注重对几何概型题意的理解

1、以学促教，师生协同成长的实践研究几何概型教学设计太仓市明德高中何志衔2154001. 基本情况授课对象本节课教授的是明德高中普通班的学生，基础比较薄弱，普遍比较惧怕数学，不喜欢呆板的运算和证明。但思维比较灵活，经激发后也有一定的思辨能力。教材分析本节课是在讲授了几何概型的基本概念以后，进一步对几何概型中D 测度和 d 测度的确认方法进行讨论。 几何概型是新课改以后新加入的内容，是与以往教材安排上的最大的不同之处。这充分体现了新课改强调的数学与实际生活的紧密关系，是学生思维从有限到无限的自然延伸。同时它在概率论中有非常重要的作用.本节课有利于学生动手试验、合作探究能力的提升， 有助于提高学生发现

2、问题、 解决问题的能力， 有助于增强学生数学知识在实际问题中的应用。普通高中数学课程标准对几何概型的教学要求指出：介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义2009 高考说明中要求：了解几何概型的意义可见大纲、考纲对几何概型的教学要求都比较低教科书中选的例题也是比较简单的但是执教过几何概型这部分内容的教师，却有这样的感受： “几何概型”这一概念的教学比较抽象，学生理解起来困难，遇到具体问题时，时常出错，主要是对题目的理解上出现问题。教学目标：（1）指导学生如何明辨题意，使学生能够较为清楚的辨认几何概型类型问题中的D 测度和 d 测度。（ 2）

3、 培养学生数形结合的能力，能够较为熟练的掌握几何概型中的图像与具体数据之间的联系。（ 3） 培养学生的阅读能力，通过仔细辨析题目中间每句话，以至于每个字的含义，提升学生理解分析题目的能力。（ 4） 通过本节课数形结合，比较辨析的方法，希望能使学生认识到数学学习并不是完全呆板的，体会到学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣。教学重点：通过对具体问题的讨论分析，增强学生理解几何概型问题的能力。教学难点：在几何概型中把实验的基本事件组和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，并且从中理解如何利用几何概型的知识把实际问题转化为各种几何概率问题，并且通过具体事例比较学会对D 测度和 d 测度的确定。2.

4、 教学过程2.1 复习师：前面我们学习了几何概型的概念，已及几何概型计算的公式，我们再来回忆一下。几何d的测度概型中，事件A 的计算公式为？（学生一起回答）P(A)。D 的测度师：几何概型与古典概型的区别呢？（学生一起回答）几何概型的基本事件数有无数个，古典概型只有有限个。那几何概型和古典概型的共同点呢？（学生一起回答）几何概型和古典概型每个基本事件的发生都是等可能的。师：好的， 那么今天这节课我们就是接着上一课的内容，中的 D 测度和 d 测度如何来确定。来一起研究一下具体几何概型问题活动意图： 承前启后， 开门见山。 在复习几何概型的同时明确了本节课的主要内容和需要完成的任务。2.2讲解新

5、课师：首先我们先来看一个例题：例 1.1 Rt ABC 中， B=90 °， A=30 °，在 AC 上取一点 M ，求使 AM AB 的概率。师：哪位同学能说一下解题思路？生：可以在AC 上去一点D ，使得 AD=AB ，那么 D 测度 =AC 长度， d 测度 =AD 长度。记AM AB 为事件 A， P(A)d3 。D2师：大家同意这样的解题思路吗？（大多数同学回答）同意！师：好，那么我们把这个题目稍微改变一下，再来看一下。例 1.2 Rt ABC 中， B=90 °， A=30 °，以 B 为起点作射线与AC 相交于点 M ，求使AM AB 的概

6、率。生 A ：不是跟上一题一样吗？师：有同学说和上一题一样，有同学有不同意见啊？生 B ：好像是有不同，上题 M 点是在 AC 上取的，这题 M 点虽然也是在 AC 上，但是却主要由以 B 作为起点的射线有关。师：生 B 说的很有道理，那么这种不同影响了几何概型中的什么呢？有没有人可以更深入的谈一谈？生 C：应该和 D 测度有关， 原先 M 点直接在 AC 边上任取， 那么 D 测度就是 AC 边的长度，现在 M 点是射线与 AC 边的焦点， M 点就取决于射线的方向了。 （师问：方向和什么有关？）应该和角度有关。 （师：很好，所以 D 测度为？）是 B 的度数。师：太好了，说的很好，那么就由

7、你来说说解题的过程吧。生 C：设有一条射线 BD AC=D ，使得 AD=AB ，那么 D 测度 = B=90 °， d= ABD=75 °，记 AM AB 为事件 A， P(A)d755D90。6师：从这两个问题中我们可以发现，我们不能看着题目好像差不多就光凭经验去解，而要仔细阅读题目，理解题意，小心确定D 测度和 d 测度。活动意图： 通过对两个相似问题的辨析，希望能够使学生改变凭经验做题，而不仔细认真阅读分析问题的习惯。师：那么我们来做一个练习。练习 1. ABC 中平行于底边BC 的直线 MN 与高 AH 等可能的相交于点P，求S AMN1 S ABC 的概率。42

8、.在 ABC 中任取一点 P，过点 P 作平行于底边 BC 的直线 MN 交 AB 、AC 于 M 、N。求SAMN1 S ABC 的概率。4师：请两位同学上黑板来解一下。（老师巡视）生 A ：（解第一题）如图，作AH的中点 D ，过点 D 做 BC 的平行线 EF，那么 D 测度 =AH ，d 测度 =AD ，记 S AMN1为事件 A ，则 P( A)dAD1S ABCDAH。42AAEDFEFBHCBC（第一题）（第二题）生 B ：（解第二题）如图，作ABC 的中位线 EF， D 测度 = S ABC ， d 测度 = S AMN ，记S AMN1 S ABC 为事件 A，则 P(A)d

