数字信号处理07 第七章有限单位冲激响应(FIR)数字滤波器设计方法

1、第七章 FIR滤波器的设计崔琳莉崔琳莉IIR数字滤波器：数字滤波器：可以利用模拟滤波器设计可以利用模拟滤波器设计但相位非线性但相位非线性FIR数字滤波器：数字滤波器： 可以严格线性相位，又可任意幅度特性可以严格线性相位，又可任意幅度特性因果稳定系统因果稳定系统可用可用FFT计算计算但阶次比但阶次比IIR滤波器要高得多滤波器要高得多主要内容主要内容n线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点n窗函数设计法窗函数设计法n频率抽样设计法频率抽样设计法nIIR与与FIR比较比较7.1 引言引言一、一、 FIR滤波器的主要特点：滤波器的主要特点：q 单位冲激响应只有有限多项单位冲激响应只有有限多项q

2、 可以设计成线性相位系统可以设计成线性相位系统q 只在零点处有极点，因此系统总是稳定的只在零点处有极点，因此系统总是稳定的q 便于便于DSPDSP实现（并可用立即数乘加指令编程，节实现（并可用立即数乘加指令编程，节约存储器）约存储器）二、二、FIR与与IIR相比较：相比较：q 首先在相频特性控制上可以做到线性相位，首先在相频特性控制上可以做到线性相位，IIR而不能做到这一点，这一点在通信等领域而不能做到这一点，这一点在通信等领域中要求却很重要；中要求却很重要；q 其次，其次，FIR不存在稳定性问题，其非递归结构不存在稳定性问题，其非递归结构不会产生极限环现象等有限精度问题；不会产生极限环现象等

3、有限精度问题；q 最后，最后，FIR还可以还可以FFT用来滤波。故用来滤波。故FIR应用应用越来越多。越来越多。三、线性相位设计的重要性三、线性相位设计的重要性1 1、系统的相移会造成信号波形的改变、系统的相移会造成信号波形的改变时间时间 t幅幅度度原始信号原始信号时间时间 t幅幅度度相移相移90o时间时间 t幅幅度度相移相移 180o2 2、系统非线性相移造成输出信号失真系统非线性相移造成输出信号失真dd)()(f1 f2f时时延延f1 f2f时时延延f1 f2f ( )f1 f2f ( ) 系统相位特性决定了信号不同频率的时延系统相位特性决定了信号不同频率的时延3 3、忽略相位信息的后果、

4、忽略相位信息的后果输入波形输入波形DFT变换变换忽略相忽略相位信息位信息IDFT变换变换输出波形输出波形4 4、要求线性相位的例子、要求线性相位的例子n通信系统：通信系统：调制解调器、综合业务数据网调制解调器、综合业务数据网（ISDN）等。等。n希尔伯特变换器：希尔伯特变换器：要求输入输出信号正交。要求输入输出信号正交。n高保真音响系统：高保真音响系统：音乐的相位失真必须减到音乐的相位失真必须减到最小，尽可能逼真地重现原来的声音。最小，尽可能逼真地重现原来的声音。n理想微分器：理想微分器：n线性相位要求：线性相位要求：5 5、线性相位的、线性相位的FIRFIR滤波器设计基础滤波器设计基础con

5、stant)(ddgg)(NpgpTTph00)(sin- 系统的群延迟系统的群延迟7.2 线性相位线性相位FIR滤波器特点滤波器特点 FIR滤波器的单位冲激响应：滤波器的单位冲激响应：( )01h nnN10( )( )NnnH zh n z系统函数：系统函数：在在 z 平面有平面有N 1 个零点个零点在在 z = 0 处是处是N 1 阶极点阶极点 一线性相位特点一线性相位特点命题：设命题：设FIRFIR单位冲激响应单位冲激响应h(n)h(n)为实序列，为实序列，且满足偶对称（或奇对数）条件：且满足偶对称（或奇对数）条件：)1()(nNhnhor)1()(nNhnh)()()()(jjweH

6、eHnh)21()(N22) 1()(Nor则：则：线性相位分析线性相位分析)1()(nNhnh10) 1(10)1(11010)()()1()()(NmmNNmmNnNmNnnNnnzmhzzmhznNhznhzH)()(1) 1(zHzzHN证明：证明：1 1、偶对称时：、偶对称时：即：即：)()(21)(1)1(zHzzHzHN10) 1()(21NnnNnzzznh 所以有所以有： 10)2) 1()2) 1(2) 1(2121)(NnNnNnNZZnhz)()(1) 1(zHzzHN线性相位分析线性相位分析) 1 ()2) 1(cos)()()(102)1()( HNneNjjNnn

