厦门大学2012量子力学期末考试试卷及答案集

1、.量子力学期末试题及答案(A)选择题（每题3 分共 36 分）1黑体辐射中的紫外灾难表明：CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D. 黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。2关于波函数 的含义，正确的是：BA. 代表微观粒子的几率密度；B. 归一化后，代表微观粒子出现的几率密度；C. 一定是实数；D. 一定不连续。3对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：DA. 偏振光子的一部分通过偏振片；B. 偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D. 每个光子以一定的几率通过偏振片。4

2、对于一维的薛定谔方程，如果是该方程的一个解，则：AA. 一定也是该方程的一个解；B. 一定不是该方程的解；C. 与一定等价；D. 无任何结论。5对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：CA. 粒子在势垒中有确定的轨迹；B. 粒子在势垒中有负的动能；C.粒子以一定的几率穿过势垒；D 粒子不能穿过势垒。6如果以 l 表示角动量算符，则对易运算 l x , l y 为： BA. ih l zB. ih l z;.C.i l xD.h l x7如果算符A 、 B 对易，且 A=A，则： BA. 一定不是 B 的本征态；B. 一定是 B 的本征态；C. 一定是 B 的本征态；D. 一定是 B

3、 的本征态。8如果一个力学量A 与 H对易，则意味着A ： CA. 一定处于其本征态；B. 一定不处于本征态；C.一定守恒；D. 其本征值出现的几率会变化。9与空间平移对称性相对应的是：BA. 能量守恒；B. 动量守恒；C.角动量守恒；D. 宇称守恒。10如果已知氢原子的 n=2 能级的能量值为 -3.4ev，则 n=5 能级能量为： D A. -1.51ev;B.-0.85ev;C.-0.378ev;D. -0.544ev311三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量(N+ 2 )h 下，简并度为： B1 N(N1)A. 2；;.1 (N 1)(N

4、2)B. 2；C.N(N+1) ；D.(N+1)(n+2)s12判断自旋波函数A. 自旋单态；B. 自旋反对称态；C.自旋三态；1(2) (1) (1) (2)2是什么性质： CD. z 本征值为 1.二填空题（每题4 分共 24 分）En13.26 eV，则电子由 n=5跃迁到 n=41如果已知氢原子的电子能量为n能级时，发出的光子能量为：，光的波长为。2如果已知初始三维波函数(r ,0) ，不考虑波的归一化，则粒子的动量分布函数为( p) =，任意时刻的波函数为( r ,t ) 。0 点波函数'3在一维势阱（或势垒）中，在 x=x（连续或不连续），它的导数（连续或不连续）。4如果选

5、用的函数空间基矢为n处于n，则某波函数态的几率用 Dirac 符号表示为，某算符A 在态中的平均值的表示为。5在量子力学中，波函数在算符操作下具有对称性，含义是，与对应的守恒量F 一定是算符。6金属钠光谱的双线结构是，产生的原因是。三计算题（ 40 分）1设粒子在一维无限深势阱中，该势阱为：V(x)=0, 当 0xa，V(x)= ,当 x<0 或 x>0, 求粒子的能量和波;.函数。 (10 分 )2设一维粒子的初态为(x,0)Exp(ip 0 x / h) ，求(x,t ) 。（10 分）3计算z 表象变换到x 表象的变换矩阵。 （ 10 分）4 。4 个玻色子占据3 个单态1，

6、2 ，3 ，把所有满足对称性要求的态写出来。（10 分）B 卷一、（共 25 分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4 分）2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6 分）3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4 分）4P、在一维情况下，求宇称算符?和坐标 x 的共同本征函数。 （ 6 分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量 E 的测不准关系。（ 5 分）?A2B21，且 ABBA0二、（15 分）已知厄密算符A, B，求，满足 ?1AA表象中算符、 B 的矩阵表示；、在?2、在 A 表象中算符 B的本征值和本征函数；3、

