导数与微分知识拓展

1、5 什么是泰勒公式？怎样求函数的泰勒公式？对于一些较复杂的函数，为了便于研究函数的性态和函数值的近似计算，我们往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于多项式表示的函数只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算，便能求出它们的函数值， 因此我们经常用多项式近似代替一般函数，那一个函数具有什么条件才能用多项式函数近似代替呢？如果一个函数能用多项式近似代替，这个多项式的系数与这个函数有什么样的关系呢？用多项式函数近似代替这个函数误差又怎样呢？首先讨论若p（ x）是一个n次多项式p x a0a1xa2x2anx将p X按着X Xo的幕表示，即令2p xbobi x xob2 xXonbn x Xo那么，

2、bo、bi、b2 、bn与P x有什么关系?在上式中，令xXo,得bo p xo .2bi 2b2 x Xo 3b3 x Xon 1nbn x Xo再令X X o,得bip XoP Xo1!又p x 2b2 3 2b3 x xo1 bn xn 2xo再令xxo ,得 b2p Xo2p Xo2!bn即:nP X。n!kPX。kT,k 0,1,2,n.于是:px pXo p Xo1!XoXo2!2XonpXoX n!nXo由此可知，将n次多项式函数(x)按着 XXo的幕展开,它的多项式的系数 bk由k多项式p（X）所确定，即bk Xok!对于任意的函数（不必是多项式函数），只要函数f （x）在点x

3、 o存在直到n阶导数，总能写出一个相应的 n次多项式fxo f XoTn Xf Xo21! x xo 丁 x “nXonX Xo n!多项式Tn x称为f（X）在Xo的n次泰勒多项式.若用n次泰勒多项式近似代替 f（x），所产生的误差怎样表示呢？一般地，我们有:若函数f (x)在含有点Xo的某开区间(a, b)内有直到n+ 1阶导数，则对任意的点x( a, b)，有 fx f xof xo x Xof Xo2XXo2!nf XonX Xo n!X0,其中nx Xo1称为拉格朗日余项，记作Rn X，即RnXo介于x0与x之间.上面的公式称为泰勒(Taglor)公式，也称为具有高阶导数的中值定理，

4、在这里令n= 1,f X f XoX0 ,即是拉格朗日中值定理.在上式中，若用泰勒多项式近似代替f (x),所产生的误差是|Rn X |f n 1n詁x订1介于心与x之间.特别地，若1 X在(a, b)上有界，设 M>o,对X a,b，有|f| M,则误差可表示:| Rn X |nJx xo1bk，而bkkXok!k,因此只须求f (X)在Xo的直到n阶的导数fXo k 0,1,2,n即可.从上面可以求出，要求f ( x )的泰勒公式，只要求出泰勒多项式的系数例1将f xx3 3x2 2x 4展开为x 1的多项式.思路启迪x + 1可以与成x ( 1),故只需求出规范解法Xo1,f Xx

5、33x22x 4,f1 /1；f X3x26x2,f11;f X6x6,f10;f X67f16.故得fX41 x 1- X1263x 1 .2!3!即 f X4X1 x 1 3.(x)有1点的各级导数即可.f x f 0 f Ox - 0x2 2!0 n x n!Xxn1,0这个公式称为马克劳林(Maclaurin )公式.例2将f (x)= In (1 + x)展开为x的幕式(即马克劳林公式)思路启迪 首先求出f (x)在0点的各阶导数，然后代入公式即可. 规范解法 当x> 1时，f (x)是连续函数，并有连续的各阶导数：f n x1 n1 n 1 !n1 xn1,2,fn01n 1

6、n 1 !n1,2,又f 00,23所以ln1 xxxx23n 1Rn x1 nxn 1 1nx1 0nn 1 x1nRn x ,例3 求出函数f xex的马克劳林公式.x ne ,f 01,nn 1xxn!n 1规范解牟法ln 1 xx2 x3 x4 x5 xR5,2345Rl6 x106 ，x .61取x0.2,ln1 2ln1 0.20.210.2 210.231 0.2 4151 0.2 5R5,2345Rl10.00064160.000011 00.2 ,例4利用In (1 + x)展开式的前五项计算In 1.2之值.规范解法已知f n x2故有ex 1 -1! 2!6 1 6故 I

7、n 1.20.2 0.02 0.00267 0.00040 0.00006 0.18236.怎样判别曲线的凹凸性及拐点？由导数f x的符号，可知函数f (x)的单调性，但还不能完全反映它的变化规律，如函数y x3与y 、x(图3 17)在(0, +)都是单调增加的，但增加的方式却不同，y x3是向上弯曲的，而 y .x是向下弯曲的.因此，研究函数图像时，考察它们的弯曲方向是很有必要的.由图3- 18 (a)、图3-18 (b)我们可以直观地看到，当动点P沿着曲线滑动时，曲线上的切线随着点 P而变化当每一点的切线位于曲线下方时，曲线是向上弯曲的，此时称 曲线是向下凹的；当每一点切线位于曲线的上方