7、heeHj则则 为线性相位。为线性相位。2) 1()(N其物理意义：其物理意义： 该该FIR有有(N-1)/2个个 采样周期的群时延。采样周期的群时延。10)2)1()2)1(2)1(2121)()(NnNnNnNZZnhzzH线性相位分析线性相位分析2 2奇对称时奇对称时)1()(nNhnh10)1(10)1(11010)()()1()()(NmmNNmmNnNmNnnNnnzmhzzmhznNhznhzH)()(1) 1(zHzzHN即即所以有：所以有：)()(21)(1) 1(zHzzHzhN10)1()(21NnnNnzzznh)()(1) 1(zHzzHN10)2)1()2)1(2)

8、1(2121)(NnNnNnNZZnhz线性相位分析线性相位分析10)2)1()2)1(2)1(2121)()(NnNnNnNZZnhzzH)2()2) 1(sin)()()(102)1()( HNneNjjNnnhjeeHj1022) 1()2) 1(sin)()(NnjNjjNnnheeH或或22) 1()(N则则 为线性相位为线性相位线性相位分析线性相位分析q物理意义：物理意义：FIRFIR有有( (N-1)/2N-1)/2个采样周期的群时延，且个采样周期的群时延，且信号通过此类信号通过此类FIR时，所有频率成份都有时，所有频率成份都有90900 0相移，相移，称为正交变换。称为正交变换

9、。二幅度特点二幅度特点1、h(n)偶对称，偶对称，N为奇数为奇数对（对（1）式）式10)21(cos)()(NnNnnhH由于由于:)()1(nhnNh)()()(jjeHeH2/ )1(12112/ )1(cos)21(2)21()21(cos)(2)21()(NmNnmNNnmNmhNhNnnhNhH得得: :线性相位滤波器的幅度特点线性相位滤波器的幅度特点)21(cos)21(cos)211(cosNnNnNnN2/ )1(12112/ )1(cos)21(2)21()21(cos)(2)21()(NmNnmNNnmNmhNhNnnhNhH2/ ) 1(0)cos()(Nnnna) 1(

10、),21(2)(),21()0(nNnhnaNha由于由于得得其中其中: :ncos2 , 0)(H2 , 0由于由于 对对 是偶对称的。是偶对称的。因此，因此， 对对 为偶对称。为偶对称。线性相位滤波器的幅度特点线性相位滤波器的幅度特点其中，其中， 2/11212/)21(cos)22(2)21(cos)(2)(NmNnmNNnmNmhNnnhH2/1)21(cos)(Nnnnb) 1(),12(2)(, 0)0(nNnhnbb2、h(n)偶对称，偶对称，N为偶数为偶数)21(Nh对（对（1）式与如上合并项，注意到由于）式与如上合并项，注意到由于N为偶数，为偶数， 项即为项即为0，则，则 0

11、)21(cosn )0| )(1zzH)(H 由于由于 时，时，且对且对 呈奇对称。因此，呈奇对称。因此， 对对 呈奇对称。呈奇对称。并有并有: :线性相位滤波器的幅度特点线性相位滤波器的幅度特点)1()(nNhnh)21(| )1()21(21NhnNhNhNn12110)21(sin)(2)21(sin)()(NNnNnNnnhNnnhH0)21(Nh2/ )1(1sin)(Nnnnc 代入代入(2)(2)式式3、h(n)奇对称，奇对称，N为奇数为奇数所以有：所以有：其中其中, ,线性相位滤波器的幅度特点线性相位滤波器的幅度特点) 1()21(2)(, 0)0(nNnhnccnsin2 ,

12、 0由于由于 在在 均为均为0 0并对这些点呈奇对称。并对这些点呈奇对称。线性相位滤波器的幅度特点线性相位滤波器的幅度特点)1()(nNhnh10)21(sin)()(NnNnnhH12)21(sin)(2NNnNnnh)21(sin)12(22/1mmNhNm2/ )1(1)21(sin)(Nnmnd) 1()12(2)(, 0)0(nnNhndd其中：其中： 对（对（2 2）式）式4、h(n)奇对称，奇对称，N为偶数为偶数线性相位滤波器的幅度特点线性相位滤波器的幅度特点2 , 02 , 0 )21(sinn)(H由于由于 在在 处为处为0 0。因此，因此， 对对 呈奇对称。呈奇对称。线性相

