两因素方差分析

1、整理课件1 1 资料总离差平方和与自由度的分解；资料总离差平方和与自由度的分解； 2 列出方差分析表，计算各项均方和列出方差分析表，计算各项均方和F值，值，进行进行F检验，以判断各变异因素的影响大小；检验，以判断各变异因素的影响大小； 3 若若F检验显著，则进行多重比较。检验显著，则进行多重比较。 整理课件2 【例【例1】对某地区】对某地区5类海产食品中无机砷含量进行检测，类海产食品中无机砷含量进行检测，测定结果见表测定结果见表1，其中藻类以干重计，其他，其中藻类以干重计，其他4类以鲜重计。类以鲜重计。试分析不同类型海产品的砷含量差异是否显著。试分析不同类型海产品的砷含量差异是否显著。 类型

2、检测值Xij mg/kg Xi. .ix 鱼类A 0.31 0.25 0.52 0.36 0.38 0.51 0.42 2.75 0.393 贝类B 0.63 0.27 0.78 0.52 0.62 0.64 0.70 4.46 0.637 甲壳类C 0.69 0.53 0.76 0.58 0.52 0.60 0.61 4.29 0.613 藻类D 1.50 1.23 130 1.45 1.32 1.44 1.43 9.67 1.381 软体类E 0.72 0.63 0.59 0.57 0.78 0.52 0.64 4.45 0.636 x =25.62 0.57整理课件3 这是一个单因素试验

3、，这是一个单因素试验，k=5，n=7。现对此试。现对此试验结果进行方差分析：验结果进行方差分析： 1、计算各项平方和与自由度、计算各项平方和与自由度 7538.18)57/(62.25/22.knxC9847. 37538.187385.227538.18)45. 446. 475. 2(7112368. 47538.189906.22)64. 052. 025. 031. 0(2222.22222CxnSSCCxSSitijT2521.09847.32368.4tTeSSSSSS整理课件4 2、列出方差分析表，进行、列出方差分析表，进行F检验检验 表表2 不同类型海产品无机砷含量方差分析表不

4、同类型海产品无机砷含量方差分析表30434,4151,341751tTetTdfdfdfkdfkndf变 异 来 源 偏 差 平 方 和 SS 自 由 度 df 方 差 M S F值 显 著 性 类 型 间 3.987 4 0.9962 1 18.595 * 类 型 内 0.2521 30 0.0084 总 变 异 4.2368 34 整理课件5整理课件6 因为因为MSe=0.0084，n=7，所以，所以 为：为： 根据根据dfe=30，秩次距，秩次距k=2，3，4，5由附表由附表6查出查出=0.05和和=0.01的各临界的各临界SSR值，乘以值，乘以 ，即得各最小显著极差，所得结果列于表即得

5、各最小显著极差，所得结果列于表2。 xS0346. 07/0084. 0/nMSSexxS整理课件7 表表3 SSR值及值及LSR值值dfe 秩次距K SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01 2 2.89 3.89 0.100 0.135 3 3.04 4.06 0.105 0.140 4 3.12 4.16 0.108 0.144 30 5 3.20 4.22 0.111 0.146 整理课件8表表4 不同类型海产品无机砷含量差异重比较结果不同类型海产品无机砷含量差异重比较结果 (SSR法法)类型类型平均数平均数/ / （mg/kgmg/kg）差异显著性差异显著性=0

6、.05=0.05=0.010.01藻类（藻类（D D）1.3411.341a aA A贝类（贝类（B B）0.6370.637b bB B软体类（软体类（E E）0.6360.636b bB B甲壳类（甲壳类（C C）0.6130.613b bB B鱼类（鱼类（A A）0.3930.393c cC C整理课件9第三节第三节 两因素试验的两因素试验的方差分析方差分析整理课件103.1 交叉分组资料的方差分析交叉分组资料的方差分析 设试验考察设试验考察A、B两个因素，两个因素，A因素分因素分a个水平，个水平，B因素分因素分b个水平个水平 。 所谓交叉分组是指所谓交叉分组是指A因素每因素每个水平与个

7、水平与B因素的每个水平都要搭配因素的每个水平都要搭配 ，两者交叉，两者交叉搭配形成搭配形成ab个水平组合即处理，试验因素个水平组合即处理，试验因素A 、B在试验中处于平等地位在试验中处于平等地位 。如果将试验单元分成。如果将试验单元分成 ab 个组，每组随机接受一种处理个组，每组随机接受一种处理 ，因而试验数，因而试验数据也按两因素两方向分组，这种试验数据资料称据也按两因素两方向分组，这种试验数据资料称为两向分组资料，也叫交叉分组资料。为两向分组资料，也叫交叉分组资料。 分无重复观测值和重复观测值两种类型。分无重复观测值和重复观测值两种类型。整理课件11对于对于A、B两个试验因素的全部两个试验

