E , D1FD 1 ED 1F2412|D1E | |D1F |，2626136sinD1E ,D1F5，13所以 SDEF1|DE | DF | sinDE,DF1262655 ，12213设 平面 D1EF的方程为： xByCz D0 ，将点 D1, E,F 代入得4CD0B12 22BD0，C32 ，4222B D0D32 平面 D1EF的方程为： xy32z320 ，其法向量为4n(1,1,32) ， 点 B1 到平面| D1B1n | 16，4D 1 EF 的距离 d| n |5 VB1 EFD11d151616SEFD 1353即为所求。3评析（1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式| Ax 0 By0Cz0D |dB 2C 2计算得到。A 2（