13、位滤波器的幅度特点线性相位滤波器的幅度特点总结：总结：（1）第）第1，2种一般为低通特性；种一般为低通特性； 第第3，4种一般为高通、带通特性。种一般为高通、带通特性。（2）当）当N，h(n)均为偶（或奇）时，均为偶（或奇）时，H( )为奇对称。为奇对称。当当N，h(n)为一奇一偶时，为一奇一偶时，H( )为偶对称。为偶对称。)2 , 0( :()2 , 0( :(四种线性相位滤波器四种线性相位滤波器 偶对称单位冲激响应h(n) h(N1 n)相位响应21)(N情况1()o( N1)情况2N为奇数h(n)0N1nna(n)21NN为偶数h(n)0nN1b(n)01 22Nn2/ )1(0cos

14、)()(NnnnaHH()o2/1 21 cos)()(NnnnbHH()2o0四种线性相位滤波器四种线性相位滤波器 N为奇数h(n)0nN1C(n)0121NnN为偶数h(n)0N1nd(n)012Nn221)(N相位响应情况3()2o 23 N情况42/ )1(1)sin()()(NnnncHH()o22/121sin)()(NnnndHH()o2例例 1 如果系统的单位脉冲响应为如果系统的单位脉冲响应为 01)(nh0n4 其他其他n 显然，这是第一种类型的线性相位显然，这是第一种类型的线性相位FIR数字滤波器。该系统的频数字滤波器。该系统的频率响应为率响应为 )(2405)2/sin(

15、)2/5sin(11)(jjjnjjnjjeeeeeeeH）（该系统的振幅、相位和群延迟示于图该系统的振幅、相位和群延迟示于图1中。因为中。因为h(n)的长度的长度N=5， 群延迟也是整数，群延迟也是整数，()=(N-1)/2=2。 例例1 系统的频率响应系统的频率响应（a） 振幅特性振幅特性; (b) 相位相位; (c) 群延迟群延迟 52.501.2500223202232022324202443210()(a)(b)(c)3.7)(ejH()例例 2 系统的单位脉冲响应为系统的单位脉冲响应为 01)(nh0n5 其他其他n h(n)为偶对称且长度为偶对称且长度N=6，因此，这是第二种类型

16、的线性因此，这是第二种类型的线性相位相位FIR数字滤波器。该系统的频率响应为数字滤波器。该系统的频率响应为 )2/sin()3sin(11)(25506jnjjnjjeeeeeH该系统的振幅、相位和群延迟示于图该系统的振幅、相位和群延迟示于图2中。中。 例2系统的频率响应(a） 振幅特性; (b) 相位; (c) 群延迟 4.53.01.50022320223202232()4202443210(a)(b)(c)(ejH() 例例 3 系统的单位脉冲响应为系统的单位脉冲响应为h(n)=(n)-(n-2) h(n)为奇对称且长度为奇对称且长度N=3，因此，这是第三种类型的线性因此，这是第三种类型

17、的线性相位相位FIR数字滤波器。该系统的频率响应为数字滤波器。该系统的频率响应为 )sin(2)sin(2)(1)(22jjjjjjjjejeeeeeeH该系统的振幅、该系统的振幅、 相位和群延迟示于图相位和群延迟示于图6-6中。中。 例3系统的频率响应（a） 振幅特性; (b) 相位; (c) 群延迟 0223202232022303.01.501.53.02.01.51.00.50(a)(b)(c)()(ejH() 例例 4 系统的单位脉冲响应为系统的单位脉冲响应为h(n)=(n)-(n-1) h(n)为奇对称且长度为奇对称且长度N=2，这是第四种类型的线性相位这是第四

18、种类型的线性相位FIR数字滤波器。该系统的频率响应为数字滤波器。该系统的频率响应为 该系统的振幅、 相位和群延迟示于图4中。 例4 系统的频率响应（a） 振幅特性; (b) 相位; (c) 群延迟 022320223202230.803.01.501.53.02.01.51.00.50()()(ejH三、零点特性三、零点特性 线性相位线性相位FIRFIR传递函数传递函数 满足满足 则则 的零点必为互为倒数的共轭对（以单位圆对称）的零点必为互为倒数的共轭对（以单位圆对称）)(zH)(zH)()()(1)1(AzHzzHN)(zH)(zH)(zH)(nh)(nhiziz0)(i

