二维渠道中考虑流体黏滞性之瞬变造波模拟

1、中國土木水利工程學刊第十三卷第三期(民國九十年)Journal of the Chinese Institute of Civil and Hydraulic Engineering, Vol. 13, No. 3, pp. 585592, 2001二維渠道中考慮流體黏滯性之瞬變造波模擬黃煌煇1江文山2唐啟釗2關鍵詞：造波機、非線性波、流函數、渦度。摘要本文建立一數值模式，模擬計算二維渠道中考慮流體黏滯性之造波。模式的控制方程式是以流函數及渦度型式表示，同時考慮造波板的瞬時移動邊界與自由水面的完全非線性邊界條件。利用瞬時貼壁座標轉換，使計算領域與物理邊界完全契合。使用有限解析法對控制方程式離散

2、化，配合四階Adams-Bashworth-Moulton方法作時間微分項處理，求解問題。模式計算結果除了利用解析解作驗證，同時亦進行實驗造波量測比較。符合線性波條件下，模擬計算結果與解析解比較顯示，自由水面波形、波動流場及邊界層流動特性，兩者均一致。而模式計算與實驗值比較結果證明，本文模式可精確的模擬造波板由靜止啟動，經過初始發展階段，最後達到穩定造波過程所產生之水面波形變化。各種不同的造波條件下，模式計算與實驗量測結果顯示，隨著Ur參數增大，非線性效應增強，頻散效應減弱，初始造波過程，波浪往下游傳遞時，波高變化愈不明顯。另外模式計算與實驗結果均顯示，隨Ur參數的增大，造波機由靜止啟動達到造

3、出穩定波形所需的造波週期數較少，亦即較快達到穩定。NUMERICAL ANALYSIS ON TRANSIENT NONLINEAR WAVES GENERATION INCLUDING VISCOUS EFFECTSHwung-Hweng Hwung Wen-Son Chiang Chii-Jau TangDepartment of Hydraulics and Ocean EngineeringNational Cheng Kung UniversityTainan, Taiwan 70101, R.O.C.Key Words:wave maker, nonlinear wave, str

4、eam function, vorticity.ABSTRACT1國立成功大學水利及海洋工程研究所教授兼水工試驗所所長2國立成功大學水利及海洋工程研究所博士班研究生、水工試驗所助理研究員3國立成功大學水利及海洋工程研究所副教授 A numerical model based on the stream function-vorticity form is developed to simulate the wave generated by a piston-type wavemaker at one end of a wave flume. The fully nonlinear free

5、surface boundary conditions are considered by using a time-deforming grid system to confirm all moving boundaries. With the fourth order Adams-Bashworth-Moulton treatment in time, the time-accurate solutions are obtained by finite-analytic method. The validation for a linear wavemaker problem illust

6、rates that the calculated free surface profiles, flow fields and flow characteristics inside the bottom boundary layer agree well with linear first order analytic solution. For nonlinear wave generation problems, the wavemaker is accelerated initially from rest to its final steady oscillation. The n

7、umerical result shows good consistency with the experimental data for whole evolution process from rest to steady waveform generation. According to experimental and numerical results, nonlinearity enhances and dispersion effect weakens as Ur increases, which induces to wave height slightly decreases

8、 as wave propagates downstream. Meanwhile, the number of wave cycles before steady waveform generation decreases as Ursell number increases.一、前言就海岸工程的研究而言，由於現場量測所需的人力、物力相當可觀，再加上受限於自然天候的因素，因此通常只能進行局部而且短暫的現場量測。至於較全面而且詳細的研究，則有賴物理模型實驗。然而要對海岸工程物理模型實驗結果有正確的分析，則需先對造波機造出的波場有充分的了解，尤其是非線性造波時，造波機本身之操控與反應特性，對形成

9、波浪之相互作用影響探討，更是重要。因此造波及其波流場特性分析，是物理模型實驗探討海岸工程問題中，相當重要且屬基礎性的課題。一般而言，海岸工程實驗室造水波主要有兩種方式，一為利用吹風造波，另一為利用機械運動造波。近年來隨著電腦的發展，利用數值計算模擬機械造波的方法亦逐漸被採用。以數值虛擬造波可不受限造波機機械結構設計與經費時程之限制，但需經極嚴謹之驗證評估，方能得到可靠的應用。本文之研究係以嚴謹方式評估利用數值計算模擬於二維水槽中造波現象，除了與現有理論及實驗結果比較波形外，尚探討內部流場特性，將可更深入了解波流作用機制與相關現象。Kennard 1 研究利用活塞式 (piston-type)

