代数方程变形导致增根失根的原因

1、目录 摘要2 ABSTRACT3 弓I言4 第一章解方程中产生增根的几种方程5 1.1 分式方程的增根5 1.2 无理方程的增根6 1.3 三角方程的增根6 1.4 对数函数的增根7 1.5 产生增根的原因7 1.6 增根的应用8 第二章解方程中产生失根的几种方程9 整式方程的失根9 三角方程的失根9 对数方程的失根1.0 产生失根的原因1.0 小结1.1 参考文献1.1 致谢1.2代数方程的变形导致增根失根的原因 郭厚龙 摘要 从初等代数到高等代数的研究过程中，方程是研究问题的基础。如分式方程、无理方程、三角方程、整式方程、对数方程等等。而解方程的过程就是对代数的研究过程，尤其是代数方程，而

2、代数方程在中学数学中的重要性不言而喻。解代数方程的过程中，由于定义域的范围可能改变，导致其所得的根可能不在其定义域的范围内，而不在其定义域内的根就是我们所说的增根。反之，在定义域内有解，但没有解出来的根就是失根。然而，增根与失根的问题却使老师和同学们在解方程的过程中患得患失，力不从心。那么，什么是增根与失根？产出增根与失根的原因是什么？本文将从解分式方程、无理方程、三角方程、整式方程、对数方程等方程的过程中产生增根与失根的现象出发，来分析代数方程变形导致增根与失根的原因。关键词：代数方程；增根；失根 THEREASONFORTHATTHECHANGEOFTHEALGEBRAICEQUATION

3、 LEADSTOINCREASINGROOTANDLOSINGROOT ABSTRACT Fromelementaryalgebratohighalgebra,thequestionofequationisthe bases.Suchasfractionalequation、irrationalequation、trigonometric equation、ntegralexpression、logarithmicequationAndtheprocess resolvingequationistheprocessofresearchingalgebraicequation,especial

4、algebraicequation.Asweallknow,thealgebraicequationisveryimportant.In theprocessofresolvingalgebraicequation,itispossiblethatthescopeofdomainofdefinitionchange,whichleadstorootisnotthescopeofdomainof ofdefinition,therootiscalledincreasingroot,oppositelywecallitlosingroot.However,thequestionofincreasi

5、ngrootandlosingrootoftenmake teachersandstudentsfeelitdifficult,then,whatisincreasingrootandlosing Keyword:algebraicequation,increasingroot,losingroot 引言 从小学到大学，每个学习阶段都有解方程的题。特别是在中学数学中,解方程几乎贯穿了整个中学数学的始终。无论是平时的月考、期末考，还是在中考、高考中，解方程已成为一种常考的题型和解决其它问题的工具。足可见出解方程在数学学习中的重要地位。然而，常常由于在解方程过程中产生增根与失根，让我们在面对这样的

6、题时不能完全做对。本文将从分式方程的增根、无理方程的增根、三角方程的增根、对数方程的增根，整root?Whyproduceincreasing rootand losingroot?Wewillanalysethe reasonthatthechangeofthe algebraic equationleadstoincreasingroot andlosingrootfromresolving fractional equation、irrationalequation、 trigonometricequation 、ntegralexpression 、logarithmicequatio

7、n. 式方程的失根、三角方程的失根、对数方程的失根出发，分析道出解方程过程中产生增根与失根的原因。 第一章解方程中产生增根的几种方程 1.1分式方程的增根 对分式方程的解， 我们一般是通过在方程的两边同时乘以最简公分母， 将分式方程化为整式方程进行求解，在这过程中，看似每步都有理有据，但常常与答案稍有偏差，这究竟是答案有误？还是我们的求解欠佳？卜面我们通过一个例子来回答这个问题 、12 1例 1:解方程- 2 x23x2 x2x1一2 解：方程两边同时乘以 x3xx3x2 2 得 x x1 12x2x4242 化简得；3x3x3 3 解得：x x1 1 上面的解法有理有据，然而，x x1 1

