第3章多元正态总体参数的假设检验32-33

1、3.2 单总体均值向量的检验及置信域单总体均值向量的检验及置信域一、均值向量的检验一、均值向量的检验二、置信域二、置信域检验统计量检验统计量: :给定显著性水平给定显著性水平 , , 拒绝域拒绝域2201( )WTp )(2p 一、均值向量的检验一、均值向量的检验()pXN ，11( )(,) (, )iiipXxxin LL0010:;:HH 1. = 0（ 0 已知）已知）210000()()Tn XX 由样本计算由样本计算: :20,XT 的的值值判断判断: :检验假设检验假设: :总体总体: :样本样本: :2201,T 若若0,H则则拒拒绝绝0H否否则则接接受受0H 下下检验统计量检

2、验统计量: :)(2p 一、均值向量的检验一、均值向量的检验()pXN ，11( )(,) (, )iiipXxxin LL0010:;:HH 1. = 0（ 0 已知）已知）210000()()Tn XX 检验假设检验假设: :总体总体: :样本样本: :2. 未知未知1p 12200111( )()()()niitn XXXXn 1 ()t n 022211()()Xntnsn 02111( )()()niiXnXXn 0H 下下检验统计量检验统计量: :一、均值向量的检验一、均值向量的检验()pXN ，11( )(,) (, )iiipXxxin LL0010:;:HH 1. = 0（

3、0 已知）已知）210000()()Tn XX 检验假设检验假设: :总体总体: :样本样本: :2. 未知未知1p A推推广广到到多多元元120011()()Tn XAXn 02111( )()()niiXntXXn 1 ()t n 12200111( )()()()niitn XXXXn 21( ,)Tp n )(2p 0H 下下检验统计量检验统计量: :一、均值向量的检验一、均值向量的检验()pXN ，11( )(,) (, )iiipXxxin LL0010:;:HH 1. = 0（ 0 已知）已知）210000()()Tn XX 检验假设检验假设: :总体总体: :样本样本: :2.

4、 未知未知推推广广到到多多元元120011()()Tn XAXn 21( ,)Tp n 2111()()npFTnp拒绝域拒绝域: :1( ,)WFFp np 给定显著性水平给定显著性水平 , ,检验统计量：检验统计量：( ,)F p np由样本计算由样本计算: :2,TF 的的值值判断判断: :1,FF 若若0,H则则拒拒绝绝0H否否则则接接受受)(2p 0H 下下例例1 1人出汗量多少与体内钠和钾的含量有一定关系，人出汗量多少与体内钠和钾的含量有一定关系，今测量了今测量了20名健康成年女性的出汗量名健康成年女性的出汗量(X1)，钠钠(X2)的含量和钾的含量和钾(X3)的含量（数据见下表）的

5、含量（数据见下表）试检验：试检验：1X2X3X序序号号17 .35 .483 .938 .32 .479 .1051 .35 .557 .974 .28 .240 .1497 .64 .475 .8119 .39 .367 .12135 .38 .278 .9155 .15 .131 .10175 .46 .712 .8191 .41 .442 .111X2X3X序序号号27 .41 .650 .842 .32 .530 .1266 .41 .369 .782 .71 .336 .7104 .51 .543 .11125 .48 .583 .12145 .42 .404 .8165 .84 .

6、561 .7185 .68 .529 .10205 .59 .404 .9004 50 10:( ,) ;H 10:H 0 05(.) 320,pn 例例1 1人出汗量多少与体内钠和钾的含量有一定关系，今测量了人出汗量多少与体内钠和钾的含量有一定关系，今测量了20名健康成年女性的出汗量名健康成年女性的出汗量(X1)，钠，钠(X2)的含量和钾的含量和钾(X3)的的含量，含量，试检验：试检验： 004 50 10:( ,) ;H 10:H 0 05(.) 123(,) ,XXXX随随机机向向量量320,pn 2111()()npFTnp 检验统计量：检验统计量：(,)F p np3 17( ,)F

7、3(,)XN假假定定解：解：0010:;:HH 检验假设检验假设: :21()npTnp 未知未知拒绝域拒绝域: :1( ,)WFFp np 095317.( ,)FF 例例1 1人出汗量多少与体内钠和钾的含量有一定关系，今测量了人出汗量多少与体内钠和钾的含量有一定关系，今测量了20名健康成年女性的出汗量名健康成年女性的出汗量(X1)，钠，钠(X2)的含量和钾的含量和钾(X3)的含量的含量 试检验：试检验：004 50 10:( ,) ;H 10:H 0 05(.) 123(,) ,XXXX随随机机向向量量320,pn 2111()()npFTnp 检验统计量：检验统计量：( ,)F p np