10、造波機造波之起始邊界值問題，得到一積分型式的解析解，用以描述因造波板運作，使得水面由靜止，發展至穩定波形的過程，Hudspeth和Chen 2 進一步推導可應用於不同造波板運動型式且兩種水深情況的線性解析解，Lee等人 3 利用分離變數法配合Fourier轉換與Laplace轉換得到線性造波理論解析解。Madsen 4 利用Stokes展開，忽略減衰成份波 (evanescent mode) 的影響，推導二階活塞式造波理論解，其理論解析結果顯示，由於造波板運動邊界條件與Stokes波速度剖面之間的差異，因此伴隨二階造波項的引入，波場中會出現二階自由波。Hudspeth和Sulisz 5 推導得

11、到完整的二階造波理論，進而證明減衰成分波對造波流場中之週期平均速度具重要影響。Goda 6 忽略減衰波的影響，推導出活塞式造波的三階理論解，其結果顯示除強制波與自由波之外，尚出現另一種介面波 (interface wave) 的成份。由以上文獻的大略回顧可以了解，對於造波理論的基本問題與現象，以往的研究成果已可提供相當豐碩的結果可供參考。然以上文獻的理論發展都是考慮在勢能流的條件且應用的邊界較規則者，再加上其數學解析過程繁瑣且複雜，對於進一步應用於實際包含黏滯性影響或複雜邊界形狀時，理論的發展往往遭遇極大的困難。至於數值造波問題的研究，基本上可以分為三種類型： 1.為基於流體為不可壓縮及流場為

12、非旋流的假設，求解勢能流的Laplace方程，通常是以邊界積分法求解。此方法對於非線性的自由表面波可以得到相當精確的結果，然而對於受黏滯性影響的流場則無法應用，此類方法之研究如Yao等人 7 求解波浪邊頻 (side-band) 不穩定現象引起的碎波，Zhang和Williams 8 計算二維渠道的造波問題。 2.是根據淺水波的假設將問題簡化為求解長波方程，其主要論點在於利用長波的假設，將問題的維度 (dimension) 減少一維，如此則計算機的容量需求減少，且計算時間節省，方便應用，然受限於其基本假設，無法對各種相對水深條件下的波浪特性作整體描述，如Chapalain等人 9 利用數值解析

13、Boussinesq方程組，探討長波在等深渠道中傳播過程的變形。 3.為求解完整的Navier-Stokes方程式，如Armenio 10 計算波浪通過水中結構物時，因黏滯性影響造成的流動分離現象，Huang等人 11 模擬考慮黏滯性之造波流場，前述二文章均是在固定格網系統直接求解速度及壓力場。就求解Navier-Stokes方程而言，因其為描述流體運動的一般化方程式，沒有勢能流等的限制，而且可適用於各種相對水深的波浪條件。然而一般直接求解速度及壓力場的方式計算相較繁複，往往使計算效率降低。而且使用固定格網系統處理自由液面條件時，因格網位置未能貼合液面而需複雜內插，導致自由水面條件及位置的描述

14、不夠精確。本文的目的在克服上述的困難，發展一較精確、效率較高且可兼顧黏滯性影響與各種相對水深條件均能應用的波流數值模式。模式的控制方程式是由Navier-Stokes方程式出發，引入流函數、渦度與速度場的關係，將原來求解速度與壓力的Navier-Stokes方程，轉換為流函數的Poisson方程，與渦度的傳輸擴散方程。至於自由水面的不規則邊界及造波板瞬時位置，則利用瞬時貼壁座標轉換，使計算格網與物理移動邊界隨時契合，而得到較精確的處理。數值計算之結果，亦與實驗造波之波流場量測比較，以作為模式計算結果驗證之依據。二、數學模式考慮二維斷面水槽中，一端 (左邊界) 裝置活塞式造波機，由於造波板運動對

15、水體作功，使得自由水面形成波動，因此，造波板與自由液面均為瞬時變動的邊界。渠道底部必須滿足不透水邊界，而且當考慮黏滯性時，尚須滿足不滑動邊界條件；右邊界為垂直壁邊界需滿足不透水邊界，問題描述如圖1所示。圖1 二維渠道造波問題示意圖2.1 流場控制方程式茲考慮二維波流場之流體為不可壓縮，定義流場中之流函數 y (stream function)、渦度 w (vorticity) 與流體速度關係如下：(1)(2)選取無因次化之特性參數：長度為靜水深d、速度為、流函數為、壓力為、時間為，將各物理量無因次化，其中g為重力加速度。以下若無特別說明，下標即代表微分。則可將流體運動控制方程式轉換為流函數的P

