数列解题技巧归纳总结打印

1、数列解题技巧归纳总结基础知识：1 数列、项的概念 ：按一定次序 排列的一列数，叫做数列 ，其中的每一个数叫做数列的项2数列的项的性质 ： 有序性 ； 确定性 ； 可重复性 3数列的表示 ：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成a1，2， 3， n，（ ），简记作 an其中n 是该数列的第n项，列表法、图象法、 符aaaa号法、列举法、解析法、公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法4数列的一般性质 ：单调性；周期性5 数列的分类 ：按项的数量分：有穷数列、 无穷数列；按相邻项的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列、

2、其他；按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他；按项的变化范围分：有界数列、无界数列6 数列的通项公式 ：如果数列 an 的第n项n 与它的序号n之间的函数关系可以用一个公式（）（ N+aa n =f nn或其有限子集 1 ， 2， 3， ， n ） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值由通项公式可知数列的图象是 散点图 ，点的横坐标是项的序号值，纵坐标是各项的值 不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一7 数列的递推公式 ：如果已知数列 an 的第一项（或前几项） ，且任一项 an 与它

3、的前一项an-1 （或前几项 an- 1，n-2 ， ）间关系可以用一个公式an= （a n 1）（ =2，3， ） （或an= （a n 1,a n 2）(3，4，5， ) ， ）afnfn=来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式 8数列的求和公式 ：设 S 表示数列 a 和前 n 项和，即 S =nai =a1+a2+ +a ，如果 S 与项数 n 之间的函数nnnnni 1关系可以用一个公式S = f （n）（ n=1，2， 3， ） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的求和公式 n9 通项公式与求和公式的关系：通项公式an 与求和公式n 的关系可表示为：anS1 (n1)SSnSn

4、1 (n2)等差数列与等比数列：等差数列等比数列文一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与字它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列定就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。义符an 1andan1q(q 0)号an定义递增数列：分递减数列：类常数数列：d0d0递增数列：a10， q1或 a10，0q1d0ana1(n 1)d pn q am( n m)d通项其中 pd , q a1d前n( a1an )n(n 1)dpn2qnSn2na1n2项其中 pdd和, q a122

5、中a, b, c成等差的充要条件:2bac项等和性： 等差数列an若 m np q 则 amana paq主推论：若 mn 2 p 则 aman2a p要性质an kan k2ana1 ana2an 1a3an 2即：首尾颠倒相加，则和相等1、等差数列中连续 m 项的和，组成的新数列是等差数列。即：sm , s2msm , s3 ms2m ,等差，公差为其m2d 则有 s3 m3(s2 msm )2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如： a1, a4 ,a7 , a10 ,（下标成等差数列）3 、an , bn等 差 ， 则a2 n，a2n 1，它kan b ， pan q

6、bn 也等差。4、等差数列 an 的通项公式是 n 的一次函数，即： an dn c ( d 0 )递减数列： a10， q1或 a10，0q1摆动数列： q0常数数列： q1ana1qn 1amqn m （ q0 ）Sna1 (1qn ) (q1)1qna1(q1)a,b,c成等比的必要不充分条件：b2ac等积性： 等比数列an若 m np q 则 am ana p aq推论：若 mn2 p 则 am an (ap )2anan k(a )2kna1 ana2 an 1a3 an2即：首尾颠倒相乘，则积相等1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。 即：sm, s2msm , s3m

7、s2m ,等比，公比为 qm 。2 、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如： a1, a4 , a7 , a10 ,（下标成等差数列）3、 an, bn 等比，则 a2 n ， a2n 1 ， kan也等比。其中k04、等比数列的通项公式类似于n 的指数函数，即： ancqn ，其中 ca1q等比数列的前n 项和公式是一个平移加振幅的 n 的指数函数，即：sncqnc(q1)等差数列an的前 n项和公式是一个没有常5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。数项的 n 的二次函数，性即： SnAn2Bn ( d 0 )5、项数为奇数2n1的等差数列有：s奇ns奇s偶