8、时，曲线是向下弯曲的， 此时称曲线是向上凸的.fl 3-18如果一条曲线y= f (x)在区间(a, b)上是向下凹或是向上凸的，我们就说曲线y = f(x)在(a, b)上具有凸凹性，曲线向下凹与向上凸的分界点称为曲线的拐点.下面我们给出判断曲线的凸凹性的一个方法.设f (X)在x Xo的邻域内存在连续的一阶导数和二阶导数，曲线y = f ( x)在点M x°,f X。的切线为 y f X。 f xo x xo .因而切线上横坐标为 x的点的纵坐标为：y BA f x0 f x0 x x0 .曲线上横坐标为x的点的纵坐标为：f x1BC f x0 f x0 x x0f2x XoE介

9、于xo与x之间，故AC1 2 fx x0.2 0AC表示点x处曲线上的点与切线上的点之间的距离(如图3 19).(1) 当f Xo 0时，则f''(x)在点X0的充分小邻域内也大于 0,因此AC>Q于是C在A之上，换句话说，在 M的充分小邻域内，曲线弧落在切线之上，故曲线在M点附近是向下凹的.(2) 当f X。0,则f x在点Xo的充分小邻域内也小于 0,因此AC<Q即点C在A之下，换句话说，在点M的充分小邻域内，曲线弧落在切线之下，故曲线在M点附近是向上凸的.(3) 当f x o 0时，f可能是正数也可能是负数.若X由小于Xo变为大于Xo, f x不变号，则曲线在

10、点 M附近仍为向下凹的或向上凸 的；若X由小于Xo变为大于Xo，f x变号，则在点 M处曲线将从切线的一侧穿过切线 进入另一侧，即曲线在点M附近两侧，其中一侧是向下凹的，则另一侧是向上凸的.此时，点M是曲线向下凹与向上凸的分界点，即是拐点.从上面 中的可以看出，若 Xo是使得f Xo o的点，则Xo，f Xo可能是拐点.根据以上的讨论，我们可以给出判别曲线y = f(x)凸凹性的步骤：(1) 求出y = f(x)的定义域 D.(2) 求出f x，并求出方程f x o的根x, x2等.(3) 用x, X2等点将D分成若干个区域，在每个区间上判别 f x的符号.若f x o， 则在此区间上的曲线是

11、向下凹的；若 f x o，则在此小区间上是向上凸的 (此步骤通常列 表完成).例1判定曲线yx3的凸凹性.规范解法定义区域xR, y3x2,y6x.令 y 6x o,得x o.当X 0时，y6x 0,曲线是向上凸的.当x 0时，y6x 0,曲线是向下凹的.当x 0时，y 0,点0,0是曲线的拐点.(如图3 20).例2讨论曲线y3x4 4x3 1的凸凹性与拐点.规范解法定义域xR,f x 12x312x212x2 x 1f x36x224x36x x -32 令f x 0,得乂 10,x2-.32判定Xi 0,X23附近f x的符号，列表如下:x(m, 0)00身2323，f x+0一0+f

12、( x )向下凹1向上凸1127向下凹拐点(0, 1)2 113,27,c22由上表可知，曲线y 3x4 4x3 1在（ a, 0）与一，是向下凹的，在0, 是332 11向上凸的，拐点是（0, 1 ）和一， ，如图3 21.3 277 怎样求曲线的渐近线?2我们知道双曲线冷2a2 y b2图 3-211的渐近线有两条：x -0 .在作双曲线的图象时， 如果a b再画曲线的图象，就较准确地画出它的图象.因此如果一条曲线y = f (x)的图象是非常必要的.一般地，当曲线y= f(x)上的动点P沿着曲线y= f (x)无限地运离原点时，若动点 P 到某一定直线I的距离无限地趋于 0 (如图3-2

13、2),则称直线I的曲线y = f (x)的渐近线.能先把两条渐近线作出来，存在渐近线，先把它的渐近线求出来，对于准确描绘函数下面我们将分三种情况讨论曲线的渐近线.(1)垂直渐近线.若 lim f xx xo,或 lim f xx xo,则直线x x0是曲线y = f (x)的垂直渐近线(垂直于x轴).例1求曲线f的垂直渐近线.思路启迪 求曲线的垂直线渐近线，首先找出使分母为零的点x0，然后检查函数在这些点两侧附近函数的变化趋势，若当无限接近该点时，函数趋于则x x0即为垂直渐近线.规范解法limx 3 x 3 x 4limx 3 x 3 x 4x 4 x 3 x 41lim,x 4 x 3 x

