初中数学函数知识点归纳(1)

1、.函数知识点总结( 掌握函数的定义、性质和图像)平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、各个象限内点的特征 :第一象限：（ +， +）点 P（x,y ），则 x0,y 0；第二象限：（ - ， +）点 P（x,y ），则 x0,y 0；第三象限：（ - ， - ）点 P（x,y ），则 x0,y 0；第四象限：（ +， - ）点 P（x,y ），则 x0,y 0；3、坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点，纵坐标为零； y 轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（ 0 , 0 ）。两坐标轴的点不属于任何象限。4、点的对称特征：已知点P(m,n

2、),关于 x 轴的对称点坐标是 (m,-n),横坐标相同，纵坐标反号关于 y 轴的对称点坐标是 (-m,n)纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是(-m,-n)横，纵坐标都反号5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于 x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于 y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。6、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。7、点 P（x,y ）的几何意义：点 P（x,y ）到 x 轴的距离为 |y| ，点 P（x,y ）到 y 轴的距离为 |x| 。;.点 P（x,y ）到坐标原

3、点的距离为x 2y28、两点之间的距离：X 轴上两点为 A(x1 ,0) 、B( x2 ,0)|AB| | x2x1 |Y 轴上两点为 C(0, y1 ) 、 D(0, y2 )|CD| y 2y1 |已知 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 ) AB|=( x2x1 ) 2( y2y1 ) 29、中点坐标公式：已知A( x1 , y1 ) 、B(x2 , y2 )M 为 AB的中点 , 则： M=( x2 x1 ,y2y1 )2210、点的平移特征：在平面直角坐标系中，将点（ x,y ）向右平移 a 个单位长度，可以得到对应点（x-a ，y）；将点（ x,y ）向左平移 a 个

4、单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）；将点（ x,y ）向上平移 b 个单位长度，可以得到对应点（x，yb）；将点（ x,y ）向下平移 b 个单位长度，可以得到对应点（x，yb）。注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。函数的基本知识 ：基本概念1、变量： 在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量： 在一个变化过程中只能取同一数值的量。2、函数： 一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自

5、变量，把y 称为因变量， y 是x 的函数。* 判断 A 是否为 B 的函数，只要看 B 取值确定的时候， A 是否有唯一确定的值与之对应3、定义域和值域：定义域： 一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。值域：一般的，一个函数的因变量所得的值的范围，叫做这个函数的值域。4、确定函数定义域的方法：;.（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。5、函数的图像一般来说，对

6、于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象6、函数解析式： 用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。7：增减性（单调性）：增减性又叫单调性，分两种情况：单调增、单调减单调增： y 随 x 的增大而增大单调减： y 随 x 的增大而减小口诀：“同增异减” ，注意：单调性只适用于单调区间，即有一个X 只有唯一确定的y 与之对应时。8、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应

7、的各点） ；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。9、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。一次函数图象和性质;.【知识梳理】一、一次函数的基础知识1、定义 ：一般地，形如y=kx b(k,b 是常数， k0)，那么 y 叫做 x 的一次函数当 b=0 时， y=kxb 即 y=kx，称为正比倒函数，所以说正比例函

8、数是一种特殊的一次函数.一次函数的一般形式：y=kx+b (k0)说明： k 不为零 x 指数为 1 b 取任意实数2、解析式 ： y=kx+b(k 、b 是常数， k0)3、图像： 一次函数y=kx+b 的图象是经过（0， b）和（ - b ，0）两点的一条直线，我们称它为直k线 y=kx+b,4、增减性（单调性） ： k>0 ， y 随 x 的增大而增大（单调增）； k<0，y 随 x 而增大而减小 （单调减）5、必过点 ：（ 0， b）和（ - b ， 0）：理由如下： y=kx+b 中，k当 x=o,时， y=所以，该函数经过（，）点当 y=o,时， x=所以，该函数经过（

9、，）点所以，一次函数 ykx b 的图象是必经过（bk， 0）和（ 0， b）两点的一条直线.，注：两点确定一条直线。画图时，可通过这两点来确定直线。6、一次函数图像的画法： 两点法 计算必过点 （ 0， b）和（ -b ， 0）k 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的直线）7、增减性 ： k>0 ， y 随 x 的增大而增大； k<0， y 随 x 增大而减小 .8、倾斜度 ( 只与 k 相关 ) ：|k| 越大，图象越接近于y 轴； |k| 越小，图象越接近于x 轴 .9、截点（与b 有关）：（直线与 y 轴的交点， 该点到原点的距离叫做截距）当 b>0 时直线与