8、ana中s偶n1s2n 1(2 n1)an项数为偶数2n的等差数列有：质s奇an， ssnds偶an 1偶奇s2nn(anan 1 )6、 an m, amn 则 am n0snsm 则 sm n0( n m)snm, smn 则 sm n(m n)证明一个数列为等差数列的方法：证明一个数列为等比数列的方法：证1、定义法： an明1、定义法： an1and(常数 )1q(常数 )方an法2、中项法： an1an 12an ( n2)2、中项法： an20)1an 1 （ an）(n 2, an设三数等差： ad, a, ad三数等比： a , a, aq或 a, aq, aq2元q技四数等差：

9、 a3d, ad , a d , a3d巧四数等比： a, aq, aq2 , aq31、若数列 an是等差数列， 则数列Can是等比数列， 公比为 C d ，其中 C 是常数， d 是 an联的公差。系2、若数列an是等比数列，且an0 ，则数列log a an 是等差数列，公差为 log a q ，其中 a是常数且 a 0, a1 ， q 是 an的公比。数列的项 an 与前 n 项和 Sn 的关系： ans1(n1)snsn 1 (n2)数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果an 等差，bn 等比

10、，那么an bn 叫做差比数列）即把每一项都乘以bn 的公比 q ，向后错一项， 再对应同次项相减， 转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列1和1（其中 an等差）an an 1anan1可裂项为：11 ( 11) ，11 ( aa )an an 1d anan 1anan 1dn 1n等差数列前 n 项和的最值问题：1、若等差数列an的首项 a10，公差 d0 ，则前 n 项和 Sn 有最大值。（）若已知通项an0；an ，则 Sn 最大0an 1（）若已知Snpn 2qn ，则当 n 取最靠近q的非零自然数时Sn 最大；

11、2 p2、若等差数列a的首项 a0 ，公差d0，则前 n 项和 Sn 有最小值n1an0（）若已知通项an ，则 Sn 最小0；an 1（）若已知2qSnpnqn ，则当 n 取最靠近的非零自然数时S2 pn 最小；数列通项的求法：公式法 ：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知 Sn （即 a1a2an f (n) ）求 an ，用作差法 ： anS1 ,( n 1)SnSn 1,( nf (1),( n1)已知 a1 a2anf (n) 求 an ，用作商法： anf (n)。f (n 1),( n2)已知条件中既有Sn 还有 an ，有时先求 Sn ，再求 an ；有时也可直接求an

12、。若 an 1anf (n) 求 an 用累加法 ： an( anan 1 ) (an 1an 2 )(a2a1 ( n2) 。已知 an 1f (n) 求 an ，用累乘法 ： ananan1a2 a1 (n2) 。anan 1an2a1已知递推关系求an ，用构造法 （构造等差、等比数列） 。2) 。a1 )特别地 ，（1）形如 ankan 1b 、 ankan 1bn （ k ,b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列 后，再求 an ；形如 ankan 1 k n 的递推数列都可以除以k n 得到一个等差数列后，再求 an 。an1的递推数列都可以用倒数法求

13、通项。（ 2）形如 ankan 1b（ 3）形如 an 1 an k 的递推数列都可以用对数法求通项。（ 7）（理科） 数学归纳法 。（ 8）当遇到 an 1 an 1d或 an 1q 时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段an 1一、典型题的技巧解法1、求通项公式（ 1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1) 递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（ d， q 为常数）例 1、 已知 a n 满足 an+1=an+2，而且 a1=1。求 an。例 1、解 an+1-a n=2为常数 a n

