带通随机过程

1、第6章带通随机信号带通：功率谱集中在某个非零频率处应用背景：通信、雷达和无线电技术。本章讨论：1) 希尔伯特变换与复随机信号的分析方法，2) 带通信号的基本特性、表示方法与重要关系、以及 频谱搬移的原理；3) 三种带通信号的几种基本概率分布。窄带高斯信号、窄带高斯噪声、窄带高斯噪声的中 高频正弦信号。符号注意：小写字母也表示随机信号 。6.1希尔伯特变换与解析信号6.2 (复值)随机信号6.3带通信号与调制6.4带通高斯信号6.5带通高斯噪声中的高频信号定义6.1信号的希尔伯特(Hilbert )变换：1 緬)=Hx(t) =x(t) 兀t显然，-j, 0 H(j ) = -jsgn(厂I J

2、, *0希尔伯特逆变换：H ° = -H HHx(t) =-x(t)Hj) jsgn®)=J； >0I j, <0正频率：相移-二/2 ; 负频率：相移-12。而幅度为1。1- 900相移的全通滤波器，H© 0t =_jej 0t =ej( 0：/2)He0t = jej ote(ot-mHcos otHej ot He。t2=sin otH sin otHej ot -Heot2j=-cos otH f (t)cos ot = f (t)sin ot H f (t)sin ot二 _f (t)cos otH奇函数=偶函数H 偶函数=奇函数2. 平稳信

3、号X(t)，则，R)?( J = rx ()RXX ( ) = RX ( ),RX)? ( ) = - Rx ()证明：RfW) =Rx J 丄 J丄卜H '【HRxG) 5丿5丿(1】Rxx(£)=Rx(9*打严Rx (1 )RxX>( ) =Rx( ).：HRx()3. 是正交变换：彼此正交且功率相等(1) Rx(0)=Rx(0)；(2) Rxx(0) -E 0(t)X(t) =0。证明：因为Rx(.)是偶函数，RXC)是奇函数:E ；(t)X(t)卜 Rxx(O) =Rx(O) =0定义6.2实信号x(t)与X(t)构造的复信号: z(t) =x(t) + jXt

4、)称为x(t)的解析信号(Analytic signal )或信号预包络 (Pre-envelope)。由解析信号求出原信号,x(t) =Rez(t)二z(t)z*(t)2解析信号的频谱为，Z( j J2X(j -)uC )功率谱为2Sz(灼)=5(灼)2u(co)=4Sx©)u(co)解析信号本质上是原信号的正频率部分，是实信号的一种 “简练”形式。确定信号的解析信号是确定的平稳随机信号的解析信号是随机的，它们联合平稳。功率谱: 复(值)随机变量：X jY，两个实变量X与Y作为实部与虚部 特性：联合统计特性 FxY(x,y)所规定。复(值)信号:Z(t) =X(t) jY(t),t

5、 T?两个实信号X(t)与Y(t)作为实部与虚部特性：联合统计特性所规定Fxy (x, 丫花花)。复信号的均值与相关函数：mZ(t)二 EZ(t)二 mx(t)jmY(t)Rz(ti,t2)=E Z(ti)Z*(t2)-RX (t1, t2 ) RY (t1, t2)jRYX(t1,t2 jRXY(t1,t2)复信号的互相关函数定义为，Rzz2 (tl, t2 ) = E I Zi(ti )Z2 (t2 ) J-RXtX2 (t1, t2 )RY1Y2(t1,t2) jRY|X2 (t1, t2 jRX1Y2 (t1, t2 )注意共轭运算。其它数字特征:1. 均方差EZ(t)|2=RZ(t,

6、t)=EX(t)2+EY(t)f2. 协方差函数Cz (ti,t2)二Cov(Z(ti),Z(t2)CZ(ti,t2)= E iz (ti) - mZ (ti) Z(t2)- mZ &)* /-& (ti,七2)- mZ (ti)mZ (t2)3.相关系数Z (ti 讥2)CZ (tit)二 Z (ti )；Z (t2 )4. 互相关系数CZiZ2 (ti,t2)二 Zi(ti)二 Zz)性质1(1) 共轭对称性：R(ti,t2)=R*(t2,ti)、C(ti, t2 - C (t2, ti )；2(2) 均方值为非负实数：EX(t)| =R(t,t)KO(3) 方差为非负实数

