平面直角坐标系与函数的概念

1、专题四 函数123-1-2-3123-1-2-3O第一象限第二象限第三象限第四象限 第一节 平面直角坐标系与函数的概念一【知识梳理】1.平面直角坐标系如图所示：注意：坐标原点、x轴、y轴不属于任何象限。2.点的坐标的意义:平面中，点的坐标是由一个“有序实数对”组成，如(-2，3)，横坐标是-2，纵坐标是-3，横坐标表示点在平 面内的左右位置，纵坐标表示点的上下位置。 3.各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律各个象限内的点的符号规律如下表。坐标符号点的位置横坐标纵坐标第一象限第二象限第三象限第四象限坐标轴上的点的符号规律坐标符号点的位置横坐标纵坐标X轴正半轴负半轴Y 轴正半轴负半轴原点说明：由

2、上表可知x轴的点可记为(x , 0) ,y轴上的点可记做(0 , y )。 对称点的坐标特征:点P（）关于x轴对称的点P1（）；关于y轴对称的点P2（）；关于原点对称的点P3（）。5.坐标平面内的点和“有序实数对” (x , y)建立了_关系。 6.第一、三象限角平分线上的点到_轴、_轴的距离相等，可以用直线_表示；第二、四象限角平线线上的点到_轴、_轴的距离也相等，可以用直线_表示。 7.函数基础知识(1) 函数: 如果在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的 ，y都有 与之对应，此时称y是x的 ，其中x是自变量，y是 (2) 自变量的取值范围：使函数关系式有意义；在实际问题的函数式中，

3、要使实际问题有意义。(3)常量：在某变化过程中 的量。变量：在某变化过程中 的量。(4) 函数的表示方法: ； ； 。能力培养：从图像中获取信息的能力；用函数来描述实际问题的数学建模能力。 二【巩固练习】1. 点P(3，4）关于y轴的对称点坐标为_，它关于x轴的对称点坐标为_它关于原点的对称点坐标为_2.龟兔赛跑，它们从同一地点同时出发，不久兔子就把乌龟远远地甩在后面，于是兔子便得意洋洋地躺在一棵大树下睡起觉来.乌龟一直在坚持不懈、持之以恒地向终点跑着，兔子一觉醒来，看见乌龟快接近终点了，这才慌忙追赶上去，但最终输给了乌龟.下列图象中能大致反映龟兔行走的路程S随时间t变化情况的是( ).3.如

4、图,所示的象棋盘上，若位于点（1，2）上，位于点（3，2）上，则位于点（ ）A.（1，1） B.（1，2） C.（2，1） D.（2，2） 4. 如果点M(a+b,ab)在第二象限，那么点N(a，b)在（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的设y为第n层(n为 正整数)三角形的个数，则下列函数关系式中正确的是（ ） A、y4n4 B、y4n C、y4n4 D、yn2 6.函数中自变量x的取值范围是（ ） A x B x3 C x且x3 D 7. 如图 ，方格纸上一圆经过（2，5），（2，l），（2，3），( 6，1）四点，则该圆

5、的圆心的坐标为（ ） A（2，1）B（2，2）C（2，1） D（3，l） 8. 右图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离y与时间x的函数图象若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（ ） 9.已知M(3a9，1a)在第三象限，且它的坐标都是整数，则a等于（ ） A1 B2 C3 D0 10.如图， ABC绕点C顺时针旋转90后得到ABC，则A点的对应点A点的坐标是（ ） A（3，2）； B（2，2）； C（3，0）； D（2，l） 11在平面直角坐标系中，点到轴的距离为（） 12.线段CD是由线段AB平移得到的。点A（1，4）的对应点为C（4，7），则点B（4，1）的对应点D的坐

6、标为_。13.在平面直角坐标系内，把点P（5，2）先向左 平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的点的坐标是 。14.东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元该商场为了促销制定了两种优惠方法，甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；乙：按购买金额打九折付款某书法兴趣小组欲购买这种毛笔10支，书法练习本x（x10）本（1）写出每种优惠办法实际付款金额 y甲(元)、y乙（元）与x（本）之间的关系式； （2）对较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠方法付款更省钱？15. 某居民小区按照分期付款的形式福利售房，政府给予一定的贴息，小明家购得一套现价为120000元的房子，购房

7、时首期（第一年）付款30000元，从第二年起，以后每年应付房款为5000元与上一年剩余欠款利息的和，设剩余欠款年利率为04%（1）若第x(x2）年小明家交付房款y元，求年付房款y（元）与x(年）的函数关系式；（2）将第三年，第十年应付房款填人下列表格中三【课后反思】第二节 一次函数一【知识梳理】 1. 一次函数的意义及其图象和性质 （1）一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成 (k、b为常数，k 0）的形式，则称y是x的一次函数(x是自变量,y是因变量特别地，当b 时，称y是x的正比例函数（2）一次函数的图象：一次函数y=kx+b 的图象是交x轴( ， ),y轴( ， ） 的一条直线，

