初三二次函数的图像与性质.

1、龙文教育学科导学教师:学生:年级：日期:星期:时段:二次函数部分内容中考难度不大，所以本套教案注重于基础知识的准确掌学情分析握。课题二次函数的图像与性质学习目标与考点分析学习重点学习方法学习目标： 1、理解二次函数的概念； 会识别最基本的二次函数并利用二次函数的概念求解析式中的未知数；2、熟练的画出各种抛物线的图像，根据解析式的变化判断图像的平移方法；3、熟练的选用合适的解析式利用待定系数法求解析式。图像的平移；待定系数法求解析式讲练结合、师生讨论、启发引导学习内容与过程教学内容：知识回顾一般地，形如2+bx+c （a，b， c 是常数， a 0）的函数，叫做二次函数。其中， x1.y=ax是

2、自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项.2. 二次函数的解析式及其对称轴（1）二次函数解析式的一般式 （通式）：，它的顶点坐标为 （，），对称轴为；（2）二次函数解析式的顶点式（通式）：，顶点坐标为（，）对称轴是；（3）二次函数解析式的交点式：。此时抛物线的对称轴为。其中，（x1,0 ）（ x2 ,0 ）是抛物线与 X 轴的交点坐标。显然，与 X 轴没有交点的抛物线不能用此解析式表示的3. 二次函数 y=a(x-h) 2 +k 的图像和性质4. 二次函数的平移问题5. 二次函数 y=ax2 +bx+c 中 a，b，c 的符号与图像性质的关系：6. 抛物线 y=ax

3、2+bx+c 与 X 轴的交点个数与一元二次方程的根的判别式的符号之间的的关系二次函数的常规解法：一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、 y 的对应数值时，可选用y ax2 求+bx+c(a0)解。我们称 y ax2+bx+c(a 0)为一般式（三点式） 。例： 二次函数图象经过 A(1 ， 3)、 B(-1 ， 5)、 C(2， -1)三点，求此二次函数的解析式。说明： 因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。所以将已知三点的坐标分别代入y ax2+bx+c (a 0)构成三元一次方程组，解方程组得a、 b、c 的值，即可求二次函数解

4、析式。二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时，可选用y a（ x m） 2+k (a 0)求解。我们称 y a（ x m） 2+k (a 0)为顶点式（配方式） 。例： 若二次函数图像的顶点坐标为（2,3 ），且过点（3,5 ）, 求此二次函数的解析式。说明： 由于顶点式中要确定a、 m、 k 的值，而已知顶点坐标即已知了m、 k 的值。用顶点式只要确定 a 的值就可以求二次函数解析式。若已知这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、 c 的值的，不妨让学生尝试一下加深印象。三、若已知二次函数与X 轴的交点坐标是 A(x 1,0) 、 B(x2,0)时 , 可选用 y a（ x-x1）

5、(x- x2 ) (a 0)求解。我们称 y a（ x-x1） (x- x2 )(a 0)为双根式（交点式） 。例： 已知一个二次函数的图象经过点A（ 1， 0）、 B（3， 0）和 C（ 0， 3）三点，求此二次函数的解析式。说明： 很多同学看到此例会想到使用一般式来解，将已知三点的坐标分别代入去求a、b、 c 的值来求此二次函数的解析式。往往忽略A 、 B 两点的坐标就是二次函数图象与x 轴的交点坐标，而用双根式来求解就相对比较简单容易。四、若已知二次函数在X 轴上截得的线段长为d 时，可选用或例： 抛物线 y 2x2-mx-6 在 X 轴截锝线段长为 4，求此二次函数的解析式。说明： 对

6、于此例主要让学生明白这两种二次函数解析式中线段长d 的推导过程，记住公式套进去就行了。注意相互之间不要混淆。总之，要求一个二次函数的解析式，可以根据不同的已知条件选择恰当的解题方法，使计算过程简单化，达到迅速解题的目的。当然，也只有在平时的练习中对基本解法的适用情况做到心中有数，才能在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法，提高解题能力。二次函数的概念如果 y=ax 2 +bx+c(a 0,a,b,c为常数 ) ，那么 y 叫做 x 的二次函数注意：二次函数的表达形式为整式，且二次项系数不为0，b ， c 可分别为 0，也可同时为0自变量的取值范围是全体实数练习：1下列各式

7、中， y 是 x 的二次函数的是（）A x+y2-1=0By=（x+1）（ x-1 ）-x 2C y=1+ x2 1D2（x-1 ）2+3y-2=0221 是二次函数，那么 m的值是（）2若函数 y=（m+m） xm 2mA 2 B -1或3 C 3 D -1± 2 3写出下列各函数关系式，并判断是否是二次函数？2（1）两直角边的和为40cm，其中一条直角边长为xcm，直角三角形的面积是Scm，写出 S 和 x 之间的函数关系式；（2）写出圆面积 S 与半径 r 之间的函数关系式；（3）写出正方形面积y 与边长 x 之间的函数关系式；（4）圆的周长 c 与半径 r 之间的函数关系式2

