牧场管理数学建模

1、摘要 .1第一章问题重述与问题分析 .21.1 问题重述 .21.2 问题分析 .2第二章模型假设与符号说明.32.1模型的假设 .32.2符号说明 .3第三章模型建立与求解 .53.1基本约束条件 .53.2模型一 .53.2.1模型建立 .53.2.2结果分析 .63.3模型二 .73.3.1模型建立 .73.3.2结果分析 .83.4模型三 .83.4.1模型建立 .83.4.2结果分析 .9第四章模型检验.11第五章优缺点与推广 .125.1 模型优点 .125.2 模型缺点 .125.3 模型推广 .12结束语 .13参考文献 .14附录 .15附录一：模型一的lingo 代码与运行

2、结果 .15附录二：模型二的lingo 代码与运行结果 .16附录三：模型三的lingo 代码与运行结果 .18摘要我国幅员辽阔，在内蒙古等地存在大量草场，当地居民基本都以放牧为生， 并且牧场规模庞大，畜群众多，若有效合理的管理牧场将获得更为丰厚的效益。在一定面积的土地上，要放牧一定量的羊群，为使牧场主获得最大的收益。可以采取一些措施方案，使羊群的规模最大化，每年卖出更多的羊且保持羊的繁 殖平衡。草原牧民的主要经济收入来源于牧场，牧场管理一直以来都是牧民不得不考虑的一个重要问题。优秀的管理意味着更多的收入，更好的产出，以及由此而产生的更强的竞争力。毫无疑问，如何优化牧场管理是一个切实的极具挑战

3、性的现实问题 ,为解决牧场管理的问题，我们从合理放牧使其牧场效益最大化角度出发，运用目标函数最优化的原理，建立了相应的数学模型。本文要解决的问题有： 1?每年要保留多少的母羊羔；2.草场能容纳多少只羊；3.夏季应存储的多少草供冬季之用。根据题目各龄羊数目之和即为牧场中羊的总数量，而每个年龄段的羊的数量是不变的，提供的羊的繁殖率数据，再结合每年在春季的第一天产完全部羊羔及牧场里每年的相同时间各年龄段的羊群数目相等的假设，可以列出各龄羊之间变化的等量关系，以此来确定 0-1 岁母羊羔的存活率 ( 每年生产的羊羔留到下一年的比例) 及在春季的第一天牧场里的各种年龄的羊占总数目的比重，由此来确定每年要

4、保留多少的母羊羔到下一年；根据问题 1 的求解结果，结合题中给出的某品种草的日生产率、羊对草的需求量数据，以各个季节羊群对草的消耗量不大于草场能够提供的草的数量为前提，找出羊群总数与草场面积之间的对应关系，进 而确定在面积一定的草场内能容纳羊的总数量的同时计算出夏季应存储多少草供冬季之用。我们从合理放牧使其牧场效益最大化角度出发，运用目标函数最优化的原理，建立了三个相应的数学模型。模型一，约束条件为：四季产草量看做一个整体，那么一年下来羊吃的草量不能大于一年草的总产量，再根据题目所给其他条件建立模型。模型二，约束条件为：我们假设春季秋季生长出的草自给自足，冬季所需的 草由夏季提供，夏季保存到冬

5、季的草重量不变，只剩50% 的能量，且假设夏季保存给冬季的草的质量为 t，再根据题目所给其他条件建立模型。模型三，假设每个季节剩下的草将会留给下个季节用，所以我们不考虑能量的转换，再根据题目所给其他条件建立模型。通过模型建立过程可以知道，为了达到基本目的，更为了造成更少的浪费，甚至 0 浪费，本文从模型三得到最优方案，即：每年所保留下来的母羊羔为291(xJ 只 ，此牧场能放牧的羊数为3207(x 0 x2 x3 x4 x5)只。全年下来浪费的草量为 152803.8 270000 -422803.8 = 0(kg)，其他季节剩余草量都可以留到下一个季节。1第一章问题重述与问题分析1.1 问题