8、真的是原方程的根吗？把根 x x1 1 代入原方程，我们看到，分母 x x10,10,因此，x x1 1 不是原方 程的根，其实，在我们刚才的求解过程中，忽视了一个问题：方程两边同时乘以的式子不能为 0,0,即本题中的(x1)(x(x1)(x2)02)0 即 x1,xx1,x2,2,所以，解出得 x x1 1 不是方程的根，我们称其为原方程的增根. 1.2无理方程的增根 对无理方程的求解，我们常通过两边平方去根号来解方程，与分式方程中分母不为0的限制一样， 无理方程也有一个限制：根号下的式子必须大于或等于0,那么，在解方程过程中，是否也会像分式方程一样，可能会产生增根呢？我们也通过一个例子来检

9、验一下： 例2：解方程 J2J2x x23x x6 6x x 22 解:两边平万得 2xx2xx6 6x x 移项整理得 x x2x x6060 解得 x x3 3 或 x x2 2 我们同样把 x x3 3、x x2 2 分别代入原方程知，当 x x2 2 时，方程变为22, 这显然不对，即 x x2 2 不是原方程的根，这是为什么呢？在原方程中，左边含根号，故右边的x应大于或等于 0,0,故 x x2 2 只是原方程的增根。 1.3三角方程的增根 另一种在解方程过程中较易产生增根的方程是三角方程，下面我们也通过一个例子来说明和分析一下： 网例3:解方程C0S2x0 tanx 解：由cos2

10、x0得 2周志刚.时代数学学习.2006(11) 3朱伟卫数理天地2008(11) Xik4 x2k(k)4 在上面的解方程过程中，似乎也毫无破绽，但我们应该注意到，在正 切函数中xk,同时，因分母不为0,所以xk,故所得的24 解X2k是原方程的增根 4 1.4对数函数的增根 在解对数方程过程中，因对数函数是单调函数，故对形如logaf(x)loga9(x)(a0,a1)的方程我们用f(x)g(x)来求解方程，然而，在解方程过程中，我们常忽f(x),g(x)本身作为真数应大于0这个限制而导致所解方程出现增根。 ,2 44例 4 4：解方程lg(x5x6)lg(2x4)o 解：根据同底数的两个

11、对数式相等， 其真数相等得：x x25x5x6 62x2x4 4 即 _ x x23x3x2020 解得 x1x1 或 x2x2 与前面一样，我们吧所得的根代入原方程，则当 x x2 2 时，真数 2x2x40,40,这显然违反了对数的真数大于0的前提条件，故 x x2 2 不是原方程的根，而是其增根。 1.5产生增根的原因 现在我们根据上面的内容来分析在解方程过程中产生增根的原因： 在例1中，对原方程，因分母不为0,故其未知数的取值范围为 x x1 1、 x x2,2,而变形成整式方程后，未知数的取值范围扩大为全体实数 R,R,从而 导致所得的根 X1X1 是其增根。在例2中，对原方程，因根

12、号下的式子大 于或等于 0,0,故其未知数的取值范围为 X2,X2,两边平方变形后未知数的取 值范围扩大为全体实数 R,R,从而导致所得的根 x x2 2 是原方程的增根。在例 3中，原方程的取值范围为xk且X2k一,变形后未知数的取 24 值范围扩大为全体实数R,从而导致所得的根X2k2是原方程的增根； 在例4中，因为对数的真数大于0,故其未知数的取值范围为 x x2,2,而根 据对数的单调性去掉对数符号后，未知的取值范围扩大为全体实数 R,R,从 而导致所得的根 x x2 2 是原方程的增根。 从上面的分析中，我们不难发现代数方程变形导致增根的原因是：变形后未知数的取值范围扩大了。 1.6

13、增根的应用 我们解代数方程时，在变形过程中可能会因未知数的范围扩大而产生增根，然而，我们常常只去担心增根会导致方程不能完全解对，殊不知，增根却有着其极大的潜在作用：当我们已知方程的增根时，常可通过增根反解出原方程中的未知数字母的值。 5例5若关于x的方程3匹22有增根 x x1 1,求a的值。 xx1x1 ._.2_ 解：去分母整理得：(a2)x4x(a2)x4x3030 因为原方程有增根 x x1,1, 把 x x1 1 代入方程得，(a(a2)4302)430 解得a=3 方程的增根虽然不适合原方程，但却适合变形后的整式方程，这也是 求字母系数的方法。第二章解方程中产生失根的几种方程 2.

