第3章信号的采样与重构(4)

1、1n离散LTI系统能等效为连续LTI系统n等效频率响应为：n实际应用中：n连续时间信号连续时间信号不是真正带限不是真正带限的；的；n理想理想锐截止锐截止滤波器（数字及模拟滤波器（数字及模拟)也不能完全实现；也不能完全实现；n理想理想CD和和DC转换器是转换器是近似近似实现，存在畸变和误差实现，存在畸变和误差n如何使得离散化处理接近线性时不变特性？C/D离散时间离散时间系统系统D/CTT)(txcnxny)(tyr)(jeHTeHjHTjeff/)()(3.4 连续信号离散化处理的若干问题连续信号离散化处理的若干问题2n实际应用中，采样率设定总是受到干扰：实际应用中，采样率设定总是受到干扰：n1

2、、输入信号、输入信号不带限不带限n2、信号本身是带限的，、信号本身是带限的，加性噪声加性噪声也可能占据高频区域；也可能占据高频区域；n3、信号处理时，仅需占据信号的部分带宽有用信号、信号处理时，仅需占据信号的部分带宽有用信号n语音在语音在020kHz内有明显分量，对用户来说内有明显分量，对用户来说34kHz足够足够n防止因采样而引起的混叠，必须将输入信号防止因采样而引起的混叠，必须将输入信号强制限带强制限带有有用信号的频带之内，然后再根据用信号的频带之内，然后再根据有用信号的带宽有用信号的带宽设定采设定采样率样率.n如果系统的采样率一定，则要求输入信号强制限带到如果系统的采样率一定，则要求输入

3、信号强制限带到低于所要求的采样率一半（又称作系统的低于所要求的采样率一半（又称作系统的处理带宽处理带宽）。）。一、消除混叠的预滤波一、消除混叠的预滤波3C/D离散时间离散时间系统系统D/CTT)(txcnxny)(tyr)(jeH增加抗混叠后)( jHaa抗混叠抗混叠滤波器滤波器n限带功能由限带功能由CD转换器之前的低通滤波器完成，转换器之前的低通滤波器完成，称为称为抗混叠滤波器，抗混叠滤波器，要求抗混叠滤波器在有效带要求抗混叠滤波器在有效带宽处有足够大的衰减宽处有足够大的衰减。n理想情况下，抗混叠滤波器的频率响应为：理想情况下，抗混叠滤波器的频率响应为：)( jHaaTcc10)( jHef

4、f)()(TjaaeHjH)(txa4?问题n期望：抗混叠滤波器期望：抗混叠滤波器有锐截止有锐截止特性。特性。n利用有源网络和集成电路可以较理想的实利用有源网络和集成电路可以较理想的实现锐截止滤波器。现锐截止滤波器。n锐截止滤波器一般都有很严重的锐截止滤波器一般都有很严重的非线性相位非线性相位，即相位失真，尤其在通带边缘；即相位失真，尤其在通带边缘；n这样高要求的连续域滤波器的这样高要求的连续域滤波器的实现是困难实现是困难和昂和昂贵的。贵的。5n为了实现在为了实现在 以上的频率响应部分小到可以上的频率响应部分小到可以忽略不计，就需要对以忽略不计，就需要对 特性一开始就特性一开始就进行进行“滚降

5、滚降”，也即在低于，也即在低于 的频率上就的频率上就引入衰减。引入衰减。n这种衰减所带来的幅度失真能够部分的在离散这种衰减所带来的幅度失真能够部分的在离散时间系统中补偿时间系统中补偿 幅度预滚降T)( jHaaTT?6n采用采用简单简单的抗混叠滤波器，使得其在的抗混叠滤波器，使得其在M倍的信号带宽处倍的信号带宽处 有显著的衰减。有显著的衰减。n采用采用高高的采样率的采样率 实现实现C/D转换，转换，转换之后进行转换之后进行M倍倍抽取。抽取。过采样抗混叠过采样抗混叠NMNM278采样采样保持保持A/D转换器转换器TT)(txa)(txo nxB二、二、A/D采样量化噪声采样量化噪声n理想理想CD

6、转换器将连续时间信号转转换器将连续时间信号转换为换为无限精度无限精度的离散时间信号。的离散时间信号。n实际实际中利用数字信号进行处理，即中利用数字信号进行处理，即近似为近似为有限精度有限精度的的序列或量化序列或量化样本样本9n量化器是一种非线性量化器是一种非线性系统系统，能够将输入样，能够将输入样本按照某一规则本按照某一规则映射映射到幅值的有限集到幅值的有限集量化C/D量化器量化器编码器编码器T)(txanx nx nxB)(xQx 32229272523223252729 2 3量化器量化阶取决于满幅度电平和量化位数有关BmBmXX2221 nxnxB10n一般量化样本不同于样本的真值一般量