14、是首项为 1，公差为2 的等差数列 an=1+2（ n-1 ）即 an=2n-1例 2、已知 an 满足 an 11 an ，而 a12 ，求 an =？2（ 2）递推式为 an+1=an+f （ n）例 3、已知 an 中 a11an1，求 an .， an 14n221解： 由已知可知 an 1an11 (11)(2n1)( 2n 1)22n1 2n1令 n=1， 2， ，（ n-1 ），代入得（ n-1 ）个等式累加，即（a2-a 1） +（ a3-a 2）+ +（ an-a n-1 ）an a11 (11)4n 322n14n2 说明只要和 f （ 1） +f （ 2）+ +f （n-

15、1 ）是可求的，就可以由an+1=an+f （ n）以 n=1， 2， ，（ n-1 ）代入，可得n-1 个等式累加而求an。(3) 递推式为 an+1=pan+q（ p，q 为常数）例 4、 an 中， a1 1，对于 n 1（n N）有 an 3an 12 ，求 an .解法一： 由已知递推式得an+1=3an+2， an=3an-1 +2。两式相减： an+1-a n=3（ an-a n-1 ）因此数列 a -an 是公比为 3 的等比数列，其首项为a -a =（ 3× 1+2） -1=4n+121 an+1-a n=4·3n-1 an+1=3an+2 3an+2-a

16、 n=4· 3n-1即 a n=2· 3n-1 -1解法二： 上法得 a n+1-a n 是公比为3 的等比数列， 于是有： a2-a 1=4，a3-a 2=4·3，a4-a 3=4·32， ，an-a n-1 =4·3n-2 ，把 n-1 个等式累加得： an=2·3n-1-1(4) 递推式为 an+1=p a n+q n （p，q 为常数）bn 12(bn bn 1 ) 由上题的解法，得： bn2nbn3(1n1)nbn32() an2n)2(3323(5) 递推式为 an 2pan 1qan思路：设 an 2pan 1qan ,

17、 可以变形为： an 2an 1(an 1an ) ，想于是 a n+1- an 是公比为 的等比数列，就转化为前面的类型。求 an 。(6) 递推式为 Sn 与 an 的关系式关系；（ 2）试用 n 表示 an。11 Sn 1 Sn( anan 1 ) ( 2n 22n 1 ) an 1anan 11 an 1112n1an2n2上式两边同乘以n+1n+1n+1nnnn的等差数列。2得 2 a=2 a +2则2 a 是公差为 2 2nan= 2+ （ n-1 ）· 2=2n2数列求和问题的方法（ 1）、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n 项和公式求和，另外记住以

18、下公式对求和来说是有益的。1 3 5 (2n-1)=n 2【例 8】 求数列 1，（ 3+5），（ 7+9+10），（ 13+15+17+19）， 前 n 项的和。解本题实际是求各奇数的和，在数列的前n 项中，共有1+2+ +n=1( 1)个奇数，n n2最后一个奇数为：1+ 1 n(n+1)-1× 2=n2+n-12因此所求数列的前n 项的和为（ 2）、分解转化法对通项进行分解、组合, 转化为等差数列或等比数列求和。2） + 2222222【例 9】求和 S=1·（ n -1·（ n -2） +3·（ n -3） + +n（ n -n ）解 S=n 2

19、（ 1+2+3+ +n）- （ 13+23+33+ +n3）（ 3）、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。例 10、求和： Sn3Cn16Cn23nCnn例 10、解 Sn0 Cn03Cn16Cn23nCnn S n=3n·2n-1（ 4）、错位相减法如果一个数列是由 一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的 ，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和例 11、 求数列 1， 3x ， 5x2, ,(2n-1)x n-1 前 n 项的和解设 Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1 (2)x=0时， Sn=1(3) 当 x 0 且 x 1 时，在式两边同乘以x 得 xS n=x+3x 2+5x3+(2n-1)x n， - ，得 (1-x)S n=1+2x+2x 2+2x3+ +2xn-1 -(2n-1)x n(5) 裂项法：把通项公式整理成两项( 式多项 ) 差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：例 12、求和11111 53 75 9(2