6、重述有一块一定面积的草场放牧羊群，管理者要估计草场能放牧多少羊，每年保留多少母羊羔，夏季要贮存多少草供冬季之用 ?为解决这些问题我们得到了如下的背景材料：1）本地环境下这一品种草的日生长率为季节冬春夏秋日生长率（ g/m2 ）03742）羊的繁殖率通常母羊每年产 13 只羊羔， 5 岁后被卖掉。为保持羊群的规模可以买进羊羔，或者保留一定数量的母羊。每只母羊的平均繁殖率为年龄0112233445产羊羔01.82.42.01.81 八3）羊的存活率 不同年龄的母羊的自然存活率（指存活一年）为年龄122334存活率0.980.950.804）草的需求量母羊和羊羔在各个季节每天需要的草的数量（kg）为

7、季节冬春夏秋母羊2.052.401.151.30羊羔01.001.6501 八、注：只关心羊的数量，而不管它们的重量。一般在春季产羊羔，秋季将全部公羊和一部分母羊卖掉，保持羊群数量不变。1.2 问题分析由题意可知，我们需要解决如下三个问题：问题 1: 每年要保留多少的母羊羔；问题 2: 草场能容纳多少只羊；问题 3: 夏季应存储的多少草供冬季之用。并且我们可知在春季牧场中含有0-1 岁、 1-2 岁、 2-3 岁、 3-4 岁、 4-5 岁的 五种年龄的羊，各龄羊数目之和即为牧场中羊的总数量。根据题目提供的羊的繁殖率数据，再结合每年在春季的第一天产完全部羊羔及牧场里每年的相同时间各年龄段的羊群

8、数目相等的假设，可以列出各龄羊之间变化的等量关系，以此来确定 0-1 岁母羊羔的存活率（每年生产的羊羔留到下一年的比例）及在春季的第一天牧场里的各种年龄的羊占总数目的比重，由此来确定每年要保留多少的母羊羔到下一年；根据问题1 的求解结果，结合题中给出的某品种草的日生产率、羊对 草的需求量数据，以各个季节羊群对草的消耗量不大于草场能够提供的草的数量为前提，找出羊群总数与草场面积之间的对应关系，进而确定在面积一定的草场内能容纳羊的总数量的同时计算出夏季应存储多少草供冬季之用。我们从合理放牧使其牧场效益最大化角度出发，运用目标函数最优化的原理，建立了相应的数学模型。2第二章模型假设与符号说明2. 1

9、 模型的假设2(1) 假设牧场的面积为： A= WOOOOOm(2) 母羊只在春季产羊羔，公羊羔和母羊羔各占一半，当年秋季将全部公羊 羔和一部份母羊羔卖掉，以保持每个年龄的母羊数量不变。(3) 只考虑羊的数量，不考虑它们的体重。(4) 假设平均每个月有 30 天，即每一个季节是 90 天。(5) 假设养一种羊的方式为第一年只养 1 龄羊，第二年只养 2 龄羊 ( 小羊在 秋季卖出 ) ，到第五年的时候将所有 5 龄羊全卖，第六年又重新循环。以上五点假设适用于各个模型，并且在不同的模型中还会给出不同的假设， 具体可见模型的建立于求解。2. 2 符号说明表 1 各年龄段母羊数量各年龄段母羊数量00

10、.5X。0.5 1X11 2X223X334X445X53表 2 各季节的产草量各季节产草量春季夏季门 2秋季门 3冬季门 4表 3 各季节羊的吃草总量春季m1夏季m2秋季m3冬季m4以上符号说明适用于各个模型，并且在不同的模型中还会给出相应的符号说明，具体可见模型的建立与求解中的说明。4第三章模型建立与求解3. 1 基本约束条件(1) 各个年龄阶段羊的数量：由 0 1 年龄阶段母羊无繁殖能力可得： X2 = X!；由 1 2 年龄段母羊存活率为0.98 可得： x3= 0.98X 4；由 2 3 年龄段母羊存活率为0.95可得： X4=0.95 X3 ；由 3 4 年龄段母羊存活率为0.80