19、zH1iz0)(1izHiz0)(1izH1)(iz0)(izH证：证： 为实序列，为实序列， 若存在若存在 使得使得 。 则必存在则必存在 使得使得 （由（由( (A)A)式可知）。式可知）。 由于由于 是实序列，对是实序列，对 也必定是也必定是 的零的零 点，即点，即 类似地类似地 ，因此线性相位，因此线性相位FIRFIR 中，若有复零点中，若有复零点 ，则一定有，则一定有 与之对应。与之对应。线性相位线性相位FIR滤波器的零点位置图滤波器的零点位置图 0 11jImzRe zz1z1*11z11z221zz0Re zjImz1 10Re zjImz1 10Re zjImz1 10Re z

20、jImz1 1221zz11zz1(a)(b)(c)(d )(e)三、零点特性三、零点特性讨论：第讨论：第1 1，2 2，3 3，4 4类类FIRFIR的的 零点的特点。零点的特点。 如：第如：第1 1类没有确定零点；类没有确定零点； 第第2 2类在类在 时确定有零点；时确定有零点；第第3 3类在类在 均有零点；均有零点；第第4 4类在类在 为零点。为零点。-1j-j1iziz1)(iz1iz)(1z)(1z)0(1z)2 , 0(1z7.3 窗函数设计法窗函数设计法一、设计方法一、设计方法又称傅里叶级数设计法又称傅里叶级数设计法)()()(10jdNnjnjeHenheH逼近理想滤波器理想滤

21、波器的频率响应的频率响应设计思路是：设计思路是：逼近方法（时域上）：逼近方法（时域上）：deeHnhnhjnjdd)(21)()(20逼近但由此得到的冲击响应一般无限长且非因果（如理但由此得到的冲击响应一般无限长且非因果（如理想低通），故需要使用加窗方法进行截取。想低通），故需要使用加窗方法进行截取。)()()(nhnwnhd窗函数设计法窗函数设计法的由来的由来二、窗函数的概念及加窗时域过程二、窗函数的概念及加窗时域过程理想低通滤波器：理想低通滤波器：1 1、加窗过程的时域实现、加窗过程的时域实现ccjjdeeH, 0,)()()(sin21)(nndeenhcjnjdcchd(n)是中心点在

22、是中心点在a的偶对称无限长非因果序列的偶对称无限长非因果序列加窗截断加窗截断, ,取矩形窗：取矩形窗：)()()(nRnhnhNd)()(nRnwN按照线性相位滤波器的约束，按照线性相位滤波器的约束，h(n)必须是偶对称必须是偶对称的，对称中心应为长度的一半，即（的，对称中心应为长度的一半，即（N-1)/2所以有：所以有：2/ ) 1(10 ,)21()21(sin)()(NNnNnNnnhnhcccd窗函数的概念及加窗时域过程窗函数的概念及加窗时域过程=(N-1)/2(N-1) n)(nhd=(N-1)/2(N-1) n)(nh)(nRN物理意义：物理意义：(1) 截断截断hd(n)RN(n

23、)=h(n) 可认为是：可认为是： hd(n)与与“窗口窗口”函数函数RN(n)相乘，称为相乘，称为“矩形窗矩形窗”。(2) 推广：推广： h(n) = hd(n)w(n) （1） 称称w(n)为窗函数为窗函数，一般取值，一般取值n:0:N-1。 “加窗加窗”意味着对意味着对hd(n)加权。加权。2、加窗的频率解释、加窗的频率解释q加窗在时域上是对信号加窗在时域上是对信号“切断切断”，通过一个，通过一个“窗口窗口”得到一段信号得到一段信号hd(n)。q那么这种逼近的效果如何？对理想频响的影响那么这种逼近的效果如何？对理想频响的影响如何？如何？)()(jeWnw)()(jddeHnh设：设：由由

24、DTFT的频域卷积定理，有的频域卷积定理，有deWeHeHjjdj)()(21)()( （2）物理意义：物理意义：W(ej )决定了决定了H(ej )逼近逼近Hd(ej )的效果。的效果。加窗的频率解释加窗的频率解释例：讨论举矩形窗设计出的例：讨论举矩形窗设计出的 逼近逼近 Hd(ej )的效果。的效果。)()(jeHnh)1 ()1 ()()()(10jNjNnnjjRNReeeeWnRnwjRNjjReWNeeW)()2/sin()2/sin()()21(解：解：幅度函数幅度函数)2/sin()2/sin()(NWR加窗的频率解释加窗的频率解释jdjdeHeH)()(ccdH, 0, 1)