7、从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵S。三、（15 分）线性谐振子在t0 时处于状态;.( x,0)12x e x p ( 12 x 2 )332，其中，求1、在 t0 时体系能量的取值几率和平均值。2、 t0 时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值四、（15 分）当为一小量时，利用微扰论求矩阵1202230332的本征值至的二次项，本征矢至的一次项。五、（10 分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态 .问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?一、 1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。2、在无穷远处

8、为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：S11 (q1) 2 (q2 )1 (q2 ) 2 (q1 )2? P, x4、宇称算符 P 和坐标 x 的对易关系是：的状态才可能使?(x)P 和 x 同时具有确定值， 由是算符Px的共同本征函数。? 和?0 时2xP，将其代入测不准关系知，只有当 xP(x) 知，波函数(x) 满足上述要求， 所以(x)? ? ?GFi k ， k5、设 F 和 G 的对易关系 F

9、G是一个算符或普通的数。 以 F 、G 和 k 依次表示 F 、?k 在态中的平均值，令?F ，?G ，G 和FFGG(?2?2k 2F )( G )4 ，这个关系式称为测不准关系。则有时间 t 和能量 E 之间的测不准关系为：t E2?2?，因为在A 表象中，算符?二、 1、由于 A1 ，所以算符 A 的本征值是 1A 的矩阵是对角矩阵，?10?A( A)01所以，在 A 表象中算符 A 的矩阵是：?b11b12BB(A)b21b22? ?得： b11 b220 ；由设在 A 表象中算符，利用ABBA 0? 的矩阵是;.0b120b12b12b21011b210 b2100b21b12b12

10、2b21?1 ，所以，于 B；由于 B 是厄0b120110b12*b121?b12b12*0b12*密算符， BB ，?0eibei?B(A)e i0为任意实常数）得在 A 表象中的矩阵表示式为：令 12，（B0ei?e i02、在 A 表象中算符 B 的本征方程为：eiei0即 e ie i0和不同时为零的条件是上述方程的系数ei0ei2101行列式为零，即B1eiB1ei1 有：2121对，对1 有：1 ei1ei?1，本征函数为21和21所以，在 A 表象中算符 B 的本征值是3、从 A表象到 B表象的幺正变换矩阵就是将算符?在 A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即BS1eie i21

11、1三、解： 1、 t0 的情况：已知线谐振子的能量本征解为：1n (x)exp(22)H n (x)En(n2)(n0,1,2) ，x2n n!当 n0,1时有：0 (x)exp(2 x2 )1 (x)2( x) exp(2 x2 )，( x,0)10 ( x)21 ( x) ，容易验证它是归一化的波函数，于是 t0 时的波函数可写成：33于是 t0 时的能量取值几率为：;.W (E01,0)1W (E13,0)223，23 ，能量取其他值的几率皆为零。能量的平均值为：E1 E02 E17336( x, t)1( x) exp(it)21 ( x) exp(3it )2、 t0 时体系波函数3

12、 0232显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故t0 时体系能量的取值几率和平均值与 t0 的结果完全相同。10002002023四、解：将矩阵改写成：?003032HH 0H能量的零级近似为：E1( 0)1， E2(0)2 ， E3(0)3能量的一级修正为：E1(1)0 ， E2(1)， E3(1)2E1( 2)H 122H 1324 2E1(0 )E2(0)E1(0 )E3( 0)能量的二级修正为：，E2(2)H 212H 232429252E2(0)E1( 0)E2(0 )E3(0 )，E3(2)H 312H 3229 2E3(0)E1( 0)E3(0 )E2(0)

13、所以体系近似到二级的能量为：E1142，E2 25 2，E33210920( 0)0(0 )112?属于本征值1、2 和 3 的本征函数分别为：0，0，先求出 H0(0)301 ，(1)H ik(0 )ki kEk( 0)Ei(0)i利用波函数的一级修正公式，可求出波函数的一级修正为：(1)102 10 ，(1)2203 ，(1)303 10;.120122133近似到一级的波函数为：0，3，1五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。以qi 表示第 i (i1,2,3) 个粒子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：（ 1）（ 3）（ 4）(1)1( q1 ) 1(q