10、y 轴交于原点上方（即y 轴的正半轴）；当 b<0 时，直线与y 轴交于原点的下方。 （即 y 轴的负半轴）10、图像的上下平移（只与b 相关）：直线 y=kx+b, 它可以看作由直线y=kx 平移 |b| 个单位长度得到.当 b>0 时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；口诀“正上”当 b<0 时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位 .口诀“负下”;.例如： y=2x+3,将直线y=2x的图象向上平移3个单位y=2x-3,将直线y=2x的图象向下平移3个单位练习： y=5x-6, 将直线y=5x的图象向下平移 6个单位注：一次函数 y=kx+b图像的平移，只与

11、b 有关，将 y=kx 的图像平移，平移方向：b 正上移， b 负下移11、一次函数y kxb 的图象与性质b>0b<0b=0（正比例函数）经过：第一、二、三象限经过：第一、三、四象限经过：第一、三象限不经过：第四象限不经过：第二象限不经过：第二、四象限k>0增减性（单调性）：图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大，单调增经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限不经过：第三象限不经过：第一象限不经过：第一、三象限k<0增减性（单调性）：图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小，单调减必过点： 经过（b经过原点（ 0，0）， 0）和（ 0， b）两点

12、，正比例函数即是k12（3）若直线 l1 ：yk1 xb1l 2 ： y k2 x b2、两直线之间的位置关系 （平行或相交） ：平行： 当k1k时， l1l；当 bb b时， l与 l2交于， b 点。2/ / 2121( 0)相交：将两直线方程联立成一个方程组， yk1b1，解得结果，即为交点。yk 2b213、二元一次方程组与一次函数的关系：两元一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。14、 应用 ：要点是（ 1）会通过图象得信息； （ 2）能根据题目中所给的信息写出表达式。15、【思想方法】数形结合。巩固练习：试试画出y=x, y=x+1, y=-x, y=-x+1的图像反比例函

13、数图象和性质【知识梳理】一、反比例函数的基础知识;.1、定义 ： 一般地，形如yk （ k 为常数， k o ）的函数称为反比例函数。xyk 还可以写成 ykx1x2、解析式 ： yk （ k 为常数，）x注：反比例函数解析式的特征：等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数 k ），分母中含有自变量x ，且指数为 1.比例系数 k0自变量 x 的取值为一切 非零实数。（反比例函数有意义的条件：分母0）函数 y 的取值是一切 非零实数。3、增减性（单调性） ： k>0 ， y 随 x 的增大而减小（单调减）； k<0，y 随 x 增大而增大 （单调

14、增）4、反比例函数的图象：双曲线（ 1） 图像的画法：描点法 列表（应以 O为中心，沿 O的两边分别取三对或以上互为相反的数） 描点（有小到大的顺序）连线（从左到右光滑的曲线）(1)是中心对称图形，对称中心是原点（ 2）对称性：(2)是轴对称图形，对称轴是直线y和yxx（ 3） 反比例函数 yk （ k 为常数， k0 ）中自变量 x0 ，函数值 y0 ， 所以双曲线是不x经过原点，断开的两个分支（称为左、右支），延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。k0时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内y随x的增大而减小3）k 0时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内 y随x的增大而增大（

15、 4）比例系数 k 的几何含义（右图） ：反比例函数 y k(k 0)中比例系数 k 的y kx几何意义，即过双曲线(k 0)上任意一点 P 作 x 轴、 y 轴垂线，设垂足分x别为 A 、 B，则所得矩形OAPB 的面积 (阴影面积 )为k.;.（由 y k 变形可得： k=xy因为面积为正数，所以k 取绝对值。）x5、反比例函数性质如下表：k 的符号k0k0yy图像的大致位置oxox经过象限第象限第象限增减性（单调性：在每一象限内， 从左到右看，在每一象限内 ,从左到右看单调区间内讨论）y 随 x 的增大而减小；y 随 x 的增大而增大（ - ， 0）U（ 0，+）区间（ - ， 0）U（