8、正比例函数y=kx的图象是 经过原点(0，0）的一条直线，如右表所示 （3）二元一次方程组的解是相应的两个一次函数图像的交点坐标，假如方程组无解，则两直线平行，即k值相等。（4）一次函数的性质：y=kxb(k、b为常数，k 0）当k 0时，y的值随x的值增大而 ；当k0时，y的值随x值的增大而 （5）直线y=kxb(k、b为常数，k 0）时在坐标平面内的位置与k、b在的关系 2. 一次函数表达式的求法 （1）待定系数法：先设出解析式，再根据条件列方程或方程组求出未知系数（即k、b的值），从而写出这个解析式的方法，叫做待定系数法。 （2）一次函数表达式的求法：确定一次函数表达式常用待定系数法，其

9、中确定正比例函数表达式，只需一对x与y的值，确定一次函数表达式，需要两对x与y的值。x、y的对应值可能是以点的坐标的形式出现，即由点求函数解析式） 方法与建议：研究函数的问题要数形结合，由数得形，由形得数；注意考虑函数图像的升与降、交点与顶点、开口方向、对称轴等热门元素。二【巩固练习】 1. 已知函数：y=x，y= ，y=3x1，y=3x2，y= ，y=73x中，正比例函数有（ ） A B C D 2. （2007浙江湖州）将直线y2x向右平移2个单位所得的直线的解析式是（ ）A、y2x2 B、y2x2 C、y2(x2) D、y2(x2)3.（2007四川乐山）已知一次函数的图象如图所示，当时

10、，的取值范围是（） OxyAB2第5题图图）xyO3第4题图第3题图02xy-444.（2007浙江金华）一次函数与的图象如图，则下列结论； ； 当时，中，正确的个数是（ ）A0B1C2D35.（2007陕西）如图，一次函数图象经过点，且与正比例函数的 图象交于点，则该一次函数的表达式为（ ） AB C D6. 如果直线y=kx+b经过一、二、四象限，那么有（ ） Ak0，b0； Bk0，b0； Ck < 0，b0； Dk 0，b07. 直线 y=x4与 x轴交于 A，与y轴交于B, O为原点，则AOB的面积为（ ） A12 B24 C6 D108.(2007海南)一次函数的图象不经过

11、( ) A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限9.若一次函数y=kx3经过点(3，0)，则k= ，该图象还经过点( 0， ）和（ ，2）.10. 生物学研究表明：某种蛇的长度y()是其尾长x(cm)的一次函数，当蛇的尾长为6cm时，蛇长为45.5；当蛇的尾长为14cm时，蛇长为105.5；当蛇的尾长为10cm时，蛇长为_； 11.若正比例函数的图象经过（l，5）那么这个函数的表达式为_，y的值随x 的减小而_12. 一次函数y=2x4的图象如图所示，根据图象可知，当x_时，y0；当x>0时，y_13.函数y=3x5中，x的取值范围为2x3，则y的最大值为 .14（2

12、007湖北孝感）如图，一次函数的图象经过A、B两点，则关于x的不等式的解集是 15.（2007山东淄博）从2，1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数 的系数，则一次函数的图象不经过第四象限的概率是_ .16.某加工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工若进行粗加工，每吨加工费用为600元，需1/3天，每吨售价4000元；若进行精加工，每吨加工费用为900元，需1/2天，每吨售价4500元。现将这50吨原料全部加工完。设其中粗加工x吨，获利y元，求y与x的函数关系式（不要求写自变量的范围）如果必须在20天内完成，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？17.（2007甘

13、肃白银等7市）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x （元）152025y （件）252015若日销售量y是销售价x的一次函数（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式； （2）求销售价定为30元时，每日的销售利润18.(2007甘肃陇南) 如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？19.（2007江苏盐城）某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市

14、参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话。小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克。小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元。小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系。（1）求y（千克）与x（元）（x0）的函数关系式；（2）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，那么当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？【利润销售量×（销售单价进价）】20.（2007江苏南京）某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费

15、的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20时，按2元计费；月用水量超过20时，其中的20仍按2元收费，超过部分按元计费设每户家庭用用水量为时，应交水费元（1）分别求出和时与的函数表达式；（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：月份四月份五月份六月份交费金额30元34元42.6元小明家这个季度共用水多少立方米？三【课后反思】第三节 反比例函数一【知识梳理】 1反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 (k为常数k0）的形式（或y=kx-1，k0），那么称y是x的反比例函数2反比例函数的概念需注意以下几点：(1)k为常数，k0；（2）自变量x的取值范围是x0的一切实数；（3