25、(deWeHeHjRjdj)()()(21)(jHRdedWH)()()(21而理想低通数字滤波器而理想低通数字滤波器其中：其中：（3 3）加窗的频率解释加窗的频率解释n 画出画出 、 、 ，如下图所示，说明，如下图所示，说明（3）式的卷积过程和结果。）式的卷积过程和结果。 )(RW)(dH)(H加窗的频率解释加窗的频率解释加窗的频率解释加窗的频率解释加窗的频率解释加窗的频率解释结论：结论：1）吉布斯现象是由于时域）吉布斯现象是由于时域“加窗切断加窗切断”hd(n)产生的。产生的。H( )过渡带与过渡带与WR( )的主瓣宽度有关；阻的主瓣宽度有关；阻带衰减与带衰减与WR( )的旁瓣有关；的旁瓣

26、有关； H( )的过渡带宽等的过渡带宽等于于 WR( )的主瓣宽度的主瓣宽度4 /N，反比于反比于N。)2(2/)2/sin()2/sin()2/sin()(1NNSaNNWNR 2）矩形窗）矩形窗则则N不影响主瓣与旁瓣的相对幅度，因此不影响主瓣与旁瓣的相对幅度，因此N增大，增大，不影响不影响H( )的肩峰，只影响余振频率增大。的肩峰，只影响余振频率增大。加窗的频率解释加窗的频率解释3 3）选窗原则：）选窗原则： W( )旁瓣尽可能小，能量集中在主瓣。旁瓣尽可能小，能量集中在主瓣。( (N增大增大) ) W( )主瓣尽可能窄，过渡带窄。主瓣尽可能窄，过渡带窄。( (N减小减小) ) 二者的矛盾

27、在工程上折中。加宽主瓣换取旁瓣抑制。二者的矛盾在工程上折中。加宽主瓣换取旁瓣抑制。三、常用窗函数举例三、常用窗函数举例jRjRRNeWeWnwnR)()()()()2/sin()2/sin()(NWR1、矩形窗：、矩形窗：其中：其中：2、Bartlett窗（三角形窗）窗（三角形窗）21012( )212112nNnNw nnNnNN常用窗函数举例常用窗函数举例)12()12(41)(21)(NWNWWWRRR其中其中如下图所示，可以看出如下图所示，可以看出W( )与与WR( )相比主瓣加宽了，相比主瓣加宽了，而旁瓣抑制更好。（因旁瓣抵消一部分）而旁瓣抑制更好。（因旁瓣抵消一部分）21N)()1

28、2cos(121)(nRNnwN3、Hanning窗（升余弦窗）窗（升余弦窗）jRjReWeW)()(常用窗函数举例常用窗函数举例4、Hamming窗（改进升余弦窗）窗（改进升余弦窗）)()12cos(4 . 054. 0)(nRnNnwN对升余弦窗改进，使能量更集中在主瓣。对升余弦窗改进，使能量更集中在主瓣。常用窗函数举例常用窗函数举例)()14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)(nRnNnNnwN10,)1211()(020NnINnInw5、Blackman窗（二阶升余弦窗）窗（二阶升余弦窗）与上与上3的改进思路类似，但增加二阶谐波。的改进思路类似，但增加二阶谐波。6

29、、Kaiser窗（凯塞窗）窗（凯塞窗）常用窗函数举例常用窗函数举例说明：说明： 为可选择的参数。为可选择的参数。 越大，越大， w(n)变化越快。变化越快。 =0，w(n)为矩形窗；为矩形窗； =5.44， w(n)接近接近Hamming; =8.5， w(n)接近接近Blackman。dyexIyjxsin021)(21!)2(1kkkx其中：其中：（零阶贝塞尔（零阶贝塞尔Bessel函数）函数）常用窗函数举例常用窗函数举例w(n)0.20矩形窗三角窗布拉克曼窗海宁窗海明窗(N1) / 2N1n00.81-100-80-60-40-200/Gain, d