16、oisson方程與渦度的傳輸擴散方程式如下，參考Currie 12：(3)(4)式中Reynolds數定義為 (v為流體運動黏滯係數)，t 為無因次化時間。由於自由液面之波浪傳播運動為一不規則且具瞬時變動特性，因此採用瞬時貼壁座標系統以描述物理邊界之不規則形狀。卡氏直角座標系統 (x, y) 與一般移動曲線座標系統 (x, h) 間之轉換必須符合一對一且映成關係，即滿足J = xx yh xh yx ¹ 0。經座標轉換後之流場控制方程式為(5)(6)上述式(5)及(6)中，各幾何參數分別為： 、及。因此，、為流體相對於格網移動之傳輸速度的 (x, h) 抗變分量。式(5)及(6)用以

17、求解 y 與 w。若不考慮黏滯性效應，則令 w = 0僅以式(5)求解 y 即可。2.2 初始與邊界條件經變數及座標轉換後初始條件與邊界條件如下：1. 初始條件：初始狀態造波板固定，水體靜止。(7)其中XL(t) (無因次x座標值) 係給定造波板位置，為隨時間變動的函數，XR為固定之右邊界位置，z 為無因次化自由液面水位。2. 造波板邊界條件：水槽左端為活塞式造波板，造波板運動位移為給定函數，或由實驗量得，根據造波板的移動，流場的範圍跟著調整，造波板上的流體速度等於造波板運動速度，造波板上採用滑動邊界條件。(8)XL¢(t) 為造波板移動速度。式(8)中c值表示由造波板底部滲漏之流量

18、 (單位寬度)，本文以c = 0考量之。3. 下游邊界條件：水槽右端為不透水垂直壁，必須滿足不可穿透條件，壁上採用滑動邊界條件。 (9)4. 底部邊界條件：水槽底部為一不透水邊界，且考慮流體黏滯性，水槽底部必須滿足不滑動條件。 (10)5. 自由液面運動邊界條件：定義自由液面上之水粒子，保持於該界面上。 (11)6. 自由液面動力邊界條件，參考張 13：作用於自由水面之壓力為均勻分布，並忽略自由水面的表面張力效應及渦度。(12)上式中三、數值方法本節討論如何以有限解析法，將理論模式中的控制方程式離散化，配合瞬時貼壁格網的佈置，使計算領域與物理邊界完全契合，進而求解此二維渠道之造波問題。3.1

19、瞬時貼壁格網佈置波動問題的主要幾何特性為自由液面邊界具瞬時變動與不規則形狀變化，且該處邊界條件所表現之物理現象與流動特性極為重要，因此模式對自由水面位置與相關條件精確解析的能力，是影響計算結果的重要因素。本文計算格網採用對不規則邊界描述能力較佳的瞬時貼壁座標格網系統。根據微分幾何關係與所使用格網的方便性，x 定值之格線均採垂直線 (h 線) 分佈，而可分成兩個部份佈置，第一個部分為水平距離造波板三倍水深以內的範圍，其 h 格線位置隨造波板運動而水平調整，格點水平間距採瞬間均勻分布，第二個部份為距離造波板三倍水深以外的範圍，其 h 線位置為固定不動，格點水平間距為均勻分布。至於 h 定值之格線

20、(x 線) 則由垂直向之上下兩邊界 (上邊界為自由水面，下邊界為渠道底床) 平均分配，故任兩 x 線間距為 z(x, t) 之函數，隨時間變動。上述方法即為代數產生格網法。以代數法生成之格網，不但可節省計算時間亦可避免生成格網過程中之不安定性 (如解微分方程法引起者)，不致造成格網疊代計算上之發散及震盪等問題。3.2 控制方程式與邊界條件離散化本文模式中內部流場控制方程式以有限解析法 (Finite Analytic Method) 離散，選取該法的主要考量在於其離散式是根據傳輸擴散方程式的基本解而來，具較嚴謹的理論基礎，而且流場的物理特性，會自然反映在離散式中，因此更具物理意義。採用九點權重