14、1整式方程的失根 我们在解整式方程时， 常会通过在方程的两边同时除以一个相同的代数式来化简方程，然而，在这过程中，很容易会失去原方程的根。 例6解方程(x1)(x(x1)(x2)(2x3)(x(2x3)(x1)1) 解：方程两边同时除以(x(x1)1)得 x x2 22x2x3 3 解得 x x1 1 这个题简单易解，解题过程似乎也没有不对之处，可是，如果我们仔细观察一下原方程，就会发现 x x1 1 也是原方程的根，即我们在解方程过程中失去了根 x x1 1。 2.2三角方程的失根 在第二节中，我们知道，在解三角方程时，会因为变形中未知数的范围扩大而产生增根。其实，在解三角方程时，也很容易会

15、使原方程失根。7例 7：解方程sinxcosx1 cx,2x 2tan-1tan一 解：用代换sinx2,cosx2o 2x2x tan1tan 2 22tan2- 方程可化为20 tan2- 解得：x2k-(k) 2 方程解到这里，似乎也该结束了，可是，我们把 xkxk 代入也满足原方程，即我们在解方程过程中失去了原方程的根 xkxk(k)0 6陆秀朋数学大世界(初中生数学辅导版)，2000(1) 7邓念祖数学教学1956(2) 对数方程的失根 对于含形如的logjf(x)对数方程，我们常把 f(x)f(x)的指数n提到对数符号前面化简方程进行求解，在此过程中，是否会因为我们的考虑不周而失根

16、呢？我们同样通过一个例子来验证一下。 、,2 网例8:解方程lgx2 原方程变形为2lgx2 即 lgx1 解得x10 至耻匕，我们的方程解完了吗？如果我们把 x10 代入原方程，会发现x1他适合原方程，我们解方程过程中丢失了根x10。 产生失根的原因 现在我们也通过上面的内容来分析解方程过程中导致失根的原因： 在例2中，原方程的取值范围是全体实数R,代换变形后在正切函数 x 中，-一k,即 x x 也，缩小了未知数x的取值范围，从而导致原 22 方程的根 xkxk 丢失了。在例3中，原方程的未知数的取值范围为 x x0,0, 变形后，未知数的取值范围缩小为 x x0,0,从而导致原方程的根

17、x10 丢失 了。然而，在例1中，变形前后未知数的取值范围均为全体实数，并未发 生变化，只是在原方程的两边同时除以一个相同的含未知数的式子，同样 也使原方程的根丢失了。 从上面的分析中，我们看到，代数方程变形导致失根的原因有两种：第一、方程两边同时除以一个相同的含未知数的式子而导致失根。第二、变形后未知数的取值范围缩小而导致失根。 小结 本文通过解各种形式的方程导致增根与失根的现象出发分析出代数方程变形导致增根与失根的原因。变形导致增根的原因是：变形后未知数的取值范围扩大了(不在定义域范围内或在定义域内而没有解出根)；变 形导致失根的原因 有两种：第一、方程两边同时除以一个含未知数的式子而导致失根。第二、 变形后未知数的取值范围缩小而导致失根。 参考文献 1周志刚时代数学学习2006(3) 2周志刚.时代数学学习.2006(11) 3朱伟卫数理天地2008(11) 4戴远伟数学学习与研究2010(15) 5李小福时代数学学习2004(4) 6陆秀朋数学大世界(初中