8、. 二次函数的图像及其性质二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的定点1. 二次函数 y=ax 2 (a 0) 的图像。（画图讲解）2. 二次函数 y=ax 2 +bx+c(a 0,a,b,c 为常数 ) 的图像二次函数 y=ax 2 +bx+c 用配方法可化成 y=a(x-h) 2 +k h=-b,k= 4ac b22a4a（注重推导过程）练习：1抛物线 y=（x-1 ）2+1 的顶点坐标是（）A （1，1） B （-1 ，1） C （1，-1 ） D （-1 ，-1 ）2若 k 为任意实数，则抛物线y=-2 （x-k

9、 ）2+k2 的顶点在（）A抛物线 y=x2 上B直线 y=-x 上； C x 轴上Dy 轴上3抛物线y=- 1 x2 的开口向 _，顶点坐标为 _，?顶点是抛物线的最 _点，2当 x=_时，函数有最 _值为 _4二次函数y= 1 x2 的图象是一条开口 _的_，有最 _点，当 x=2 时，4y=_；当 y=1 时， x=_25已知二次函数y=（m-1）· xm 3 m 2 的图象开口向上，则m=_3. 二次函数的解析式以及如何求解：练习： 1已知抛物线的顶点坐标为（2， 1），且抛物线经过点（ 3，0），则这条抛物线的解析式是（） .（ A）y1x2413（ ）1x245（ ）y=

10、x2-4x+5 （D）y=-x 2+4x-39x9B y9x9C992已知抛物线经过A（ 1， -4 ），B（7，8），C（-5 ，20）三点，求二次函数的解析式.4二次函数的应用1、已知 y=x2+x6，当 x=0 时， y=；当 y=0 时， x=。2 、 抛物 线 y1 x23x7 与 y 轴交 点的 坐 标为，与 x 轴 交点 的坐 标为22。3 、抛物线 y=(x+3)2 25 与 y 轴交点的坐标为，与 x 轴交点的坐标为。5. 图像的平移1将抛物线 y1 x2 向下平移 2 个单位得到的抛物线的解析式为，再向上平移 33个单位得到的抛物线的解析式为，并分别写出这两个函数的顶点坐标

11、、。2、抛物线 y1 (x2) 24 可以通过将抛物线y 向平移个单位、再向3平移个单位得到。6. 用函数观点看一元二次方程1、 已知抛物线 y3x22xa 与 x 轴有交点，则 a 的取值范围是（）(A) a 1(B) a 1(C) a1(D) a 133332、无论 x 为任何实数，抛物线 yax2bxc 永远在 x 轴上方的条件是（）(A) a0, b24ac 0 (B) a 0, b24ac 0(C) a 0, b24ac 0 (D) a 0,b24ac 03、已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图 1 所示 .这个二次函数的表达式是y=_；当 x=_时， y=3；根据图象回答：

12、当x_时， y>0.y1O12 x-17、二次函数的图像与系数之间的关系：1 、已知二次函数 yax2bxc 的图象如图所示，下列结论：abc 0 ； b ac ；4a 2bc 0 ；2c3b ；a b m(am b) ，（ m 1的实数）其中正确的结论有（）。A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2、二次函数y ax2c a 0 中，若当 x 取 x12（ x1x21 +x2时，函、x）时，函数值相等，则当x 取 x数值等于.3、二次函数 y = x 2 + ax + b 中，若 a + b =0 ，则它的图象必经过点（）A (- 1,-1)B()C()D(- 1,1)1,- 11,

13、14、已知二次函数y ax2bx c，如果 a>b>c，且 a b c 0，则它的图象可能是图所示的 ( )yyyyO1xO 1xO 1 xO1 xABCD课内练习与训练1. 已知：如图一次函数 y 12 x1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；二次函数 y 12 x2 bx c的图象与一次函数y 12 x 1 的图象交于B、 C 两点，与x 轴交于 D、 E 两点且 D 点坐标为 (1， 0)(1) 求二次函数的解析式；(2) 求四边形 BDEC 的面积 S；(3) 在 x 轴上是否存在点 P，使得 PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点

14、P，若不存在，请说明理由2、如图14 1y x22x k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C 0，3 ）图14 2）、（ ），抛物线（图 14（ 3）为解答备用图（ 1） k，点 A 的坐标为，点 B 的坐标为；（ 2）设抛物线 yx22xk 的顶点为M，求四边形 ABMC 的面积；（ 3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（ 4）在抛物线 yx22xk 上求点 Q，使 BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形图 14（ 1）图 14（ 2）图 14（ 3）3、如图，已知点A(- 4， 8)和点 B(2， n)在抛物线yax2 上(1)求 a 的值及点B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在x 轴上找一点Q，使得 AQ+QB 最短，求出点Q 的坐标；(2)平移抛物线yax2 ，记平移后点A 的对应点为A，点 B 的对应点为B，点 C(- 2，0)和点 D(- 4，0)是x 轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB最短，求此时抛物线的函数解析式；