30、BRectangular window00.81-100-80-60-40-200/Gain, dBHanning window00.81-100-80-60-40-200/Gain, dBHamming window00.81-100-80-60-40-200/Gain, dBBlackman window各种窗函数的傅里叶变换（各种窗函数的傅里叶变换（N=51)N=51)窗函数窗函数窗谱性能指标窗谱性能指标加窗后滤波器性能指标加窗后滤波器性能指标旁瓣峰值旁瓣峰值/dB主瓣宽度主瓣宽度过渡带宽过渡带宽阻带最小衰减阻带最小衰减/dB矩形窗矩

31、形窗三角形窗三角形窗汉宁窗汉宁窗海明窗海明窗布拉克曼窗布拉克曼窗凯泽窗凯泽窗( =7.865)-13-25-31-41-57-5724443.35.55-21-25-44-53-74-80讨论：常用几中窗函数的性能列于表讨论：常用几中窗函数的性能列于表7-3，使用时可，使用时可查阅。表查阅。表7-2的规律：阻带衰减的分贝数越大（性能的规律：阻带衰减的分贝数越大（性能好），代价是过渡带越大。好），代价是过渡带越大。四、设计方法及举例四、设计方法及举例 1、窗函数法设计步骤：、窗函数法设计步骤：(1) 给定所要求的频率响应函数给定所要求的频率响应函数Hd(ej ).(2)计算理

32、想计算理想hd(n).(3)按要求选窗按要求选窗w(n) .（过渡带宽、阻带最小衰减等）（过渡带宽、阻带最小衰减等）.(4)查表定查表定N .(5) h(n) = hd(n)w(n) (6) 求求H(ej )DTFTh(n)，检验是否满足设计要求。检验是否满足设计要求。 例例1 用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通低通滤波器，设滤波器，设N=11,c=0.2rad。sin()( ),010()1(1)52sin(0.2 (5)( ),010(5)cddnh nnnNnh nnn2、应用举例、应用举例解解 用理想低通作为逼近滤波器有用理想低通作为逼近滤波器有

33、用汉宁窗设计：用汉宁窗设计：( )( )( ),0102( )0.5(1cos)10dHnHnh nh nnnnn用布莱克曼窗设计：用布莱克曼窗设计： 11( )( )( )22( )(0.420.5cos0.08cos)( )1010dBlBlh nhnnnnnRn例例1 1的低通幅度特性的低通幅度特性例例2、设计一线性相位、设计一线性相位FIR数字低通数字低通LPF，要求通带要求通带截止频截止频 率为：率为： p=0.2 （带内衰减带内衰减1dB），），阻带截阻带截止频率为止频率为 st=0.3 ，阻带衰减优于，阻带衰减优于-25 dB。解：解：(1) 窗函数一般带内衰减窗函数一般带内衰减

34、1 dB都可满足。主要是都可满足。主要是考虑阻带衰减优于考虑阻带衰减优于-25 dB，查表查表5-2，选，选Hamming窗。窗。) 1 ()cos(0.40.54(n)Rn1N2w(n)N设计方法及举例设计方法及举例 N81 . 0)(8pstN81,80NN取奇数deeHnhnjjdd)(21)(deeHnjjdcc)(21(2) 从过渡带要求确定从过渡带要求确定NHamming：过渡带过渡带即要求：即要求：（第（第1类，类，FIR 线性相位条件约束）线性相位条件约束）(3) 理想理想LPF p st)2()40()40(2 . 0sinnn设计方法及举例设计方法及举例 窗口法特点：可得出

35、窗口法特点：可得出h(n)的解析式。的解析式。)3()()()(nwnhnhdFTcdttth)()(sin)( DTFTcdnnnh)()(sin)()( jHd2w)(jwdeH从从(1)、(2)导出导出(3)式式n:(080)的共的共81点，即设计好了。点，即设计好了。（4）讨论：第讨论：第(3)步计算可用步计算可用FT与与DTFT关系来计算关系来计算q窗口法设计的主要优点是简单，使用方便。窗口法设计的主要优点是简单，使用方便。q窗口函数大多有封闭的公式可循，性能、参数窗口函数大多有封闭的公式可循，性能、参数都已有表格、资料可供参考，都已有表格、资料可供参考， 计算程序简便，计算程序简便