16、）因变量y的取值范围是y0的一切实数3反比例函数的图象和性质： 反比例函数的符号 0 0图像（双曲线）性质函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，即随着的增大而减小函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，随着的增大而增大4画反比例函数的图象时要注意的问题：（1）画反比例函数的图象要注意自变量的取值范围是x0，因此，不能把两个分支连接起来；（2）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以，画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势5. 反比例函数y= (k0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y=(k0)上任意一

17、点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为k。二【巩固练习】1、（2007浙江金华）下列函数中，图象经过点的反比例函数解析式是（ ）A B CD2. 反比例函数中，当0时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）A. ； B. 2； C. ； D. 23. 函数y= 与y=kx+k在同一坐标系的图象大致是图中的（ ） 4. 已知点（2，）是反比例函数y=图象上一点，则此函数图象必经过点（ ） A（3，5）； B（5，3）； C（3，5）； D（3，5）5.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生产x只（x取正整数）这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（ ）

18、 A； B； C； D 6. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ）Ax1 Bx1 Cx1 Dx17.（2007湖北孝感）在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是 （）Ak3 Bk0 Ck3 D k08.（2007山东临沂）已知反比例函数的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点A(，y1)、B(5，y2)，则y1与y2的大小关系为（ ）A、y1y2 B、y1y2 C、y1y2 D、无法确定9、（2007山东青岛）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m3 ) 的反比例函数，其图象如图所示当气球内的气压大于

19、120 kPa时，气球将爆炸为了安全起见，气球的体积应（ ）A不小于m3 B小于m3 C不小于m3 D小于m310、（2007山东枣庄）反比例函数的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果SMON2，则k的值为（） (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-411、（07江西）对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）A点在它的图象上B它的图象在第一、三象限C当时，随的增大而增大D当时，随的增大而减小12、（2007江苏南京）反比例函数（为常数，）的图象位于（）第一、二象限 第一、三象限 第二、四角限 第三、四象限13、（2007浙江宁波）如图，是一次函数y=kx+b

20、与反比例函数y=的图像，则关于x的方程kx+b=的解为( ) (A)xl=1，x2=2 (B)xl=-2，x2=-1 (C)xl=1，x2=-2 (D)xl=2，x2=-114、已知函数 y=（m21），当m=_时，它的图象是双曲线15、如图是一次函数和反比例函数的图象，观察图象写出时，的取值范围 16、（2007广东梅州）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为 17、已知反比例函数的图象经过点P（a+1，4），则a=_18、（2007陕西）在的三个顶点中，可能在反比例函数的图象上的点是 OyxBA19、

21、（2007四川成都）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求的面积三【课后反思】 第四节 二次函数一【知识梳理】1、形如y=ax2bxc (a、b、c是常数，a0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项2、二次函数的图像是抛物线，当a>0时开口向上，当a<0时开口向下。（主要研究开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点、y随着x的变化情况、最大（小）值等）(1) yax2(a0)的图像：顶点（0，0），对称轴y轴。(2) y=a(xh)2k的图象：顶点坐标（h,k ），对称轴x=h

22、。研究形如y=ax2bxc的二次函数时，常将它通过配方转化为y=a(xh)2k的形式。理解函数y=a(xh)2k的图象与函数y=ax2、y=a(xh)2的图象之间的关系，当a的绝对值相等时，抛物线形状相同，此时把其中一个函数的图像通过平移可以得到另一个函数的图像（借助顶点坐标的变化，能更好地理解抛物线的上下（纵坐标）、左右（横坐标）的平移关系），如函数y2(x1)21的图象可以看成是将函数y=2(x1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的.(3)二次函数yax2bxc(a0)的图像及性质：通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标

23、：对称轴是x的直线、顶点坐标(，)即当x=时，函数有最大（小）值为y=.抛物线与y轴的交点（0，c），与x轴的交点是纵坐标为零，横坐标为ax2bxc=0的根（假如有解）。 当a>O时，抛物线yax2bxc(a0)开口向上，顶点是抛物线上位置最低的点。在对称轴的左边，曲线自左向右下降，函数值y随x的增大而减小；在对称轴的右边，曲线自左向右上升，函数值y随x的增大而增大。当a<O时，抛物线yax2bxc(a0)开口向下，顶点是抛物线上位置最高的点。在对称轴的左边，曲线自左向右上升，函数值y随x的增大而增大；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，函数值y随x的增大而减小。3抛物线的画法：列表