14、 4故直线x=-3与x = 4都是曲线的垂直渐近线.(2)水平渐近线.若 lim f x b、lim f xb或 lim f x b,xxx则直线y = b为曲线y= f (x)的渐近线，称为水平渐近线.1例2求曲y的水平渐近线.x 1思路启迪 曲线y= f (x)是否存在水平渐近线，就是看当x7 + (或XT + R)时,f (x)是否有有限极限b,若有有限极限b,则y= b即为该曲线的水平渐近线否则，就不 存在水平渐近线.1规范解法因为lim0,x x 1所以y= 0是曲线的水平渐近线.点评 由以上的几个例题可以看到，对于有理分式函数R (x)来说，当分子的最高指数不超过分母的最高指数时，

15、曲线y= R (x)有水平渐近线，当分子的最高指数大于分母的最高指数时，曲线 y= R (x)不存在水平渐近线.3求曲线y5x 3x 24x3 7x2 x 1规范解法因为limx5x3 3x 24x3 7x2 x 15所以y 5是曲线的水平渐近线4(3)斜渐近线.如图3-22,设曲线y= f (x)的渐近线方程是 y = kx + b,下面我们来确定常数 k和b. 设曲线y = f (x) 上任意点P (x, f (x)到直线y = kx + b的距离是|PM|，则由点到直线的距离公式有:|PM | f_x_kx_门k2b|直线y= kx + b是曲线y= f (x)的渐近线，当且仅当lim

16、|f kxj_| 。；当且仅当xxkx b .lim f x kx b0;当且仅当 lim f xxxxx若k知道，则b可由上式求出，怎样求 k?f x0得 klim 匚xxx曰.直线y= kx + b是曲线疋，的渐近线当且仅当f x k limxx与 b lim f xxxxkx .因此，若上面两个极限都存在，则曲线限至少有一个不存在，则曲线 y= f (x)不存在斜渐近线.y = f (x)有斜渐近线y= kx + b;若上面两个极例4求曲线fx - 3的渐近线.4 x 1思路启迪 检验一条曲线y = f(x)是否存在斜渐近线，首先应检验limxx限数值，若为有限值 k,则再检验limxx

17、kx是否为有限值b,若b为有限值，则曲线y=f (x)存在斜渐近线 y= kx + b.规范解法已知lim x 3x 1 4 x 1,limx 14x 1所以，x = 1是曲线的垂直渐近线.2x 3 limx4x x 11J42b lim f xxkxlim耳x 4 x 1于是直线y即x-4y-5=0是曲线的斜渐近线.例5 求曲线y= arctanx的渐近线.规范解法 因为 lim arctanx, lim arctanxx2 x2所以曲线有水渐近线y -与y已知lim -0,从而由lim f x kxXYxxx例6求曲线fx 2x? X 2的渐近线.规范解法limx 022x x 2 c l

18、im22,x xx2x2 x 2 b lim f x kx limxx又k lim f xx2xx 2lim1.x x2x2 x 22x2 x 2 ,lim x 0则x = 0 (即y轴)是曲线的垂直渐近线.所以y= 2x + 1是曲线的斜渐近线.&怎样作函数的图象？在中学数学中，我们利用描点法描绘了一些简单函数的图象.但是，描点法有缺陷，因为描点法中我们所选的点不可能很多，而一些关键性的点，如极值点、拐点等可能漏掉；而曲线的重要性态如单调性，凸凹性也没有掌握.因此，描点法所描绘的函数图象往往与真实的图象相差甚远.现在，我们已经掌握了借助于导数的符号，可以确定函数图象在哪个区间上升，在

19、哪个区间下降，什么地方是极值点；借助于二阶导数的符号，可以确定函数图象在 哪个区间向下凹，在那个区间向上凸，在什么地方是拐点而我们知道了函数图象的升降、 凸凹以及极值点和拐点后，由此也可以掌握函数的性态， 并由此可以把函数的图象画得比较准确.一般地，利用导数描点绘函数的图象可按照下列的步骤来进行？(1) 确定函数的定义域.(2) 观察函数y= f ( x)是否具有某些特性(如奇偶性、周期性)(3) 求出函数y= f ( x)的渐近线(如果有的话)(4) 求出函数y f x的一阶导数f x与二阶导数f x .(5) 求出方程f x 0及f x 0的全部实根，并用这些根把函数的定义域分成若干 个区间(列表).(6) 判别曲线