11、可得： x0.80x4 ；每年龄段的母羊所生羊羔数的总和为：x0 1.8x 22.4x3 2.0x 4 ? 1.8X5 ；(2)每季节的产草量：m =90*3* A/1000(kg)；n2 =90*7* A/1000(kg)；n3 =90*4* A/1000(kg)；n0(kg) ；(3) 各季节羊的吃草量：m< i = (x 2 x3 x4 x5) * 2.4* 90冷 * 1* 90(kg)m2=(x2x3x4x5) *1.15* 90 x0 * 1.65* 90(kg)m3= (x 1x2x3x4 X5 )*1.30* 90(kg)m4=( 为 x2 x3 x4 x5)* 2.05

12、*90(kg)为了适应不同的情况，我们会建立三个不同模型，然后分析不同模型的结果 并结合实际情况选出最佳模型。3. 2 模型一 3.2.1 模型建立1. 决策目标：要得出草场能放牧多少羊，所以目标函数为羊的总数，即max 二 x0 x2 x3 x4 x52. 约束条件：我们把四季产草量看做一个整体，那么一年下来羊吃的草量不能大于一年草的总产量，即 mj+m z +ms + m qV rn j+nz+ns + n q 通过以上分析可以得到如下线性规划模型：max = x o x2 x3 x4 x5”A=1000000X2=X rX3=0.98 X 2x4 =0.95 X3X5=0.80 X 4X

13、0 =1.8* X 2+2.4* X 3+2.0* X 4+1.8* X 55n 1=90*3*A/1000n 2 =90*7*A/1000n 3=90*4*A/1000n 4=0m1=(x 2 +X3 +X 4 +X5)*2.4*90+ X 0*1*90 m 2=(x 2 +X 3+X 4 +X5)*1.15*90+ X 0*1.65*90m3=(x 1 +X2+X3+X 4+X5 )*1.30*90m4=(x 1 +X2 +X3+X4 +x 5) *2.05*90m1+m 2+m 3+m 4< f +n 2 +n 3+n43.2.2 结果分析由上述线性规划模型用lingo 求解可得出

14、如下结果 ( 求解过程见附录一 ) ：A =1000000X02142x1 =291X2 =291x3 = 285X4 =271X5 =216mb =4228038m2 =428328.9m3 =1586649mu =250202.4 =270000n2 =630000n3 = 360000n 4=0由上述结果可知每年所保留下来的母羊羔为291(X 1 ) 只,此牧场最多能放牧的羊数为 3207 ( X。X2 X3 X4 X5 )只。其中包括 2142(X 0 ) 头羊羔， 291( X2 ) 头 1? 2 年龄段的母羊， 285( X3) 头 2? 3 年龄段的母羊， 271(X 4) 头

15、3? 4 年龄段的母羊， 216(X 5) 头4? 5 年龄段的母羊。在春季需要422803.8(m)kg 草，夏季需要428328.9(m 2) kg 草，秋季需要158664.9(m 3 ) kg 草，冬季需要250202.4(m 4) kg草。 春季产草 270000(njkg , 夏季产草 630000(n 2) kg , 秋季产草 360000(n 3 ) kg , 冬季产草 0(n 4 ) kg，仔细观察上面模型，我们不难发现草的产量每个季节是不一样的，尤其冬季草是完全不生长的，所以必须调节每季节的草，但此模型缺少夏季供给冬季的草量，再加上考虑鲜草向甘草的转化率，于是，我们添加假设

16、建立一个更优模型。63. 3 模型二 3.3.1 模型建立1. 决策目标：要得出草场能放牧多少羊，所以目标函数为羊的总数，即 max = x 0 x2 x3 x4 x52. 约束条件：我们假设春季秋季生长出的草自给自足，冬季所需的草由夏季 提供，夏季保存到冬季的草重量不变，只剩 50% 的能量，且假设夏季保存给冬季 的草的质量为 t，所以我们得到如下约束条件：冬季羊的吃草量： m 2* (x 1 x2 x3 x4 x5)* 2.05* 90(kg) 春季羊的吃草量不能大于本季节产草量： m1口夏季产草量大于等于夏季羊的吃草量加上留给冬季的草量：m2 ? t汨 n2秋季羊的吃草量不能大于本季节产