7、： 2(t) = R(t,t)m(t) >0(4) '(tit)乞i, '(t,t) =i性质2(1) 对称性：RxY(ti £) = Rx 亿2 ,ti)；(2) CXY (ti,t2 RXY(ti, t2mX (ti)mY (t2)(3) |PxY(tl，t2)| 兰 1广义平稳性要求:EX(t)二 m 二复常数! R(t1 ,t2) - R( ),- t1 _ t2特别注意：R( ) =EX( )X*(t)。也有的书中 R(.)二EX(t)X*(t .)。对于实信号而言，这没有差别， 但对于复信号就有不同了，应该留意。性质1(1) R(-J =R*()2

8、2 2(2) Cn)= R") m 与 <r2=R(0) m性质2RXY ( - ) = Ryx (J 与 CX yC)二 RxYt + m Xm Y功率谱：总是正的实函数，但不一定是偶函数；并且,互功率谱：仍具有共轭对称性：SXY () = SYX CO。mY =mxH (j0)Ry( HRx( ) h( ) h*()Ryx(Rx( ) h( ) Rxy( ) =Rx( ) h*(-)例6.1 X(t)二 Aej( 0t °通过 h(t) =e"u(t) 假定 E A2 二 a2,0 U U ( -二，二)讨论：(1 )平稳性与功率谱；(2)输出的相关函数

9、。解： X(t) =Acos(0t 0) jAsin( 0t 0)EX(t) =EAE lcos( 0t 0) 1 jEsin( 0t O) If =0 j0RX (t1 ,t2):=e A2ej(站刃e(Qt2。= a2ej 0功率谱为,Sx(co) =2兀 aW(国们。)系统的频率响应为：H(j)1 -,b + jSY©)=Sx©)|Hj)输出信号的相关函数为,2aRy ( J2b +灼带通信号(Bandpass signal):功率谱S(« )仅在某个有限的 区间上非零，而在该区间以外为零。实信号的功率谱是偶函数，实带通信号的典型功率谱。频域区间还表示为：中

10、心频率，0与带宽丫，-，这时，勺=0 - /2 , '2 =0 亠 '、：' /2 。带通系统是处理带通信号的系统。频率响应的非零区间应该对准信号的非零区域，可 见，这类系统的冲激响应也是带通的。讨论多个带通信号与系统时，总是考虑它们具有相同的频率区间，即有着相同或相近的中心频率与带宽。定义6.3给定两个零均值联合平稳的带限实信号i(t)与q(t)，以及常数'0，构造信号x(t) = i(t)cos 0tq(t)sin 0t二 r(t)cos，0t r(t)称为带通(随机)信号。振幅与相位也是实随机信号，r(t) f i2(t) q2(t)=(t) rarcta

11、i(t)典型波形：包络常为r(t)，慢变化。 通信的调制技术：将带限的信息信号变换为带通信号。i(t) 和q(t)称为 同相(In-phase)与正交(Quadrature)分 量，是两路信息信号，-'0 为载波频率(Carrier frequency)，而x(t)称为已调信号。定理6.1带通信号广义平稳的充要条件是i(t)与q(t)满足Ri( ) =Rq( )Rq( ) - - Rqi ()证明：Ex(t) = Ei(t)cos 0t _ Eq(t)sin 0t =0 Ex(t +)x(t) =RG)COSCOo(tRq (. )sin 0(t . )sin 0t-Riq( )cos

12、 0(t)sin 0t-Rqi( )sin 0(t)cos 0tRx(t r,t)二 Rj(.)cos-Rqi( )sin 0.1 )互相关函数是奇函数，%(0)二 Ei(t)q(t) =0 ,即，i(t)与q(t)在同一时刻正交。2)为了 x(t)广义平稳，两路分量必须功率相同，相关函 数一样；且在同一个时刻彼此正交。解析信号:z(t) =x(t) j)?(t)复包络(Complex envelop): a(t) = i(t) + jq (t) = r(t)e旧°z(t)二 a(t)ej 0t证明：xt) = H i(t)cos 0t _q(t)sin 0t=i(t)sin

13、6;t q(t)cos °t易见，z(t) =a(t)ej°°t=i(t)cos 0t _q(t)sin 0tji (t)sin ytjq(t)cos 0t性质 1 由于 z(t)二 a(t)ej 0t,Rz()二 Ra( )ej 0Sz()7( z(t) =a(t)ej ot - lj(t) jq(t) lej ot:a(t)是信息信号的复数形式z(t)是已调信号的复数形式 带通信号本质上由两个要素组成：低频形式的复包络a(t)，(即，i(t)与q(t) 载波位置 0功率谱的物理特点：如果i(t)与q(t)是带限的 =a(t)带限=z(t)是带通的二 x(t)

