双曲线及其标准方程习题

1、. 学业水平训练 1动点 P 到点 M(1,0) 及点 N(3,0)的距离之差为2，则点 P 的轨迹是 ()A 双曲线B双曲线的一支C两条射线D一条射线解析： 选 D. 依题意 |PM | |PN| 2|MN |，所以点 P 的轨迹不是双曲线，而是一条射线2 若方程x2 y2 1 表示双曲线，则k 的取值范围是 ()10 k 5 kA (5,10)B (， 5)C(10， )D (， 5)(10， )解析： 选 A. 由题意得 (10 k)(5 k)<0 ，解得 5<k<10.22x y 1 的焦点为顶点， 以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是3以椭圆 34()x2x

2、2A. 3 y2 1B y2 3 12222C.x y 1D.y x 1342 y234解析： 选 B.椭圆 x 1的焦点为 F 1，F2(0， 1)，长轴的端点12(0，34(0,1)A (0,2)， Ax22) ，所以对于所求双曲线a1， c 2，b23，焦点在 y 轴上，双曲线的方程为y23 1.4在方程 mx2 my2 n 中，若 mn 0，则方程表示的曲线是 ()A 焦点在 x 轴上的椭圆B焦点在 x 轴上的双曲线C焦点在 y 轴上的椭圆D焦点在 y 轴上的双曲线解析： 选 D. 将方程化为y2 x2 1. n nmm2 y25 若点 M 在双曲线x 1 上，双曲线的焦点为F1 ，F

3、2，且 |MF 1| 3|MF2 |，则 |MF 2|等于()164A 2B 4C8D 12解析： 选 B.双曲线中a2 16， a4,2a 8，由双曲线定义知|MF 1| |MF 2| 8，又 |MF 1| 3|MF 2|，所以 3|MF 2| |MF 2|8，解得 |MF 2| 4.226 设 m 是常数，若点y x 1 的一个焦点，则 m_.F(0,5)是双曲线 m922解析：由点 F(0,5)可知该双曲线 y x1 的焦点落在 y 轴上，所以 m 0，且 m 9 52，解得 m16.m9答案： 167已知双曲线的焦点分别为 (0， 2) 、(0,2)，且经过点 P( 3， 2)，则双曲

4、线的标准方程是 _解析： 由题知 c2，又点 P 到 (0， 2)和 (0,2)的距离之差的绝对值为2a，2a | 3 0 2 2 2 2 3 0 2 22 2| 2， a 1， b2 c2 a2 3.又焦点在 y 轴上，'.x2双曲线的方程为y2 1.3x2答案： y21x2y28在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 4 12 1 上一点 M 的横坐标为 3，则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为 _解析： 由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点 M 的坐标为 (3，15)或 (3，15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案： 49求满足下列条件的双曲线的标准方程2)和

5、(9，5)(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3， 4x2y24(2)与双曲线 164 1 有公共焦点，且过点(32， 2)329解： (1)由已知，可设所求双曲线方程为22a2 b2 1，y2 x21(a 0， b 0)，则81 1，ab25216b2a解得a2 16，b2 9，y2x2所以双曲线的方程为169 1.22(2)设双曲线方程为x2 y2 1(a 0， b 0)ab由题意知 c 2 5.因为双曲线过点 (32，2)，所以3224 1.a2b2又因为 a2 b2 (25)2，所以 a212， b2 8.x2y2故所求双曲线的方程为 1.12810 焦点在 x 轴上的双

6、曲线过点 P(42， 3)，且点 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程22解：因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x2 y2 1(a 0，b 0)，F 1(abc,0)，F 2( c,0) 因为双曲线过点P(42， 3)，所以 32 9 1.a2b2又因为点Q(0,5) 与两焦点的连线互相垂直， 0，即 c225 0.所以 QF1·QF2解得 c2 25.又 c2 a2 b2，所以由可解得a2 16 或 a2 50(舍去 )所以 b2 9，所以所求的双曲线的标准方程是 x2 y2 1.169 高考水平训练 1已知双曲线x2y2MF 1 x 轴，则 F

7、1 到61 的焦点为 F 1， F 2，点 M 在双曲线上，且3'.直线 F 2M 的距离为 ()3656A.5B.665C.5D.6解析： 选 C.不妨设点 F1( 3,0)，容易计算得出|MF 1|3 6，62|MF 2| |MF 1| 26.解得 |MF2|56.2而 |F1F2| 6，在直角三角形MF 1F2 中，由111212| d·，2|MF|F·F| 2|MF求得 F1到直线 F62M 的距离 d 为 5.2已知双曲线的两个焦点F1(5，0)， F2( 5，0)， P 是双曲线上一点，且PF1·PF 20， |PF 1| |PF·

8、2| 2，则双曲线的标准方程为 _解析： 由题意可设双曲线方程为22x2 y2 1(a 0， b 0)ab由 PF1·PF2 0，得 PF 1PF 2.根据勾股定理得|PF1 |2 |PF2|2 (2c)2，即 |PF1 |2 |PF2|220.根据双曲线定义有|PF 1| |PF 2| ±2a.两边平方并代入 |PF 1| |PF· 2| 2 得20 2× 2 4a2，解得 a2 4，从而 b2 5 4 1，所以双曲线方程为x2 y2 1.x24答案：y2143设圆 C 与两圆 ( x5)2 y2 4，(x 5)2 y2 4 中的一个内切，另一个外切求

9、C的圆心轨迹 L 的方程解： 设两圆 (x5)2 y2 4， (x5)2 y2 4 的圆心分别为F1( 5， 0)， F2(5， 0)，两圆相离，由题意得 |CF1 | |CF 2| 4 25 |F1 F2 |，从而得动圆的圆心C 的轨迹是双曲线，且 a2， c5，所以 b5 2 22 1，x2所求轨迹 L 的方程为4 y2 1.x2y24如图，若1，F2是双曲线 1 的两个焦点F916(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；(2)若 P 是双曲线左支上的点，且 |PF | |PF·2| 32，试求 FPF的面积112'.解： 双曲线的标准方程为x2y2 1，916故 a3， b 4， c a2 b25.(1)由双曲线的定义得 |MF1| |MF 2| 2a 6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于 16，假设点 M 到另一个焦点的距离等于x，则 |16x| 6，解得 x 10 或 x 22.故点 M 到另一个焦点的距离为10 或 22.(2)将 |PF 2| |PF1 |2a 6，两边平方得|PF1 |2 |PF2|2 2|PF1| ·|PF2| 36， |PF1 |2 |PF2|236 2|PF1| ·|PF2 | 36 2× 32 100.在 F1PF