17、草量：m3n3冬季羊的吃草量等于夏季留下来的草量：m4 二 t通过以上分析可以得到如下线性规划模型：max = x o x2x3 x4 x5A=1000000x2=x 1x3=0.98x 2x4 =0.95x 3X5=0.80 X4X0=1.8* X 2 +2.4* X3+2.0* X 4 +1.8* X5厲=90*3*A/1000n2 =90*7*A/1000n 3=90*4*A/10003 cn 4=0m1=(x 2 +x 3 +x 4 +x 5 )*2.4*90+ X 0 *1*90m2=(x 2 +x 3 +x 4+x 5)*1.15*90+ X 0 *1.65*90m3=(X 1+X

18、 2+X 3 +X 4+X 5) *1.30*90m4=2*(x t+x 2+x 3 +x4+X5 ) *2.05*90m1<=n 1m2+t<=n 2m3<=n 3m=t332 结果分析由上述线性规划模型用lingo 求解可得出如下结果 ( 求解过程见附录二 ) ：A =1 000000x o =1368x 1 =186x 2 =186x 3 =1827x4 =173x5 =138m1 = 270000.0m2 =273528.3m3 -101322.5m4 =319555.5山=270000 n2 =630000 n3 = 360000n 4 = 0t 319555.51

19、86(x 1只 此牧场能放牧的羊数由上述结果可知每年所保留下来的母羊羔为),为 2048(x 0x2 x3 x4 x5)只。其中包括 1368(x 0)头羊羔， 186(x 2)头 1?2 年 龄段的母羊， 182(x 3)头 2? 3 年龄段的母羊， 173( X4)头 3?4 年龄段的母羊，138( X5)头 4? 5年龄段的母羊。夏季保存在冬季的草量为：t = 319555.5kg 。由结果可知春季的产草量为厲=270000kg ，羊吃的总草量为： m1 = 270000kg ，所 以春季基本上没什么浪费。夏季的产草量为：n 630000kg ，夏季和冬季羊的总吃草量为： m2 m4 =

20、 593083.8kg 。浪费了：n2 - m2 - mu = 36916.2kg 。秋季 的产草量为：门3 = 360000kg ，羊的吃草量为：m3 = 101322.5kg ; 浪费了：na -m258677.5kg 。可见浪费了很多，这也是本模型的缺点。因此，我们引入 模型三来解决草量的浪费问题。3. 4 模型三 3.4.1 模型建立1. 决策目标：要得出草场能放牧多少羊，所以目标函数为羊的总数，即max = x 0 x2 x3 x4 x52. 约束条件：假设每个季节剩下的草将会留给下个季节用，所以我们不考虑 能量的转换，可得到如下约束条件：夏季产草量大于等于夏季羊的吃草量：m2 “n

21、2秋季吃草量小于等于秋季羊的产草量家上夏季留下来的草量：m3 <= n 3 n2 - m2冬季羊的吃草量小于等于秋季留下来的草量：m4：= n 3? n - m-m223春季羊的吃草量不能大于本季节产草量加上冬季吃剩的草量：mi ： = nin2 - m2 n3-m3-m4通过以上分析可以得到如下线性规划模型：max 二 x0 x2 x3 x4 x5=100000x2 =x 1X3=0.98 X28x4 =0.95 X3X5=0.80 X4X0=1.8* X2 +2.4* X 3 +2.0* X 4 +1.8* X 5n 1=90*3*A/1000n 2=90*7*A/1000n 3=9

22、0*4*A/1000n 4=0m1=(x 2+x 3+x 4+x 5 )*2.4*90+ X 0 *1*90m2=(x 2 +x 3+x 4 +x 5) *1.15*90+ X 0 *1.65*90m3=(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5) *1.30*90m4 =(x 1+x2+x 3+x 4 +x 5) *2.05*90m 2n 2m3 <= n3 + n 2-m 2m4 吒 =门 3 *n2-m 2-m3m= n i +n 2-m 2 + n3-m3-m 43.4.2 结果分析由上述线性规划模型用 lingo 求解可得出如下结果（求解过程见附录三）：解得：A =1000000