8、3 17( ,)F3(,)XN假假定定解：解：0010:;:HH 检验假设检验假设: :21()npTnp 未知未知4 6445 49 965( .,. ,.)X 926.6816.107372.3498.3795190.190708.54A 0211498. 00000830. 00135773. 00003193. 00011620. 00308503. 01A120011()()Tn XAXn 拒绝域拒绝域: :1( ,)WFFp np 095317.( ,)FF 97388. 由样本计算：由样本计算：2111()()npFTnp 例例1 1人出汗量多少与体内钠和钾的含量有一定关系，今测

9、量了人出汗量多少与体内钠和钾的含量有一定关系，今测量了20名健康成年女性的出汗量名健康成年女性的出汗量(X1)，钠，钠(X2)的含量和钾的含量和钾(X3)的含量的含量 试检验：试检验：004 50 10:( ,) ;H 10:H 0 05(.) 123(,) ,XXXX随随机机向向量量320,pn 2111()()npFTnp 检验统计量：检验统计量：( ,)F p np3 17( ,)F3(,)XN假假定定解：解：0010:;:HH 检验假设检验假设: :21()npTnp 未知未知210019 7388()()().Tn nXAX 拒绝域拒绝域: :1( ,)WFFp np 095317.

10、( ,)FF 由样本计算：由样本计算：2111()()npFTnp 2111()()npFTnp 2.90453.2给定显著性水平给定显著性水平 0.05=拒绝域拒绝域0 953 17.( ,)WFF 3 2. F 0故故接接受受H二、置信域二、置信域()pXN ，11( )(,) (, )iiipXxxin LL总体总体: :样本样本: :（ 未知）未知）1211()()Tn XAXn S21( ,)Tp n 1()()n XSX 2111()()npFTnp 或者或者 ( ,)F p np21()npTnp 给定置信水平给定置信水平11( , )P FFp np 1, 均值向量均值向量 的

11、置信域满足：的置信域满足：2111()npTPnpF 111()()()n XnSXppFn 均值向量均值向量 的置信域：的置信域：二、置信域二、置信域()pXN ，11( )(,) (, )iiipXxxin LL总体总体: :样本样本: :（ 未知）未知）21( ,)Tp n21()()Tn XSX 2111()()npFTnp 或者或者 ( ,)F p np21()npTnp 给定置信水平给定置信水平11( , )P FFp np 1, 21()()Tn XSX 21()npTnp 中心在中心在 的的椭球椭球 X二、置信域二、置信域()pXN ，11( )(,) (, )iiipXxxi

12、n LL总体总体: :样本样本: :（ 未知）未知）21( ,)Tp n21()()Tn XSX 2111()()npFTnp 或者或者 ( ,)F p np21()npTnp 21()()Tn XSX 21()npTnp 111()()()n XnSXppFn 均值向量均值向量 的置信域：的置信域：00:H 考虑检验假设考虑检验假设: :若若 0 落入置信域，落入置信域，10011()()nXFnpSpXn 接受接受 H0否则拒绝否则拒绝 H0显著性水平显著性水平 6277. 36400. 58090. 17884.1990100.108794. 211AnS3014. 1,5316. 4,

13、4625.200321 )02907.0,9983.0 ,05084.0(1 l)8173.0 ,05302.0 ,5737.0(2 l)5754.0,02488.0,8175.0(3 l例例2 2（例（例1 1续）续）试求均值向量试求均值向量 的置信度为的置信度为1- =0.95的置信椭球。的置信椭球。解：解：320,pn 4 6445 49 965( .,. ,.)X 926.6816.107372.3498.3795190.190708.54AS 的的特征值特征值 和和单位正交向量单位正交向量 l 分别为：分别为：111()()()n XnSXpFnp 的置信椭球：的置信椭球：例例2 2

14、（例（例1 1续）续） 试求均值向量试求均值向量 的置信度为的置信度为1- =0.95的置信椭球。的置信椭球。解：解：320,pn 4 6445 49 965( .,. ,.)X 111()()()n XnSXpFnp 的置信椭球：的置信椭球：3014. 1,5316. 4,4625.200321 )02907.0,9983.0 ,05084.0(1 l)8173.0,05302.0,5737.0(2 l)5754.0,02488.0,8175.0(3 lS 的特征值的特征值 和单位正交向量和单位正交向量 l 分别为：分别为：S -1的谱分解式为：的谱分解式为：20 9513 17.()( ,