14、= Rez(t) = i(t)cos 0t _q(t)sin 0t 带通的。 任何具有带通特征的实信号 x(t)=正频率部分SXC') 带通的z(t)=带限的a(t)=带限的i(t)与q(t):x(t)二 i (t )cos ，0t _ q(t )sin -0t在频带通信等应用中，“ i(t)与 q(t)二 x(t) ”称为调制(Modulation): x(t)二 i(t)cos st -q(t)sin st“ x(t) = i (t)与 q(t) ”称为解调(Demodulation) i(t) =LPF ：x(t) 2cos # q(t) =LPFx(t) 2sin gt ?x(

15、t)二 i(t)cos 0t -q(t)sin 0ti(t) =LPF 1x(t) 2cos 肿q(t) =LPF 1x(t) 2sin 0“证明解调过程：2x(t) =2Rez(t)二 z(t) z*(t)2x(t)e0t =a(t) a*(t)e2 0t x(tp<2 lcos%t jsin0t =i(t) + jq(t) +a*(t)e°知ti(t) jq(t) =LPF 1x(t) 2cos 0C - jLPFx(t) 2sin 0t?由于，Rx( ) = RJ )co s o - Rqi(. )s in。利用对偶特性，可以证明，R( ) = LPF 12Rx( )co

16、s 0 JRqi(.) =LP-2Rx(.)sin .0. /1.复信号a(t)与z(t)之间的关系, Rz( Ra( )ej 02. 两个分量信号之间的关系，Ri ( H Rq ( ),Rq( ) = -Rqi()i (t)与q(t)在同一时刻正交分量信号的这种特性保证x(t)是平稳的。3. 功率(或方差)之间的关系,4. 分量与带通信号的相关函数的关系，Rx( ) = Ri( )cos 0 - Rqi( )sin 0R( )二 LPF2Rx( )cos 0 J,Rqi( )二 LPF2Rx( )sin ° /5. 有关信号的功率谱、互功率谱的关系，Sz(')二Sa( S)

17、Sz( J =4Sx( )u( J =4Sx(，)S (们)=Sq (们)Sx (八: o) -Sx: )0o <co0其它证明：R(.) =LPF 12Rx( )cos 0. ?,O /、 O /、jSx佝灼 0)Sx(灼 +肌)国 <©SqSq何科0其它Rqi( .)二 LPF C-2Rx( )sin 0 J2cos0“i2二 L( -，0) ,(：” r0) .12sin，0" j 2二 L. (；.-: ；i0 )_、：(；.： ；r0)若Sx( )以0偶对称，则i(t)与q(t)所有时刻正交。例6.2零均值带通白高斯噪声试求它的同相与正交分量i(t)与

18、q(t)的自相关函数与互相关函数。解：利用功率谱、互功率谱的关系易知,N。S ()=Sq ()=| 0Si q( )-S q i(-<W/2其它，0进而得到,RO 卡(.)=NoSinW /2例6.3零均值带通信号的中心频率为仁=98Hz :v(t)二 x(t)cos(196 二t) 一 y(t)sin(196 二t)试求：两个低频分量x(t)与y(t)的自相关与互相关函数。解：Rx()=Ry()=4sin 6 二 cos4二Rxy()sin6 二 sin4 二或采用时域，si n6二.Rv(.) =4cos200 二.rt sin 6mRx( ) = LPF 12Rv( )cos 04

19、cos4二兀I窄带信号(Narrowband process)或准单频信号特2 E叫时0 (或时m ££时0 )实际应用中大量的带通信号是窄带的，且高斯的。i(t)= L pF 刈t 2 a%s t由q( t)= L P F (xt 2 skn t可见，i(t)与q(t)是x(t)的线性变换，(虽然含时变因子) 因此也是联合高斯的。而且1) 零均值的，同方差,- I - I2) i(t)与q(t)是正交的2 性质1 同相和正交分量i(t)、q(t) :N(0,；x)，_j2_q2fi(i;t)= 丄 e 叱 ，fq(q；t)= 二 e 2*寸2兀<x寸2兀ox同一时刻

20、彼此独立，严2fq(i,q;t,t)二 fi(i;t)fq(q;tH7?17e 2匚x例6.4零均值窄带白高斯噪声n(t)，试求其一维密度函数、同相与正交分量的联合密度函数。解：n(t)均值为零，方差为，巳=N°B二尺(0)。八1n1(兀nfn(n;t)=exp _ I = > exp VN0B 、2N°B 丿 Jn0Wi N0W功率谱关于0偶对称，于是，SqjnC J = 0，即，&“()= Ein (ti)qn (t2) =0于是,in(ti)与qn(t2 )彼此正交。也彼此独立，所以,1空2七2)finqn(i,q；t1,t2 fin(i,t1)fqn(q,t2)-。N0W应该注意，由于t-,t2不一定相同，该结果