36、， 所以很实用。所以很实用。q缺点是通带和阻带的截止频率不易控制。缺点是通带和阻带的截止频率不易控制。其他应用补充：其他应用补充：1、理想、理想Hilbert变换的时、频计算。变换的时、频计算。2,0,)(jjeHjd0,0,jjor00)(2121)(dejdjenhnjnjd0)0(, 0,)2(sin22dhnnn) 1(1 1)(ndnnh 计算单位冲激响应。计算单位冲激响应。 或或其他应用补充：其他应用补充：)(jeH02jj)(jeH02jj2 2、理想微分器的时、频计算及、理想微分器的时、频计算及FIRFIR设计。设计。 2),2(0,)(jjeHjd20)2(2121)(dej

37、dejnhnjnjd计算单位冲激响应。计算单位冲激响应。2)sin()cos(nnnn其他应用补充其他应用补充n若选用矩形窗若选用矩形窗: :n则则 ，显然，显然 。实现形式有。实现形式有前面所讲的前面所讲的3 3、4 4两种类型。【但矩型窗效果并不好】两种类型。【但矩型窗效果并不好】)()21()(nRNnhnhNd21N)1()(nNhnh)(nhn0N-1第3类N为奇)(nhn0N-1第4类N为偶)(jeH 0N=11N=11)(jeH0N=6其他应用补充其他应用补充cjcjhpeeH,0, 0)(),(1 )(jlpjjhpeHeeH)()(sin)()(sin)(nnnnnhchp2

38、1N3、N点高通点高通FIR设计设计显然：显然：所以：所以：其中：其中：)(jhpeHn 实现时，滤波器实现时，滤波器 形式可以是有形式可以是有1 1到到4 4任意一种。但任意一种。但 3 3、4 4型一般用于微分器和相移器中。常用的是采用型一般用于微分器和相移器中。常用的是采用1 1、2 2型，型， 但高通采用但高通采用2 2型不好（见后面的图示）。型不好（见后面的图示）。其他应用补充：其他应用补充：)(jhpeH22)(nhhpn0N-1)(nhhpn0N-1第1类，N为奇第2类，N为偶)(jhpeH7.4 频率采样法频率采样法一、频率抽取设计法的基本思路一、频率抽取设计法的基本思路窗口法

39、从时域出发，频率采样法则从频域出发窗口法从时域出发，频率采样法则从频域出发令令)()()(2kjddNeHkHkH逼近达到使达到使)()(jdjeHeH逼近若要求若要求h(n)可以对可以对H(k) 进行进行IDFT运算，得到：运算，得到：)()(nhnhd逼近或延拓或延拓 H(k)为：为：1011)(1)(NkkNNzWkHzzzH)2()()(10kNkHeHNkkj)(jdeH逼近)(21)()()(jNjjeHeHeHkjkeHkH)( 即频率内插，内插函数为：即频率内插，内插函数为：二、线性相位约束二、线性相位约束设计线性相位设计线性相位FIR时，时， H(k)样值也应满足线样值也应满

40、足线性相位条件约束。下性相位条件约束。下面也分四类来讨论。面也分四类来讨论。令：令：Nk)(Nk221)2()(HH)2()( HHkNKHHkNKHHNk)(Nk221)2()(HHkNKHH2221Nk)(NkkNKHH)2()( HH2221Nk)(Nk线性相位约束线性相位约束第第1 1类类 由：由： 有：有：第第2 2类类 由：由： 有：有：第第3 3类类 由：由： 有：有：第第4 4类类 由：由： 有：有：频率采样法频率采样法三、频率采样设计法举三、频率采样设计法举例例例：设计一线性相位例：设计一线性相位FIR，带通滤波器，通带带通滤波器，通带500-700Hz，采样采样fs=3.3

41、KHz，阶数选阶数选N=33。解：解：(1) (1) 确定确定H(k): 由由 N=33，fs=3.3KHz，可得可得:频率分辨力：频率分辨力：KHzNfsf1 . 0要求设计要求设计BPF，线性相位，线性相位，N为奇数，选第为奇数，选第1类类FIR有：有：)2()( HH2) 1()(N)()()(22kfsfjkNjeHeHkH频率采样法频率采样法其它，028.27.26, 7 . 6 . 5,1)()(33322keeHkHkjkNj(3) (3) 内插计算内插计算H(z) - -用用z z域内插域内插10)(1)(NkknNWkHNnh320332)(331kknjekH1032013