7、化样本不同于样本的真值,其差值就是其差值就是量化误差：量化误差： n对于舍入的量化器：对于舍入的量化器：n量化器的简化模型如图所示。量化器的简化模型如图所示。n在大多数情况下，在大多数情况下，e(n)是未知的是未知的n可用一种统计模型来表示量化效应，在该模型中，可用一种统计模型来表示量化效应，在该模型中，量化误差样本被认为是一种加性噪声信号。量化误差样本被认为是一种加性噪声信号。 nxnxne22ne量化器量化器Q( )xnenxn量化器噪声模型量化器噪声模型 nenxnx nx量化噪声模型11n实验证明实验证明，随着信号变得，随着信号变得愈益复杂愈益复杂，信号与量化噪声，信号与量化噪声之间所

8、测得的相关愈趋减弱，并且误差也变得不相关之间所测得的相关愈趋减弱，并且误差也变得不相关（2、3假设）。假设）。n像语音或音乐这样一类以一种不可预见的方式剧烈起伏波动的像语音或音乐这样一类以一种不可预见的方式剧烈起伏波动的信号，这些假设就能够比较符合情况信号，这些假设就能够比较符合情况n可推理可推理，如果信号足够复杂，而如果信号足够复杂，而量化阶又足够小量化阶又足够小，以，以致于从一个样本到另一个样本，信号的幅度很可能横致于从一个样本到另一个样本，信号的幅度很可能横穿过许多量化台阶，那么这个统计模型的假设似乎就穿过许多量化台阶，那么这个统计模型的假设似乎就愈真实愈真实。1213加性噪声模型的基本

9、加性噪声模型的基本假设假设n1、误差序列、误差序列en是平稳随机过程。是平稳随机过程。n2、误差序列、误差序列en与序列与序列xn不相关。不相关。n3、误差过程为白噪声，样本之间不相关。、误差过程为白噪声，样本之间不相关。n4、误差过程概率分布在量化误差范围内均、误差过程概率分布在量化误差范围内均匀分布匀分布 。n假设是有条件假设是有条件的，要求信号足够的，要求信号足够复杂复杂，而，而量化量化阶又足够小。阶又足够小。例如对阶跃函数，这些假设就不例如对阶跃函数，这些假设就不能认为是合理的。能认为是合理的。14n均匀舍入量化噪声是均匀分布的随机变量均匀舍入量化噪声是均匀分布的随机变量n量化噪声的一

10、阶概率密度如图所示量化噪声的一阶概率密度如图所示(如果量如果量化是化是截尾截尾而不是舍入，那么误差总是负的，而不是舍入，那么误差总是负的，并假设从并假设从- 到到0为均匀概率密度分布为均匀概率密度分布)。22ne)(ePne1 emBx2 22均匀量化15n由于假定噪声由于假定噪声样本间是不相关样本间是不相关，这样，这样en为均匀分布的为均匀分布的白噪声白噪声序列。序列。nen的均值是零，而其的均值是零，而其方差方差为：为：n对于一个对于一个(B+1)位双极性量化器，其位双极性量化器，其满幅度值为满幅度值为 。噪声方差或。噪声方差或功率功率是是 :1222cmX122222mBcX量化噪声功率

11、16n信号被加性噪声所污损的一种常用度量是信号被加性噪声所污损的一种常用度量是信噪比信噪比，定义为信号方差，定义为信号方差(功率功率)对噪声功对噪声功率的比，以率的比，以dB表示表示n一个一个(B+1)位量化器的信噪比是：位量化器的信噪比是：n量化样本的字长每增加一位量化样本的字长每增加一位(也即量化电平数也即量化电平数加倍加倍)，信噪比提高，信噪比提高6dB。 )lg(208 .1002. 6)212lg(10)lg(1022222xmmxBcxXBXSNR量化器量化器Q( )xnenxn nenxnx nx17n容易看出当容易看出当 减半时，减半时，SNR下降下降6dB。n因此，仔细地将因