14、2 ) 1( q3 ) ；（ 2）( 2)2 (q1 ) 2 (q2 ) 2 ( q3 )ss(3)C 1( q1 ) 1( q2 ) 2 (q3 )1 (q1 ) 2 (q2 ) 1 (q3 )1(q2 ) 2 ( q1 ) 1( q3 ) ；s(4)C 2 (q1) 2 (q2 ) 1 (q3 )2 (q1 ) 1( q2 ) 2 (q3 )2 (q2 ) 2 (q3 ) 1 (q1 )s一、（20 分）已知氢原子在 t0 时处于状态( x,0)1120212( x)31(x)3(x)30130其中，n (x) 为该氢原子的第n 个能量本征态。 求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值，写出

15、 t 0时的波函数。解已知氢原子的本征值为Ene4122 ， n 1,2,3,（ 1）2n将 t0 时的波函数写成矩阵形式12x23x( x,0)33（ 2）21 x3利用归一化条件122 *1x2x2*3233cdx3 2 x33 x3 1 x21 x（ 3）3124272999cc9;.于是，归一化后的波函数为1x2x129232 x3 x( x,0)3377724（ 4）xx1137能量的可能取值为E1, E2 , E3 ，相应的取值几率为WE1,04;W E2,01;W E3,02777能量平均值为412E 07 E17 E27 E3e4411121161 e422717479504

16、2自旋 z 分量的可能取值为,，相应的取值几率为22W sz,0123sz,04277;W772自旋 z 分量的平均值为sz034727214t0 时的波函数12 x expi E2 t23x expi E3t77( x, t )4i1 x expE1t7二 . （ 20 分） 质量为 m 的粒子在如下一维势阱中运动V00（ 5）（ 6）（ 7）（ 8）（ 9）.x0V xV 0 ,0x a0 ,xa;V0的状态，试确定此势阱的宽度 a 。若已知该粒子在此势阱中有一个能量 E2解 对于V0E0 的情况，三个区域中的波函数分别为1x02xA sin kx3xB expx其中，2m(E V 0 )

17、2m Ek;利用波函数再x0处的连接条件知，n， n 0,1,2,。在 xa 处，利用波函数及其一阶导数连续的条件2a3a2'a3'a得到Asin kanB expaAk cos kanBexpa于是有ktan ka此即能量满足的超越方程。当 E1 V0 时，由于2mV 0 amV 0tan1mV 0故mV 0 ann 1 , 2 ,3 ,4最后得到势阱的宽度.（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）（ 6）（ 7）;.a1（ 8）n4mV 0三、（20 分）证明如下关系式（1）任意角动量算符?i?j 满足jjj 。证明对 x 分量有? ? ? ? ?jjxj y j zj z

18、 j y =i j x同理可知，对y 与 z 分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。pn nn是一个厄米算符，其中，n是任意正交归一的完备本征函数系。投影算符 ?证明在任意的两个状态与之下，投影算符? 的矩阵元为pnp?nnn而投影算符p?n 的共軛算符p?n 的矩阵元为?*?*pnpnpn*n*n nnn n显然，两者的矩阵元是相同的，由与的任意性可知投影算符?是厄米算符。pn*''?为任利用x k xx x证明，其中，xkxpx mnxmk pxknkkk意正交归一完备本征函数系。证明;.?dx*?xxp x mnm x xpxndxm*xxdx'x 'xp?

