存在与唯一性定理的证明

1、存在与唯一性定理的证明作者:日期:Picard存在与唯一性定理的证明定义：设函数f(x,y)在闭区域D上有定义，如果存在常数 L 0,使对任何(x,yj,(x,y2) D均满足不等式f (x,yi)f(x, y2)L yiy2 ,那么称f (x,y)在D上关于y满足Lipschitz条件,称L为Lipschitz常数Picard定理：设f (x, y)在闭矩形域D : x xoa, yy°b上连续，且关于y满足Lipschitz条件，那么初值问题d f(“)dxy(xo) yo在区间|x0 h,xo h上有且只有一个解，其中min( a, ), MMmaxf(x,y)证明:整个证明过

2、程分成如下五个局部I,首先证明求初值的解等价于求积分方程y0f (x, y)dx,x的连续解。x0事实上，假设y (x)(x I)是初值问题的解，那么有d( (x)dx(X。)y。f (x,(x),x I由此，f (x, (x)在I上连续，从而可积，于是对恒等式d( (x)dxf(X, (x),xI积分并利用初始条件，得x到(x)yof (x, (x)dx,x I即，y (x)(x I)是积分方程的解x0x反之，设y (x)(x I)是方程的连续解，即有恒等式(x) y0 f (x, (x)dx, x Ix0因为f (x, (x)在I上连续，故(x)xy°f(x, (x)dx,x I

3、x0右端是积分上限 x I的可微函数，从而(x)在I可微于是将(x)y°xf (x, (x)dx,xx0I两边对x求导，得恒等式 f(x, dxy (x)(x I)是初值问题的解(x),x I ,并令 xx得y(x°)y。，因此因此，我们只需证明积分方程存在唯一定义在区间Ix0h,x0h上的连续解。我们采用Picard的逐次逼近法来证明，根本思路就是在所设条件下构造岀一个一致收敛的连续函数序列，它的极限函数恰 是积分方程的唯一解n，用逐次迭代法在区间|上构造逐次近似的连续函数序列yn 1(X)yo f (x, yn(x)dxXo,X Iyo(x) yo0时，注意到f(x,y

4、0(x)是I上的连续函数，所以由知yi(x)yoXf(x, yo(x),(x I)在xoI上是连续可微满足不等y(x)yo|f(x,y°(x)dxx0于是在区间I 上 yi(x)yoMh bx0因此，f (x, y1 (x)在|上是连续的，所以由式知Xy2(x) yo f (x,y(x),(x I)在xo上是连可微的,而且满y2(x) yof(x,y(x)dx Mxo于是在区间1 上 y2(x)yoMh bxo以此类推，应用数学归纳法易证:由式给出的所谓Picard序列yn(x)是区间I上的连续函数序列，而且满足不等yn(x) yomx x0 Mh b, no,i，.山，证明Pica

5、rd序列yn(x)在区间I上一致收敛考虑级数yoy (x) yoyn (x) yn i (x)yonyk(x)yk 1(X)yn(x)，于是,要证明序列yn(x)在区间i上一致收敛，只需证明级数在k 1一致收敛。为此我们归纳证明不等式:yn l(x)yn(x) MLnxXo在|上成立事实上，当n 0y(x)yol|f(x,y°(x)dx M x xo 知式成立，假设当n k时式成立，xoyk i(x)yk(x) MLkk 1(k 0,1,.)在I上成立(k 1)xXo那么由式知yk 2(x)yk 1 (x) f (x, yk 1(x) f (x,yk(x)dx根据Lipschitz条

6、件和归纳假设得xoxyk 2(x) yk i(x)Lyki(x) yk(x) dxx0MLkxxo(k 1) dxMLk 1x xok2(k 2)因当Xhn 1I 时,X X0h,故由式知 yn1(x) yn(x)ML (n 1)(n on.)xo即当n k 1时式也成立，因此有数学归纳法知式得证 1因正项级数MLn-收敛,故由函数项级数一致收敛的Weierstrass(魏尔斯特拉斯)判别法知级数no (n 1)在区间|上一致收敛从而Picard序列yn(x)在区间I上一致收敛设其极限函数为(x)，即当x I时一致的有lim yn(x)(x)n那么y (x)在I上是连续的且由yn(x) y0b

7、推知(x) y0b,x IIV，证明y (x),(x I)是积分方程的解x在式两端令 n 得到 (x)y0 lim f (s, yn(s)dsnxx因此问题归结为证明lim f (s, yn(s)ds f (s, (s)dsnX0X0因Picard序列yn(x)在I上一致收敛，那么任给0,存在自然数N N()，当n N时，对I中所有 x 有 yn(x)(x) Lh故当x I时，由 Lipschitz条件知xxf(s,yn(s)dsf(x, (x)dsX0xx|f(s, yn(s) f (s, (x) dsx0xLyn(s)(s) dsX0xL dsx0x x?hN hxf(s,X0(s)ds成

8、立因此式 lim f (s, yn (s)dsnX0x因而当 x I 时有(x) y0f (s, (s)ds，所以 y(x),( xxoI)是积分方程的一个连续解V ,证明积分方程的连续解的唯一性设y(x)也是方程的定义在区间I上的连续解，那么(x)xyof (x, (x)dx, x I于是与步骤山类似，可归纳证明得yn(x)(x)h" 1MLn h(n(n 1)0,1,.)在 I上成立从而Picard序列yn(x)在区间I上也一致收敛与(x)，因此我们推出 (x)(x), x I所以，积分方程的连续解是唯一的。至此，定理得证。【注】定理中数h min a, -的几何意义因为在闭矩形

9、域 D上有f(x,y) M ,所以方程dy f(x, y)的积分曲线上任一点的切线斜率介于M与dxM 之间。过点 p(x°,y°)分别引斜率为 M 与M 的直线BC和BC :y yo M (x Xo), y y° M (x冷)，当M b时,如图所示；当M -时，如图所示aa显然方程 3 f (x,y)过点p(xo,y。)的积分曲线y(x)(如果存在的话)不可能进入图或所示的两dx个阴影区域内。假设 m b(即a 由图可见解y(x)在整个区间x a,x a上有定义；假设aMM b (即a )由可见，不能保证解y (x)在x a,x a上有定义。它可能在 aMx x1(x0 x x a)或x x2(x0 a x, xj外到达D的上边界y y0 b或下边界y y0 b,于是，当X xi或X x2时,y (x)没有定义。此时，由于点B1, C1, B