21、分配之離散方式，經整理後可表示為：(13)其中含下標p者表示欲求解格點之變數值，含下標nb者表示欲求解格點之周圍鄰近格點之變數值，Cnb、Cnb* 及CP、Cp* 稱為F.A. 係數，為源項，其表示式見附錄。自由液面條件中對 x 微分項以中央插分離散化，對 h 微分項以一階後項差分表示，左右邊界引用單邊二階差分法離散。至於時間微分項，在自由液面動力邊界條件之處理，採用二階段平均隱式法近似，如Tang和Chang 14；在自由水面運動邊界條件，則以四階Adams-Bashworth- Moulton方法處理。運動條件用以決定自由水面的位置 z、動力條件決定自由水面的流函數值 y。離散化後內部流場

22、之流函數值與渦度值分別是以逐線超鬆馳 (LSOR) 與逐線降鬆馳 (LSUR) 及高斯消去法分別求得 (內部迴圈) 收歛解，再以反覆疊代使自由液面、左右邊界條件及內部流場解 (外部迴圈) 皆完全收歛，而得時間精確解。求解 y 與 w 之收斂精度則分別設為106及104。四、模型實驗模式計算之外，本研究亦進行實驗造波量測，以供兩者比較與驗證。實驗使用之水槽長1500cm、寬30cm、深70cm，兩側為厚度1cm的強化透明玻璃，水槽底部為一不銹鋼板，分為兩段：前段為長923cm之水平固定底床，後段為577cm長之7/100坡度底床，水槽一端裝置一部活塞式規則造波機。右端邊界與計算模式雖有不同，但對

23、實驗初期比較非線性波現象足敷使用。造波機為一機械螺桿電動裝置，其運作過程由靜止啟動時，將經過不穩定的加速變化時期而達穩定，為模擬此一完整過程，數值計算時所需的造波板運動位移條件必須由實驗值提供，因此實驗時必須同時量測造波板運動狀況與水位變化，造波板的運動狀況量測，以位移計直接量測造波板位移，經一次微分得到速度，作為數值模式輸入的條件。實驗時使用的電子量測儀器主要為LVDT變位計與電容式水位計，變位計用以量測造波板的位移記錄，而水位計則量測水位變化。每次實驗前、後變位計與波高計均經過率定檢核，由率定資料顯示水位、變位與輸出電壓之線性轉換相關係數皆達0.99以上，證明水位變化與儀器輸出訊號具準確線

24、性關係，水位計於靜態率定時，其訊號跳動的標準偏差值為0.02Volt，以實際量測訊號介於 5Volt 5Volt，相對應之量測波高範圍20cm而言，則因水位量測可能的波高誤差為0.08cm。為了方便實際觀察與資料分析，在實驗前，均將造波板移動到最後端，啟動造波機的同時，亦開始造波板位移與水位量測，水位量測點布置於造波板運動中心前距離1、4、7及10倍水深處，均沿渠道中心線布置，造波板位移與水位取樣頻率設定為100Hz，每次取樣時間至少為30秒。經過數次的實驗，發現造波板與水槽底部、側壁之間的間隙，對波高有相當的影響，即使該間隙只有3mm，當造波板運作時，水經由兩側間隙處滲漏產生液面渦流，使得造

25、出的波高較線性造波理論值明顯偏小，於是乃以塑膠材質的軟墊填充造波板與水槽的間隙，但為使造波板順利運動，故仍儘量使間隙減小以降低上述效應。模型實驗條件分成四種，如表1所示，其中S與T為造波板之衝程與週期，H代表波高，L為根據線性理論計算之波長，而Ur參數代表非線性與頻散效應之比。表1 造波實驗條件衝程週期靜水深相對水深非線性波參數CaseS (m)T (sec)d (m)d/LUr = (HL2/d3)A0.02220.6220.1950.33491.494B0.02360.9050.1950.18463.767C0.02411.2340.1950.12515.840D0.03581.5520.

