牛顿-莱布尼茨公式的详细证明

1、牛顿一莱布尼茨公式、尸、 亠刖言此证明主要是献给那些无论如何， 竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比 公式背后的秘密的高中生。公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密， 也许你会不太习惯，会觉得多余，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所 以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂! (Ps :如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字)定积分性质的证明首先给出定积分的定义：设

2、函数f(x)在区间a,b上连续，我们在区间a,b上插入n-1个点分成n个区间a,x i,x i,x2Xn,Xn-i，其中 xo=a， xn=b，第 i 个小区间？ Xi =Xi-x i-1 (i=1,2n)。由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一 个小矩形的面积可表示为？ S=f( i) ? xi ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 a f(x)dx limf( i) xi极限an j 即：babf (x)dxa性质1 ：证明 c dx = C(b-a)，其中C为常数.nXnXn i)lim f( i) xilimc(xi xo X2 xin 彳ni 1lim

3、c(xn xo) c(b a)n几何上这就是矩形的面积性质2: F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C为常数.设K(x)=F(x)-G(x)定义域为K,F (x) K(x)G(x) z(x)F (x) G(x) z(x) z(x) 0K(x)lim K(x x) K(x) 0x 0x即对任意的x K,都存在一个以| x |为半径的区间,使得K(x+ x)=K(x)函数值在K内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线即：F(x)-G(x)=Cg(x)dxb性质 3:如果 f(x) g(x)，则 a f(x)dX设 k(x)=f(x)-g(x), 有 k(x)

4、 0.bnk(x)dx limk( i) Xi 0丨 ani 1b即 k(x)dxabf(x) g(x)dxabf (x)dxag(x)dxf (x)dxg(x)dx相关定理的证明介值定理：设f(x)在区间a,b上连续，当x a,b,取m为f(x)的最小值，M为f(x)的最大值,对于任意的一个介于 mM的数C,至少存在一点& (a,b),有f( & )=C证明：运用零点定理：设f(x)在a,b上连续，若f(a)*f(b)0,则至少存在一点& (a,b),有f( & )=0设 x1,x2 a,b,且 x1x2,f(x1)=m,f(x2)=M,g(x)=f(x)-C, 其中 mCM则：g(x1)=

5、f(x1)-C0即：g(x1)*g(x2) f( )=CPs:在这里，零点定理在高中应该有介绍，很美妙的一个定理，在几何上有明显 的意义，通俗的理解是：有两个点，一个大于0 (在x轴上方)，一个小于0(在x轴下方)，要用一条连续的线把它连起来，那么势必至少会与x轴有一个交点。严格的证明这里就不了，其实我也不太懂，有兴趣的可以上网查 查.积分中值定理：若函数f(x)在区间a, b上连续，则在区间a, b 上至 少b存在一个点 (a,b),有 af(x)dx f( )(b a)几何意义：曲线所围成的面积总有一个以积分区间为长的矩形面积与之相等设f(x)在区间a, b的最大值为 M,最小值为 m 即:me f(x) 0时，-x(x) lim0f( ) f(x)0通往真相的最后一步证明：bf (x)dx F(b) F(a)a设F(x)为f(x)的原函数1 1t (x)xf (t)dt也是f(x)的一个原函数 a由性质2： f(x)的任意两个原函数之间相差一个常数C,有F(x)(x)C:F(b)(b)C F(a)(a) CF(b)F(a)(b)abaf (t)dtf (t)dt