24、（常以顶点的横坐标为中心向两旁取值）、描点、连线（平滑曲线）。4.二次函数与一元二次方程的关系： （1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况 （2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2bxc=0的根 （3）当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一

25、元二次方程ax2bxc0有两个相等的实数根；当二次函数yax2+ bx+c的图象与 x轴没有交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根5.二次函数的应用： （1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值； （2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值（3）解决实际问题时的基本思路：理解问题；分析问题中的变量和常量；用函数表达式表示出它们之间的关系；利用二次函数的有关性质进行求解；检验结果的合理性（有时需要构建平面直角坐标系）学法指导：1.待定系数法（1）要求几个系数就

26、需几个方程（点的坐标）；（2）已知抛物线经过三个点的坐标，设其解析式为y=ax2+bx+c；如果已知顶点的坐标或是对称轴，就设二次函数的解析式为y=a(xh)2k.2. 对二次函数的考查经常跟方程、几何等知识相结合，要灵活、综合地利用各种知识解决二次函数的问题（特别是直角三角形、全等相似等知识），解题时切忌心浮气躁。 3.“数形结合”，由数得形，由形得数，要借助图形的直观性进行思考。4.掌握相关的基础知识，注意积累一些二次函数的解题思路。如：由点的坐标求得解析式（待定系数法），由解析式求得点的坐标【把点的横（纵）坐标代入解析式，求得点的纵（横）坐标。有时需要设未知数，通过探究题目中的相等关系列

27、方程，求的点的坐标】；注意抛物线的轴对称性在解题中的运用；两点的距离公式：已知两点则AB=二【课前练习】 1. 直线y=3x3与抛物线y=x2 x+1的交点的个数是（ ） A0 B1 C2 D不能确定两图像交点的坐标就是两函数组成的方程组的解2. 函数的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根； B有两个异号实数根 C有两个相等实数根； D无实数根3. 不论m为何实数，抛物线y=x2mxm2（ ） A在x轴上方； B与x轴只有一个交点 C与x轴有两个交点； D在x轴下方4.如图所示的抛物线 经过原点，那么的值是 5.已知二次函数的图象 如图所示，则点在第 象限x

28、yO第5题Oyx第4题图第6题6.如图，某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为 。（精确到0.1米）7. 某商人将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销价提高（ ） A.8元或10元； B.12元； C.8元； D.10元8.已知二次函数y=x26x+8，求： （1）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；（2）求抛物线的顶点坐标； （3）画出此

29、抛物线图象，利用图象回答下列问题： 方程x2 6x8=0的解是什么？ x取什么值时，函数值大于0？ x取什么值时，函数值小于0？9.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，回答下列问题：（1） 设运动后开始第t（单位：s）时，五边形APQCD的面积为S（单位：cm2），写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围（2）t为何值时S最小？求出S的最小值 10.如图，直线与轴、轴分别交于A、B两点，点P是线段AB的中点，抛物线经过点A、P、O（原点）。（1）求过A、P、

30、O的抛物线解析式；（2）在（1）中所得到的抛物线上，是否存在一点Q，使QAO450，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。三【课后训练】1.代数式的最大值为 。OxyOxyOxyOxyABCD2.在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ）3、（2007江西省）已知二次函数的部分图象 如图所示，则关于的一元二次方程的解为 4、(06浙江绍兴9)小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距 离是（ ）A3.5m B4m C4.5m D4.6m5、（06诸暨市8）抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，那么该抛 物 线在y轴

31、右侧与x轴交点的坐标是( )第3题第4题图第5题图A（，0）； B（1， 0）； C（2， 0）； D（3， 0）6、（2007山东日照）已知二次函数y=x2-x+a(a0)，当自变量x 取m时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（）(A) m-1的函数值小于0          (B) m-1的函数值大于0       (C) m-1的函数值等于0       (D) m-1的函数值与0的大小关系不确定7.已知二次函数的图象如图所示，

32、有下列5个结论： ； ； ； b24ac；当x>1时，y随着x的增大而增大；其中正确的结论有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个8.（2007天津市）知一抛物线与x轴的交点是、B（1，0），且经过点C（2，8）。（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标。OABDEyxC第10题图9.（2007广东梅州）已知二次函数图象的顶点是，且过点（1）求二次函数的表达式；（2）求证：对任意实数，点都不在这个二次函数的图象上10.（06湖南常德）如图，在直角坐标系中，以点为圆心，以为半径的圆与轴相交于点，与轴相交于点。（1）若抛物线经过两点，求抛物线的解析式，并判断点是否在该抛物线上。（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点，使得的周长最小。（3）设为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点，使得四边形是平行四边形。若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。11.（2007四川成都）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和. （1）求此二次函数的表达式； （2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相 似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的