26、1950.096110.115五、結果與討論本文發展之造波計算模式共有三種結果驗證，第一種為非黏性線性瞬變造波之驗證，與Lee 3 之一階瞬變造波近似解比較定點水位變化，並與一階穩定造波解析解，如Dean and Dalrymple 15，比較穩定波形及流速剖面；第二種為考慮黏性效應之波動流場驗證，與一階線性波動底部邊界層流理論相比較。第三種則利用本研究實驗造波量測到之定點水位變化作驗證。5.1 非黏性理論線性造波驗證設定計算條件為水深3.5m，水槽長度210m，週期2秒，造波衝程0.1m，相對水深0.56，造波時間40秒，並利用Lee等人 3 推導的一階近似解析解加以驗證。圖2為上述造波條件

27、下，模式計算結果與Lee等人 3 解析結果在距離造波板1倍水深與3倍水深處，水位變化時序列的比較，顯示造波板由開始造波至波浪場達穩定的過程，模式計算結果與理論解都非常吻合。進一步選擇波場達穩定時段，造波時間介於10至12週期，在距離造波板1、4、7及10倍水深的位置，分析模式計算之波高，其間差異均小於平均波高的4%。根據模式計算結果與理論解析之水位時序列資料，進行不同位置間之水位相位差分析，進而計算得到模式的波速為3.18m/s，而理論的波速為3.12m/s，兩者差異0.9%。圖2 模式計算與理論計算之水位時序列比較依據線性造波理論造波板啟動後，經過數個週期的運作，若無反射波的影響，波浪場將會

28、達到穩定狀態，此時空間上固定位置之波高一定且波形不變。圖3為達到穩定狀態時，距離造波板5倍水深處，模式計算之一週期波形變化與微小振幅波之理論解比較，兩者波形的差異量，其值皆在波高的2.3% 以內，顯示模式計算達穩定時，亦能符合穩定狀態的理論解析解。圖4及圖5為達到穩定狀態時，距離造波板5倍水深處，一週期內模式計算之各相位水平速度剖面及垂直速度剖面與微小振幅波之理論解比較，因自由水面位置，在模式計算中是隨波峰、波谷而高低起伏，而理論解析是計算在平均水面處，故在靠近自由水面有相對較大的差異，但整體上看來趨勢完全一致，且其間差異均屬微小量。圖3 模式計算之穩定波形與理論波形之比較圖4模式計算之水平速

29、度剖面與理論值之比較(圖中符號與圖3之符號所在相位對應)圖5模式計算之垂直速度剖面與理論值之比較(圖中符號與圖3之符號所在相位對應)由以上的比較討論，證明在線性波條件下，不論是瞬時水位變化、穩定狀態的波形或瞬時流場之速度剖面，本文模式計算結果與理論解析結果都相當吻合。5.2 考慮黏滯性之線性波流場驗證考慮流體具黏滯性時，流場內靠近底床部份與近水面處均會有一邊界層區域，其流況主要受黏滯效應影響，因水面附近之邊界層效應較底床微小，故一般均不需特別考量。本文亦僅討論近底床之邊界層流況。該區域非常小，因此計算上要兼顧效率且能顯現出此區域流況特性，計算格網需適當的調整。沿水槽方向的格網佈置如3.1節所述

30、，沿水深方向的格網，則是採自水面至底床相鄰格網間距等比例縮小的方式佈置。圖6為波高1.02cm，週期1.25秒，水深0.4m之造波條件，模式計算之自由表面波形與微小振幅波解析解比較，兩者幾乎完全一致，顯示在此線性波浪條件下，考慮流體的黏滯性與否對波形並無明顯影響，而僅對底床局部流場有高階效應 (Longuet-Higgins 16 )。圖7及圖8分別是相對於圖6中6個不同符號所示相位，其邊界層內水平及垂直速度剖面與線性解析解比較圖，此圖顯示邊界層內的水平速度極值遠大於垂直速度，且水平速度剖面存在明顯的超射現象，而垂直速度則沒有，這些特性模式計算均與理論解完全一致，證明本文模式考慮黏滯性計算結果

31、的正確性。圖6 考慮黏滯性計算結果之波形與解析解之比較圖7 模式計算邊界層內水平速度剖面與解析解之比較圖8 模式計算邊界層內垂直速度剖面與解析解之比較經過上述兩小節討論，線性造波驗證及受黏滯性影響產生之波動底部邊界層流場的驗證，均證明本文模式分析波動流場的合理性與正確性。5.3 實驗水槽造波驗證在符合線性造波條件下，已有簡單的理論解可茲比較，但是在波浪尖銳度趨大而相對水深趨小的非線性波情況下，則牽涉到非線性效應，其造波理論相當複雜。本文將利用造波水槽實驗實際量測資料，作局部模式的驗證。圖9為根據表1中四組造波條件變位計所量測造波板的位移時間記錄，利用零上切法 (zero-up crossing