19、xnxd x dx*m*mx x dxx x dx'x'?'n x'x p x'*x'?'n x'kkx p xkdx*x x k xdx'*x'?'n x'kmkpxxmk?pxknk四、（分）在2?20L 与 Lz 表象中， 在轨道角动量量子数l1的子空间中， 分别计算算符 L、 Lyx与 L?z 的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。解 在L2l1时， m? ?与 Lz 表象下，当轨道角动量量子数1,0, 1，显然，算符 Lx 、 Ly 与 Lz皆为三维矩阵。由于在自身表象中，故?是对

20、角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是有Lz?100000（ 1）Lz001相应的本征解为;Lz;1Lz 0;0Lz;1?对于算符Lx 、 Ly 而言，需要用到升降算符，即100010001.（ 2）?1?Lx2LL（ 3）1?L y2iLL而?l l 1 m m 1 l , m 1（ 4）L lm当l 1,m1,0,1时，显然，算符Lx、 Ly 的对角元皆为零，并且，?1,?1,?01 Lx 1,11 Ly 1,1（ 5）?1?101,1 Lx 1,1,1 Ly 1,只有当量子数 m 相差1时矩阵元才不为零，即1,?1,0?1,1?1,1?1,01 Lx1,0 Lx1,0 Lx1,1 Lx2

21、?1, 1?1,0i（ 6）1,0 Ly1,1 Ly21,?i1 Ly 1,01,0 Ly1,12于是得到算符?Lx 、 Ly 的矩阵形式如下;0100i0?101?i0iLx; Ly201020i0?L y 满足的本征方程为0i0c1c1i0ic 2c 22i0c 3c 30相应的久期方程为i02ii022.（ 7）（ 8）（ 9）0将其化为i232得到三个本征值分别为0（10 ）1;2将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为i112 ;22i?L x 满足的本征方程为0101012100相应的久期方程为0 ;31i1;1032221ic1c1c 2c 2c 3c 3（ 11）（12 ）（

22、13 ）;.200（14 ）2202将其化为320（15 ）得到三个本征值分别为1;20 ;3（16）将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为111110 ;112 ;2232（17 ）21211五、（ 20分）由两个质量皆为、角频率皆为的线谐振子构成的体系，加上微扰项?x 1 x 2 （ x 1, x 2 分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、W第二激发态能量至一级修正。提示：线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为m x n1nn12 m ,n 12m,n1式中，。解体系的哈密顿算符为?（ 1）HH 0W其中?1221222?H 0x1x22p1p22（ 2）?x1

23、x2W?已知 H0 的解为;En0n1nx1 , x2n1x1n2x2其中n1, n2 , n 0,1,2,1,2,3, f n将前三个能量与波函数具体写出来E00;00 x10 x2E02,110x1x211121x10x2E203 ,212 x10 x2220x12x2231x11x2对于基态而言， n1 n2 n0 ， f 01，体系无简并。利用公式m xn1nm,n1n1m,n 122可知1?0E00 W0f n?Wnn W0E020E00En0n 01显然，求和号中不为零的矩阵元只有?0W2323 W022于是得到基态能量的二级修正为2122E0E204 48 2E003第二激发态为

24、三度简并，能量一级修正满足的久期方程为.（ 3）（ 4）（ 5）（ 6）（ 7）（ 8）（ 9）;W11 E21W12W13W21W22 E21W230W31W32W33 E21其中W11W22 W33 W12 W21 0W13 W31 W23 W3222将上式代入（ 10）式得到E210220E212202222E21整理之， E21 满足32E214 E210于是得到第二激发态能量的一级修正为E2112 ;E2210; E23121.微观粒子具有波粒二象性。2德布罗意关系是粒子能量E、动量P 与频率、波长之间的关系，其表达式为：p= h /。.（ 10 ）（ 11）（12 ）（13 ）（14 ）E=h,3根据波函数的统计解释，( x,t )2 dx 的物理意义为：粒子在xdx 范围内的几率。4量子力学中力学量用 厄米算符表示。5坐标的 x 分量算符和动量的x 分量算符 px 的对易关系为：x, p i 。6量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数(x) 所描写的状态时， 测量某力学量F 所得的数值，;.?。必定是算符 F 的 本征值i(x,t )Ent7定态波函数的形式为：n (x)e。8一个力学量 A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易。9根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_, 玻