23、x0=2142x1=291x2=291X3 =285X4 =271X5=216m1 =4228038m2 =428328.9m3 =1586649m4 =2502024n 1 = 270000n 2 = 630000n 3 = 360000n 4 =0由上述结果可知每年所保留下来的母羊羔为291( XJ 只，此牧场能放牧的羊数为3207( X0 X2 X3 X4 - X5)只。其中包括2142(X 0) 头羊羔， 291( X2) 头 1? 2 年龄段的母羊， 285( X3 )头 2? 3 年龄段的母羊， 271(X 4) 头 3? 4 年龄段的母羊， 216(X 5) 头 4? 5 年龄段

24、的母羊。夏季的时9候产草量是 n2=6300000kg) ，吃草量是m2=428328.9(kg)； 留下了 630000 -428328.9=201671.1(kg)草给秋季；秋季的产草量是n3= 360000(kg) ,吃草量是 m3=158664.9(kg) ；留下了 n3 n2 - m 2 - m 3 = 403006.2(kg)草给冬季；冬季的产草量为 0(kg) , 吃草量为m4 二 250202.4(kg), 留下 了门n-m2 -m 3-m4 -152803.8(kg) 草给春季 ;春季的产草量为n1二32270000(kg)吃草量为m1 = 4 2 28( 冏 ) 0。3全年

25、下来浪费为的草量1528 8Z (7 30-40 20 2) 0(kg ) 达到最优。10第四章模型检验由模型一可知每年所保留下来的母羊羔为291 只，此牧场最多能放牧的羊数为 3207 只。在春季需要 422803.8kg 草，夏季需要 428328.9kg 草，秋季需要158664.9kg 草，冬季需要 250202.4kg 草。春季产草 270000kg ，夏季产草630000kg ，秋季产草 360000kg ，冬季产草 0kg ，所以可知模型中缺少夏季供给 冬季的草量，所以建立了模型二。由模型二可知每年所保留下来的母羊羔为186 只， 此牧场能放牧的羊数为2048 只。夏季保存在冬季

26、的草量为：319555.5kg 。由结果可知春季的产草量为270000kg ，羊吃的总草量为： 270000kg ，所以春季基本上没什么浪费。夏季的产草量为： 630000kg ，夏季和冬季羊的总吃草量为：593083.8kg 。浪费了：36916.2kg 。秋季的产草量为： 360000kg ，羊的吃草量为： 101322.5kg；浪费了：258677.5kg 。可见浪费了很多，这也是本模型的缺点。因此，我们引入模型三来解决草量的浪费问题。由模型三可知每年所保留下来的母羊羔为291 只,此牧场能放牧的羊数为3207 只。夏季的时候产草量是 630 0 0(&) ，吃草量是 4283

27、298kg) ；秋季的产草量是 360000(kg) ，吃草量是 158664.9(kg) ；冬季的产草量为 0(kg) ，吃草量为 250202.4(kg) ； 春季的产草量为270000(kg) ，吃草量为 422803.8(kg) ，由计算可知，这个方案的浪费为0(kg) ，所以模型三为最优方案。11第五章优缺点与推广5.1 模型优点本文通过三个模型分析得到一系列关于羊群与牧场的草生长量之间的关系，再根据题目提供的各种数据，计算出可以放养的羊群的数目，包括每年应留下母羊的数目。优点是计算的结果可以通过牧场的实际面积，得知羊群的具体数目，简单明了，并且通过对四季供草的优化来增加牧民的收益。

28、5.2 模型缺点该模型在有些情况下，过多理想化，脱离了实际，应该更多的考虑现实的因 素才能的到更好的模型。5.3 模型推广这个模型主要是解决一定面积的草地上，需要放养多少只羊才能使草地利用率最大化的问题。结合模型的求解过程，可以推知，本模型可以推广到其他牲畜 的放养问题，也可以是在一定面积或在一定容积的池塘养鱼等等。12结束语经过近两个星期的努力，我们小组完成了本次数学模型的课程设计，在课程设计的过程中，我们对利用lingo 求解线性规划问题有了进一步的熟练，也学会了利用数学建模解决简单的实际问题。其次，本次课程设计是我们小组共同完成的成果，我们再一次体会到分工协作的力量，我们先一起讨论研究题