12、此，仔细地将信号幅度信号幅度与与AD换器的换器的满满幅度幅度值值匹配匹配是很重要的。是很重要的。n对于像语音和音乐这样的模拟信号，幅度分布对于像语音和音乐这样的模拟信号，幅度分布趋向于集中在零附近，并随着幅度的增加很快趋向于集中在零附近，并随着幅度的增加很快地跌落。在这些情况下，样本幅度超过地跌落。在这些情况下，样本幅度超过均方根均方根值三倍值三倍或四倍的概率非常小。或四倍的概率非常小。x)lg(208 .1002. 6)212lg(10)lg(1022222xmmxBcxXBXSNR18n如果信号幅度是一个如果信号幅度是一个高斯型高斯型分布，那么仅有分布，那么仅有0.064%的样本其幅度才大

13、于的样本其幅度才大于 n为了避免峰值箝位为了避免峰值箝位(如在统计模型中所假设的如在统计模型中所假设的)，可以在可以在AD转换器之前设置滤波器和放大器增益，转换器之前设置滤波器和放大器增益，以使得以使得 。n用在高质量的音乐录制和重放系统中，要获得大约用在高质量的音乐录制和重放系统中，要获得大约9096dB的信噪比，就要求有的信噪比，就要求有16位的量化位的量化n要得到这样一个性能必须在输入信号要得到这样一个性能必须在输入信号精心精心与与AD转换转换器的满幅度值器的满幅度值匹配匹配之后方有可能。之后方有可能。x4dBBSNR25. 164mxX19)()()(jHeXjXrTjsrTTTjHr

14、, 0,)(nrTnTtTnTtnxtx/ )(/ )(sin)(三、三、D/A转换中的信号失真转换中的信号失真n利用理想低通滤波从一个样本序列来利用理想低通滤波从一个样本序列来重构一个带限信号：重构一个带限信号：20理想D/C的D/A逼近n可实现系统近似是数字可实现系统近似是数字/模拟转换器模拟转换器(DA)紧跟着一个补偿重构滤波器。紧跟着一个补偿重构滤波器。D/A转换器转换器 nx)(txDA补偿重补偿重构滤波构滤波)( )()(00nTthnxnTthnxtxnnBDA 加权加权转换转换为冲激为冲激零阶零阶保持保持nxB)(txDA nx nxnxne21n用用加性噪声模型加性噪声模型来

15、表示量化效应：来表示量化效应：n简化讨论，定义：简化讨论，定义： nnDAnTthnenTthnxtx)()()(00)()()()()()()(000000tetxtxnTthnetenTthnxtxDAnn nxnxneD/A失真分析)()()()()()(0000jHeXjHenxejHnxjXTjsnTnjnTjnnaTjsTkjjXTeX)/2(1)()()/2(1)(00jHTkjjXTjXa22) 1()()()(TntUnTtUnTXctXh零阶保持器Ttth010)(0其它)1)()1()()(sesXseenTXcsXTSsTSnTsh2/0)2/sin(2)(TjeTjH

16、23n零阶保持器的幅度谱随着频率的增高而减小，这零阶保持器的幅度谱随着频率的增高而减小，这说明它确实是一个说明它确实是一个低通低通滤波器，滤波器，但但并并不不是一个是一个理理想想的低通滤波器的低通滤波器:n幅度幅度特性发生畸变；特性发生畸变；n高频高频分量仍然能够通过，引入分量仍然能够通过，引入噪声和高频镜像噪声和高频镜像。n采用零阶保持器所得到的复现信号与原始信号相比是采用零阶保持器所得到的复现信号与原始信号相比是有有畸变畸变的。的。n信号通过采样保持器之后会产生滞后信号通过采样保持器之后会产生滞后群延迟（群延迟（T/2）n采样周期越大，滞后越大，相当于引入一个纯滞后环节，这对采样周期越大，

17、滞后越大，相当于引入一个纯滞后环节，这对系统（尤其是闭环系统（尤其是闭环反馈反馈系统）的系统）的稳定性稳定性是不利的。是不利的。24)()()(0jHjHjHrrTTeTTjHTjr, 0,)2/sin(2/)(2/ 理想补偿重构滤波器，用于紧跟在一个零阶保持理想补偿重构滤波器，用于紧跟在一个零阶保持重构系统如重构系统如D DA A转换器之后。转换器之后。 补偿重构滤波器补偿重构滤波器n补偿重构滤波器：补偿重构滤波器： D/A转换器转换器 nx)(txDA补偿重补偿重构滤波构滤波25nnnrTnTtTnTtneTnTtTnTtnxTnTtTnTtnxtx/ )(/ )(sin/ )(/ )(sin/ )(/ )(sin )()()()(tetxtxaar式中式中 是一个带限白噪声信号。是一个带限白噪声信号。 )(teaD/A转换器转换器补偿重补偿重构滤波器构滤波器T)(rH nx)(txDA)( txr26)()()(tetytyaar)()()()()()(0jXj