32、) 計算得到之造波板運動週期。由圖中可見週期的變化由造波板啟動後逐漸變短，最後達穩定，週期越短的條件越慢達穩定。caseA造波條件下，於距離造波板1、7及10倍水深位置處，理論解析、模式計算與實驗量測水位比較如圖10。基本上看來，模式計算之波形由起始到穩定階段皆能很吻合的描述實驗量測的結果，而Lee等人 3 之一階近似解析解在初始階段明顯偏離實驗與計算值。主要原因為理論的發展是假設造波機一啟動即以固定週期與衝程運作，本文所使用之造波機驅動系統則非如此。由圖9的分析明確顯現本文所使用之造波機的運作，一開始週期較長，而後逐漸縮短達穩定，衝程是由大轉小逐漸穩定。顯然在初始啟動階段實際造波機的運作情況

33、與理論的基本假設不符合，而咸信一般造波機皆很難與這些理論符合。故應用一般造波理論解析的波形與實驗值有明顯差異，而本研究發展之模式中並未限制造波板的運動條件，是由實驗量測給定，故可以得到與實驗值吻合的結果。圖9 造波機由啟動至達到穩定運動週期之演變圖10 模式計算、理論解析與實驗量測之水位比較 (caseA)圖11 模式計算與實驗量測之波形比較 (caseB) caseB與caseD造波條件下，模式計算與實驗量測的水位比較如圖11及圖12。可以發現初始造波階段其間的差異比較大，一個共同現象為實驗量測的波峰偏低。其原因可能為造波過程中，水由造波板與水槽壁間之間隙向造波板移動反方向流動，同時造波板傳

34、遞給其前方流體的能量亦由此間隙滲漏，導致實測波高較計算波高為小。其次，由於非線性的增強，波形明顯出現波峰、波谷之不對稱的現象，而且不同位置的波形不盡相同，亦即波浪往下游傳遞的過程中，其波形不保持固定，此等現象模式計算結果均與實驗量測有良好的一致性。經由與實驗結果比較，證明由造波機啟動後直到穩定造波狀態的過程，本模式皆可合理的模擬其水位變化，而線性造波理論解析解在造波機初啟動時期的不穩定過程，對水位變化的解析結果則有較大誤差。圖13為根據表1之四組造波條件，在距離造波板運動中心前1、4、7及10倍水深處，量測到之波高的演變，由圖中可見在初始造波階段，非線性波參數最小者 (caseA)，前幾個波的

35、波高往下游傳遞時有明顯降低，而配合空間波形變化的時序列圖14，可以發現伴隨波高的變小，其波形佔據的範圍逐漸擴大。而非線性波參數最大者 (caseD)，波往下游傳遞時，波高並無明顯變化。另外圖13亦顯示caseA (ur = 1.494) 直到造出第12個波，其波高在空間上不同位置才保持為定值的狀態。而由caseD (ur = 10.115) 可發現在空間上沿水槽往下游方向，其造出之波高皆保持近定值狀態，在時間上則至造出第7個波以後，其波高已達定值。由此可見從造波機啟動到造出穩定波浪，其間所需的運轉週期與所設定之波浪條件有關。目前的結果顯示ur參數越小，越慢達到穩定，這與本文使用之造波機為活塞式

36、 (piston-type)，初始造出流速剖面較接近淺水波之現象有直接關係。圖12 模式計算與實驗量測之波形比較 (caseD)圖13造波機由靜止啟動至穩定造波過程所造出之波高往下游傳遞之變化情形圖14 空間上波形變化之時間序列圖 (caseA)六、結 論本文根據一般的Navier-Stokes方程為基礎，經由流函數、渦度與速度場之關係，轉換為求解流函數的Poisson方程與求解渦度的傳輸擴散方程，配合有限解析數值方法，發展一模擬造波數值模式。經過理論及實驗的驗證顯示：不論是水位變化、波動流場及邊界層流動特性，本模式均可合理而且精確的模擬。利用量測造波板位移作為模式輸入條件的方式，本模式可精確

37、計算造波板由靜止啟動到穩定造波的過程，所引起水面波形的變化。非線性波參數小者，其初始階段造出的波形，往下游傳遞時頻散現象較明顯，波高有明顯變小的趨勢，而非線性波參數大者，波高變化並不明顯。由本研究結果發現，隨Ur參數降低，造波運作要達到造出穩定波形所需的造波週期數越多。參考文獻 1.Kennard, E.H., “Generation of surface waves by a moving partition,” Quarterly of Applied Mathematics, Vol. 7, No. 3, pp. 303312 (1949). 2.Hydspeth, R.T., and

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