29、目，然后再分配工作，大家把各自的工作做好，最后再一起整理整合。其次，俗话说的好“磨刀不误砍柴工”，我们事先将准备工作做好，最后写论文的时候也会事半功倍。最后要非常感谢刘老师的悉心指导，给我们提供了许多与该课程设计相关的重要信息，培养了我们对数学建模的兴趣和严谨态度以及创新精神。让我们在日后的工作与学习中也不忘刘老师的教导， 其次也要感谢其他同学的无私帮助，让 我们的课程设计得以顺利完成。13参考文献1 姜启源 谢金星 叶俊编，数学模型，第四版，北京：高等教育出版社， 2013.2 胡运权 等编，运筹学基础及运用，第五版，北京：高等教育出版社，2012.11.3 文档在线 .牧场管理 ， 201

30、4/5/18.14附录附录一：模型一的lingo 代码与运行结果代码max=x0+x2+x3+x4+x5;A=1000000;x2=x1;x3=0.98*x2;x4=0.95*x3;x5=0.80*x4;x0=1.8*x2+2.4*x3+2.0*x4+1.8*x5;n 1=90*3*A/1000; n 2=90*7*A/1000; n 3=90*4*A/1000; n4=0;m1=(x2+x3+x4+x5)*2.4*90+x0*1*90; m2=(x2+x3+x4+x5)*1.15*90+x0*1.65*90; m3=(x1+x2+x3+x4+x5)*1.30*90;m4=(x1+x2+x3+

31、x4+x5)*2.05*90; m1+m2+m3+m4<=n1+ n2+n3+n4; end结果Global optimal soluti on found.Objective value:Total solver iterati ons:Variable ValueX1291.2734X2291.2734X3285.4479X4271.1755X5216.9404A 1000000.X02142.211N1270000.0N2630000.0N3360000.03207.1100Reduced Cost0.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.

32、0000000.0000000.0000000.0000000.00000015N40.0000000.000000M1422803.80.000000M2428328.90.000000M3158664.90.000000M4250202.40.000000RowSlack or Surplus Dual Price11356.1101.00000020.000000-0.1356110E-0230.000000-0.675502140.000000-0.556211450.000000-0.286085460.000000-0.130414970.000000-0.256692380.00

33、00000.1076278E-0290.0000000.1076278E-02100.0000000.1076278E-02110.0000000.1076278E-02120.000000-0.1076278E-02130.000000-0.1076278E-02140.000000-0.1076278E-02150.000000-0.1076278E-02160.0000000.1076278E-02附录二：模型二的lingo 代码与运行结果代码max=x0+x2+x3+x4+x5;A=1000000;x2=x1;x3=0.98*x2;x4=0.95*x3;x5=0.80*x4;x0=1.

34、8*x2+2.4*x3+2.0*x4+1.8*x5;n 1=90*3*A/1000; n 2=90*7*A/1000; n 3=90*4*A/1000; n4=0;m1=(x2+x3+x4+x5)*2.4*90+x0*1*90; m2=(x2+x3+x4+x5)*1.15*90+x0*1.65*90; m3=(x1+x2+x3+x4+x5)*1.30*90;m4=(x1+x2+x3+x4+x5)*2.05*90;16m1<=n1; m2+t<=n2; m3<=n3; m4=t;end结果Global optimal soluti on found.Objective valu

35、e:Total solver iterati ons:2048.00420VariableValueReduced CostX1186.00540.000000X2186.00540.000000X3182.28530.000000X4173.17110.000000X5138.53690.000000A1000000.0.000000X01368.0030.000000N1270000.00.000000N2630000.00.000000N3360000.00.000000N40.0000000.000000M1270000.00.000000M2273528.30.000000M3101322.50.000000M4159777.80.000000T1