16、 0，+）区间内，单调减内，单调增图像的对称性中心称图形，对称中心是原点；同时，也是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线 y=-x6、【思想方法】：数形结合（ ）应用在PF 上1S73、. 应用 （ 2）应用在 uS 上其要点是会进行“数形结合”来解决问题t（ 3）其它二次函数图象和性质【知识梳理】一、二次函数的基础知识：1定义 ：一般地，形如 y ax2bx c （ a，b ，c是常数， a0 ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0 ，而 b，c 可以为零;.二次函数的定义域（x 的取值范围）：全体实数， R2. 解析式（表达式） ：一般式：yax2c （

17、 a0 ， a ，b ，c 是常数）：bx说明：等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是 2 a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项对于二次函数 yax2bxc，经过配方变形为顶点式：y=a(x+b)24acb2b 4ac b22a4a, 其顶点坐标为（ -，）2a4a补充： 二次函数解析式的表示方法（三种）一般式： yax2bxc （ a ， b ， c 为常数， a0 ）；顶点式： ya( xh) 2k （ a ， h ， k 为常数， a0）； 抛物线的顶点 P（h，k）对于二次函数 yax2bxc，经过配方变形顶点式：b24a

18、c b2b4acb2y=a(x+)4a, 其顶点坐标为（ -，）2a2a4a两根式（交点式） ： ya (xx1 )( xx2 ) （ a 0 ， x1， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） . 仅限于与 x 轴有两个交点 A（ x1 ，0）和 B（x2， 0）的抛物线，即 0其中 x1bb24ac ,x2bb24ac (即一元二次方程求根公式 )2a2a注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系:h=- bk=4acb2x1bb24ac ,x2bb24ac2a4a2a2a注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点

19、，即 b24ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化 .二次函数 yaxh2k 与 yax2bxc 的比较从解析式上看，yaxh2k 与 yax2bxc 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前b24acb 2b ，k4 acb2者，即 y a x，其中 h2a4a2a4a3、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶

20、点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式4、二次函数 y ax2bx c 图象的画法五点绘图法： 利用配方法将二次函数 y ax2bxc 化为顶点式 ya(x h)2k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标 ;. 然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点0 ，c、以及 0，c 关于对称轴对称的点2h ，c 、与 x 轴的交点 x1 ，0 ， x2 ，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点 ：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与

21、y 轴的交点 .4、二次函数的图像：抛物线（ 1）对称性 ：抛物线是轴对称图形。 对对称称轴轴：直直线线 x =- b ,对称轴与抛物线唯一的交点为抛2a物线的顶点 P。特别地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线 x=0）（2）抛物线有一个顶点 P， 坐标为 P（-b4acb22a，）4a当 - b=0 时， P 在 y 轴上；当 =b24ac =0 时， P 在 x 轴上。2a5、a.b.c 与抛物线的关系（ a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项 ）y（ 1） a 决定抛物线的开口方向和大小：开口方向： a 为正 ( a0) ，开口朝上，有最小值；a 为负 ( a0)

22、 ，开口朝下，有最大值；开口大小： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（ 2） a、 b 共同决定 对称轴：直线x=- bb2a的位置， 分两种情况：ab 的符号决定对称轴 x2a当 a 与 b 同号时（即 ab 0），对称轴在 y 轴左侧；当 a 与 b 异号时（即 ab 0），对称轴在 y 轴右侧。概括的说就是“左同右异”y=5x2y=x2x（ 3） 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。抛物线与 y 轴交于（ 0，c），分三种情况： 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的

23、纵坐标为 0； 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负总之，只要a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的6、 抛物线与 x 轴交点个数= b2xx4ac 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点。 A（1,0）和 B（ 2,0）= b24ac =0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点。顶点 P(b ,0)2a= b2 4ac 0 时，抛物线与 x 轴没有交点。配图：开口向上 (开口向下，情况类似 )y=0y 0y 0ABxPxx;.7、类比一元二次方程的根的情况：特别地，二次函数（以下称函数）yax2bxc2当 y=0 时，二次函数为关于 x 的一元二次方程（以下称方程） ，即 ax bx c 0 此时，函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。28、二次函数 y a xb4ac b2的图像和性质2a4aa 0a 0y图象xO开口对 称 轴顶点坐标最值当 x时，当 x时，y 有最值， yy 有最值， y在对称轴左y 随 x 的增大而y随 x 的增大而增侧减在对称轴右y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而性侧9. 应用：（ 1）最大面积；（2）最大利润；（ 3）其它10、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式ya xh2h ，k ；k ，确定其顶点坐标 保