15、)()npcFn np 0 5365= .3121()()i iiiXl lXc 的置信椭球：的置信椭球：()iiYXl il2223121223221YcYYcc 即即3111iiiiSl l 例例2 2（例（例1 1续）续） 试求均值向量试求均值向量 的置信度为的置信度为1- =0.95的置信椭球。的置信椭球。解：解：320,pn 4 6445 49 965( .,. ,.)X 111()()()n XnSXpFnp 的置信椭球：的置信椭球：3014. 1,5316. 4,4625.200321 )02907.0,9983.0 ,05084.0(1 l)8173.0,05302.0,573

16、7.0(2 l)5754.0,02488.0,8175.0(3 lS 的的特征值特征值 和和单位正交向量单位正交向量 l 分别为：分别为：20 9513 17.()( ,)()npcFn np 0 5365= .3121()()i iiiXl lXc 的置信椭球：的置信椭球：()iiYXl il2223121223221YcYYcc 即即22231222210 37031 551920 8396.()().().YYY 3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验一、两正态总体均值向量的检验一、两正态总体均值向量的检验二、多正态总体均值向量的检验二、多正态总体均值向量的检验1. 两总体协方

17、差阵相等（但未知）两总体协方差阵相等（但未知）一、两正态总体均值向量的检验一、两正态总体均值向量的检验且相互独立且相互独立),(2)1(1nNX ),(2)2(1mNY 且且相相互互独独立立（ 未知）未知）1p 1 ( )()pXN ，1( )(, )iXin L是来自总体是来自总体: :的样本的样本2( )()pYN ，1( )(,)iYim L是来自总体是来自总体: :的样本的样本121201( )( )( )( ):;:HH 检验假设检验假设: :1. 两总体协方差阵相等（但未知）两总体协方差阵相等（但未知）),(2)1(1nNX ),(2)2(1mNY 且且相相互互独独立立（ 未知）未

18、知）XY 122111( )( )(,()Nnm22( )( )2111()() nmiiiiXXYY 2(11)nm 1 ( )()pXN ，是来自总体是来自总体: :的样本的样本2( )()pYN ，1( )(,)iYim L是来自总体是来自总体: :的样本的样本121201( )( )( )( ):;:HH 检验假设检验假设: :检验统计量检验统计量: :1p 0(2)H 下下 t nm1( )(, )iXin L2211112( )( )()()()()nmiiiiXYnmtXXYYnm 1. 两总体协方差阵相等（但未知）两总体协方差阵相等（但未知）),(2)1(1nNX ),(2)2

19、(1mNY 且且相相互互独独立立（ 未知）未知）1 ( )()pXN ，1( )(, )iXin L是来自总体是来自总体: :的样本的样本2( )()pYN ，1( )(,)iYim L是来自总体是来自总体: :的样本的样本121201( )( )( )( ):;:HH 检验假设检验假设: :检验统计量检验统计量: :1p 2211112( )( )()()()()nmiiiiXYnmtXXYYnm 2 ()t nm2t 12( ,) Fnm122112( )( )()()()()nmiiiiXXYYnmXYXYnmnm2 p nXXXXA1)()(1)( mYYYYA1)()(2)( 1.

20、两总体协方差阵相等（但未知）两总体协方差阵相等（但未知）（ 未知）未知）1 ( )()pXN ，1( )(, )iXin L是来自总体是来自总体: :的样本的样本2( )()pYN ，1( )(,)iYim L是来自总体是来自总体: :的样本的样本121201( )( )( )( ):;:HH 检验假设检验假设: :1p 1222112( )( )()()()()nmiiiiXXYYnmtX YX Yn mn m12( ,) Fnm022( ,)HTp nm 下下2T 2212()()nmpFTnmp 1( ,)F p nmp 2t 1122()()AAnmXYXYn mn m 例例1 1为为

21、了了研研究究日日、美美两两国国在在华华投投资资企企业业对对中中国国经经营营环环境境的的评评价价是是否否存存在在差差异异，今今从从两两国国在在华华投投资资企企业业中中各各抽抽取取1 10 0家家，让让其其对对中中国国的的政政治治、经经济济、法法律律、文文化化等等环环境境进进行行打打分分，评评分分结结果果如如下下表表. .序号序号政治政治环境环境经济经济环境环境法律法律环境环境文化文化环境环境1 12 23 34 45 56 67 78 89 910106565757560607575707055556060656560605555353550504545404030304040454540405

22、050555525252020353540403030353530302525303035356060555565657070505065656060606070707575序号序号政治政治环境环境经济经济环境环境法律法律环境环境文化文化环境环境1 12 23 34 45 56 67 78 89 9101055555050454550505555606065655050404045455555606045455050505040405555606045455050404045453535505030304545454535353030454565657070757570707575606075