42、323311)(3311)(1)(NkkkjkNNzekHzzWkHNzzH1)28(1)27(1)26(1)7(1)6(1)5()1 (33112833212733212633217332163321533233zeHzeHzeHzeHzeHzeHzjjjjjjcos42. 068. 1cos58. 078. 117cos16cos)(3316 jjeeH(2) (2) 计算计算h(n) ，用，用IDFT四、增加过渡带和减少肩峰四、增加过渡带和减少肩峰q 直接按上述对理想直接按上述对理想Hd(ejw)取样值，再内插。取样值，再内插。q 当有跳变处，会在内插时产生肩峰起伏。当有跳变处，会在内插

43、时产生肩峰起伏。q 可以通过在过渡带中取一些样值来使之样值之可以通过在过渡带中取一些样值来使之样值之间光滑过渡，使肩峰起伏小些。间光滑过渡，使肩峰起伏小些。q 但计算上稍麻烦一些。至于取什么样的过渡点，但计算上稍麻烦一些。至于取什么样的过渡点，在工作中大多结合在工作中大多结合CAD设计。设计。五、举例说明五、举例说明13,.3 , 2014, 15 . 001kkkHk，2) 1()(N例：用频率采样法设计线性相位例：用频率采样法设计线性相位LPF(N=15)。已知：已知：解：解： (1) 确定确定H(k)。 取取N为奇，线性相位为奇，线性相位 （为第（为第1类）类）145 . 0132015

44、 . 001)(141514151422)1(kekkekeHkHjjkNNjk，(2) 计算计算h(n)21211 (151)(1)(14152151414152151410jjjjNkknNeeeeWkHNnh举例说明举例说明)7(152cos1151)1514152cos(1151nn14, 1, 0n 频率采样型频率采样型 1z . )0(h)1(h)2(h)14(h)(nx)(ny1z1z1z1011)(1)(NkkNNzWkHNzzH(3) (3) 实现结构实现结构 横截型横截型运算量：运算量：15次（次（N）乘法，乘法，14次次(N-1)加法。加法。n且且H(k)样点少，可转化为

45、实现系数二二环形式。样点少，可转化为实现系数二二环形式。n本题只有一对复数本题只有一对复数H(k) ，一个实数，一个实数H(k) 。 )(nx)(ny1z1z1zNz1111) 0 (H0NW1210N1举例说明举例说明运算量：乘法运算量：乘法6 6次，加法次，加法6 6次。比前一种形式节省运算量。次。比前一种形式节省运算量。六、窗函数法与六、窗函数法与频率采样法比较频率采样法比较总结：（总结：（1 1）FIRFIR设计方法中，窗口法便于得到解设计方法中，窗口法便于得到解析式，使用方便；而频率采样法在采样点数少析式，使用方便；而频率采样法在采样点数少时很方便，因此频率采样法便适用于窄带滤波时很

46、方便，因此频率采样法便适用于窄带滤波器设计。器设计。 （2 2）频率采样法的）频率采样法的FIRFIR设计方法与前述设计方法与前述FIRFIR滤波器实现结构中的频率采样型的理论都是一滤波器实现结构中的频率采样型的理论都是一个，但用于不同的方面。个，但用于不同的方面。7.5 IIR与与FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较 1、在相同技术指标下，由于、在相同技术指标下，由于IIR滤波器存在输出滤波器存在输出对输入的反对输入的反 馈，因此可以使用较少的阶数、运馈，因此可以使用较少的阶数、运算、和存储单元。通常算、和存储单元。通常FIR比比IIR阶数高出阶数高出5-10倍。倍。2、FIR可得到严格的

47、线性相位，可得到严格的线性相位，IIR是不能得到严是不能得到严格的线性格的线性 相位。相位。IIR滤波器选择性越好，相位的滤波器选择性越好，相位的非线性越严重。非线性越严重。3、FIR滤波器具有稳定性；滤波器具有稳定性；IIR结构容易引起寄生结构容易引起寄生振荡。振荡。7.5 IIR与与FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较 4、FIR滤波器具有有限长冲击响应，易于用滤波器具有有限长冲击响应，易于用FFT进行快速处理。进行快速处理。IIR滤波器是不行的。滤波器是不行的。5、IIR滤波器可以利用模拟滤波器设计经验，对滤波器可以利用模拟滤波器设计经验，对计算工具要求不高；计算工具要求不高；FIR需借助辅助计算机分需借助辅助计算机分析系数。析系数。6、FIR滤波器可以设计各种类型滤波器，而滤波器可以设计各种类型滤波器，而IIR主要设计较标准形状的滤波器。主要设计较标