9、S AMN1DS ABC.44活动意图： 通过针对性的练习，及时巩固刚才所学习的要点。并且让学生形成仔细阅读题目的惯性。学会对一些常见数学问题中语言表达的理解。师：那么我们接下来比较一下下面这两个问题例 2.1往一个画着边长6cm 正方形格子的网格桌布上投掷一枚直径2cm 的硬币，那么硬币完全正方形格子里面的概率是多少？例 2.2往一个画着边长6cm 正方形里面投掷一枚直径2cm 的硬币，硬币不会完全落到正方形外面，求硬币完全落在正方形里面的概率。师：各位同学仔细阅读这两个问题，画个图，仔细思考一下在这两个问题中D 测度和 d 测度分别是什么，应该怎样来考虑。 （等一段时间） 我们可以看到，

10、两个题目都是在投硬币，硬币是有面积的，如果硬币上每一个点都要拿来分析显然是不可能的，所以我们就要抓住硬币上面最重要也最特殊的点硬币的圆心来研究。我们可以想到在第一题中，由于桌布上每个正方形格子都是一样的，那么硬币落在哪个格子中的概率都是一样的， 所以我们也没有必要每个格子都研究，我们只要研究一个格子。如图，我们可以看到，如果硬币和正方形格子内切的话， 所有与正方形格子内切的硬币的圆心组成了一个小正方形，如果硬币的圆心落在小正方形以内的话，硬币也就完全落在正方形格子内了。我们把它打上阴影。因为每个格子是一样的，所以硬币圆心落在正方形格子外面的可能我们就可以不计了。那么，根据我讲的，我们同学发现这

11、个问题应该怎么解呢?生：由图可知， D 测度 = S正方形 =36 ， d 测度 = S阴影 =16 ，记“硬币完全落在正方形格子内为事件 A ”，则d164P(A)36。D9师：好那接下来我们看一下第二题有什么不同呢？生：第二题只有一个正方形。师：很好，这是很重要的地方。还有什么？（等待一下）看看这道题目中还特意强调了什么嘛？生：强调了硬币不可能完全落在正方形外面。师：很好，你抓住了这题的关键！那请问强调这句话有什么意义呢？生：限制了硬币圆心可能落在的位置。师：太好了，那么我们就来从图中画出硬币圆心所有可能落在的位置。（经讨论修改以后画出）师：好了，通过大家的努力我们把图像画出来了，我们特别

12、要注意一下图中4个角上都是1/4 个圆。那么请一位同学最后来解决了这个问题吧。生：由图可知，D 测度 = S正方形4S矩形S圆=36+24+ d 测度 = S阴影 =16记“硬币完全落在正方形里面”为事件A， P(A)d16D60师：好的， 我们已经投了两次硬币了，那么不妨我们再投一次，不过这次就是你们自己投自己分析吧。练习 2 如图，投一枚直径2cm 硬币到这个同心圆图形上，大圆半径4cm，小圆半径1cm，硬币完全落在图形内部，那么硬币与小圆有交点的概率。生 A ： D 测度 =大圆面积 =16 ，d 测度 =阴影面积 =4记“硬币与小圆有交点的概率”为事件AP( A)d1D4师：大家看一下

13、生A 的做法正确吗？ （大多数人认为正确）大家再仔细读一下，大家有没有注意到题目中的每一句话呢？生 B：好像没有体现出“硬币完全落在图形内部”这句话。师：对，这就是我们很多同学忽略掉的一句话。那么这句话对题意有什么影响呢？生 B ：硬币的圆心不可能等可能的落在整个大圆内，而应该落在一个半径为3 的圆内。师：很好，的确如此。 （画出来）我们同学觉得是不是这样？生：是的师：那么我们再来想一下这一题正确的解题过程。生 C：由图可知， D 测度 =9 ，d 测度 =4 记“硬币与小圆有交点”为事件A ，则P( A)d4D9师：很好。 那么通过前面例子和练习我们要学会对题目的每一句话，每一个字都要认真思

14、考含义，仔细推敲不能马虎。活动意图：在前面的例题和练习的基础上加深一点难度，充分发挥思维活跃的学生的主动性。并且这 3 个同类型的问题放在一起， 让学生能够比较出题目中条件的细微差别对题目含义的影响，从而充分认识到仔细阅读理解题目的重要性。2.3总结：同学们，这节课通过这些例题和练习希望大家能够理解的是，在几何概型题目和其他很多类型问题不同， 很多量并不是由具体数字或参数表示的， 题目里面的文字也有很多隐含了数量在内。所以我们在读题的时候一定要认真仔细不能漏过任何一句话。活动意图：再次强调本节课的目的，加深学生的印象。2.4布置课后作业活动意图： 通过课后作业巩固这节课所讲的内容，考察学生对新知识的掌握情况，有哪些不足之处，检验课堂效果。3 回顾与反思3.1 教学设计与思路在学生已经学过了几何概型的概念和公式的前提下，通过对几个类似例题和练习的比较分析， 让学生学会如何阅读题目。在这过程中始终强调阅读题目的重要性， 循序渐进， 逐步增加题目的难度， 力求实现知识传授的自然性和有序性。 教法设计采用的是启发式和合作探究式教学。3.2 教学反思从教学效果上来来看，因为课前充分研究了教材和教法并精心设计了师生互动，所以课