23、75808065657070美国美国日本日本解：解：144( )(, )XN 美美国国评评价价为为元元总总体体244( )(, )YN 日日本本评评价价为为元元总总体体10两两总总体体的的样样本本容容量量 nm121201( )( )( )( ):,:HH 检检验验 (64,43,30.5,63)(51.5,51,40,70.5)，XY2(2)1(2)nmpFTnmp检验统计量：检验统计量： ( ,1)F p n m p (4,15)F由样本：由样本：例例1 1为为了了研研究究日日、美美两两国国在在华华投投资资企企业业对对中中国国经经营营环环境境的的评评价价是是否否存存在在差差异异，今今从从两

24、两国国在在华华投投资资企企业业中中各各抽抽取取1 10 0家家，让让其其对对中中国国的的政政治治、经经济济、法法律律、文文化化等等环环境境进进行行打打分分. .解：解：14( )(, )XN 美美国国评评价价总总体体24( )(, )YN 日日本本评评价价总总体体10nm121201( )( )( )( ):,:HH 检检验验 (64,43,30.5,63)(51.5,51,40,70.5)，XY2(2)1(2)nmpFTnmp检验统计量：检验统计量： ( ,1)F p n mp(4,15)F由样本：由样本：2502.560.0390175.0504507.5195100322.5A2112(

25、2)() () ()DnmXYAAXY1212()()2AAnmTXYXYnmnm2nmDnm=2(1(2)nmpFTnmp 149017051012010322.5245310260.0510A6.221429.86255.9725解：解：14( )(, )XN 美美国国评评价价总总体体24( )(, )YN 日日本本评评价价总总体体10nm121201( )( )( )( ):;:HH 检检验验 2(2)1(2)nmpFTnmp检验统计量：检验统计量： ( ,1)F p n mp(4,15)F由样本：由样本：2(1(2)nmpFTnmp 6.22140.016.22144.89F拒绝域拒绝

26、域: :0.01(4,15)WFF4.89F拒绝拒绝0H0037. 02214. 6 FPp计算计算p 值：值：0.01拒绝拒绝0H的的均均值值检检验验问问题题元元总总体体将将两两个个总总体体化化为为单单个个ZppzHH0:0)2()1(0 2. 两总体协方差阵不相等两总体协方差阵不相等一、两正态总体均值向量的检验一、两正态总体均值向量的检验且且相相互互独独立立11( )()pXN ，1( )(, )iXin L是来自总体是来自总体: :的样本的样本22( )()pYN ，1( )(,)iYim L是来自总体是来自总体: :的样本的样本121201( )( )( )( ):;:HH 检验假设检

27、验假设: :1 ( ) nm 作作为为成成对对数数据据进进行行处处理理1( )( )( ),(, )iiiZXYin 令令L用用相相互互独独立立的的信信息息没没有有利利缺缺点点：)()(,iiYX2( )()nmnm , , 不不妨妨设设11111( )( )( )( )( ),(, )nmiiijjjjnZXYYYinmmnm 令令L122211( )( )( )( )()innmmmnmE Z 12( )( ) 120( )( ), (, )ijnijCOVmijZZ 121( )( )( )(,) (,., )ipZZNin ，且且相相互互独独立立2. 两总体协方差阵不相等两总体协方差阵

28、不相等11( )()pXN ，1( )(, )iXin L是来自总体是来自总体: :的样本的样本22( )()pYN ，1( )(,)iYim L是来自总体是来自总体: :的样本的样本121201( )( )( )( ):;:HH 检验假设检验假设: :?多多元元方方差差分分析析:检验检验个个总总体体：k:随随机机样样本本,),(1)()( ipitixxX),()( tpNX,:)()1(0kH ), 1(kt ;, 1(kt ), 1tni 中中至至少少有有一一对对不不等等)()1(1,:kH 1 pnnnn t21)1()()1()2()1()1(1,nXXX)()()()2()()1(,knkkkXXX)()(111tjktnjXnXt )()(1)(1tjnjttXnXt 二、多正态总体均值向量的检验二、多正态总体均值向量的检验总总偏偏差差平平方方和和：)()()()()(11XXXXSSTtjtjktnjt 11( )( )( )( )( )( )()()tnkttttjjtjSSEXXXX 组组内内偏偏差差平平方方和和：)()()(1XXXXnSSAttktt 组组间间偏偏差差平平方方和和：SSASSE 多多元元方方差差分分析析:检验检验个个总总体体：k:随随机机样样本本,),(1)()( ipit