8、因素的全部ab个水平组合，个水平组合，每个水平组合只有一个观测值（无重复），每个水平组合只有一个观测值（无重复）， 全试验共有全试验共有ab个观测值，其数据模式如表个观测值，其数据模式如表5所所示。示。整理课件12 表表5 两因素无重复观测值的试验数据模式两因素无重复观测值的试验数据模式整理课件13 aibjijaiijjaiijjbjijibjijixxxaxxxxbxxx11.1.1.1.1.,1,1,abxxaibjij/.11 整理课件14 两因素无重复观测值试验资料的数学模型为：两因素无重复观测值试验资料的数学模型为： 式中，式中， 为总平均数；为总平均数； ), 2 , 1;, 2

9、 , 1(bjaixijjiij整理课件15 A因素的每个水平有因素的每个水平有b次重复，次重复，B因素的每个水平因素的每个水平有有a次重复，每个观测值同时受到次重复，每个观测值同时受到A、B 两因素及两因素及随机误差的作用。因此全部随机误差的作用。因此全部 ab 个观测值的总变异个观测值的总变异可以分解为可以分解为 A 因素水平间变异、因素水平间变异、B因素水平间变异因素水平间变异及试验误差三部分；自由度也相应分解。及试验误差三部分；自由度也相应分解。 eBATeBATdfdfdfdfSSSSSSSS整理课件16 矫正数矫正数 总平方和总平方和 A因素离差平方和因素离差平方和 B因素离差平方

10、和因素离差平方和abxC/2.CxxxSSaibjijaibjijT11221.1)(CxbxxbSSaiiaiiA12.2.1.1)(CxaxxaSSbjjbjjB12.2.1.1)(整理课件17eeeBBBAAAdfSSMSdfSSMSdfSSMS/,/,/整理课件18 化验化验员员B B1 1B B2 2B B3 3B B4 4B B5 5B B6 6B B7 7B B8 8B B9 9B B1010 x xi i. .x xi i. .A A1 111.7111.7110.8110.8112.3912.3912.5612.5610.6410.6413.2613.2613.3413.34

11、12.6712.6711.2711.2712.6812.68121.33121.3312.13 12.13 A A2 211.7811.7810.710.712.512.512.3512.3510.3210.3212.9312.9313.8113.8112.4812.4811.611.612.6512.65121.12121.1212.11 12.11 A A3 311.6111.6110.7510.7512.412.412.4112.4110.7210.7213.113.113.5813.5812.8812.8811.4611.4612.9412.94121.85121.8512.19 12

12、.19 x.x.j j35.1035.1032.2632.2637.2937.2937.3237.3231.6831.6839.2939.2940.7340.7338.0338.0334.3334.3338.2738.27364.3364.3x.x.j j11.7011.7010.7510.7512.4312.4312.4412.4410.5610.5613.1013.1013.5813.5812.6812.6811.4411.4412.7612.76整理课件19A因素（化验员）有因素（化验员）有3个水平，即个水平，即a=3；B因素因素（天数）（天数） 有有10个水平个水平 ，即，即 b =1

13、0 ， 共有共有ab=310=30个观测值。个观测值。 8163.4423)103/(30.364/.22abxC整理课件207591.26C)27.3826.3210.35(3110283. 0C)85.12112.12133.121(10112509.278163.4423)94.1278.1171.11(2222.2222.2222CxaSSCxbSSCxSSjBiAijT整理课件2118922991101213129110314635. 07591.260283. 02509.27BATeBATBATedfdfdfdfbdfadfabdfSSSSSSSS整理课件22 2 列出方差分析表

14、，进行列出方差分析表，进行F检验检验 变异来源变异来源SSSSdfdfMSMSF F值值显著性显著性化验员间化验员间0.02830.02832 20.01420.01420.5500.550日期间日期间26.759126.75919 92.97322.9732115.240115.240* * *误差误差0.46350.463518180.02580.0258合计合计27.250927.25092929整理课件233 多重比较多重比较 在两因素无重复观测值试验中，在两因素无重复观测值试验中，A因素每一因素每一水平的重复数恰为水平的重复数恰为B因素的水平数因素的水平数b，故，故A因素因素的标准误

15、为的标准误为 ；同理，；同理，B 因因 素素 的的 标准误标准误bMSSexi/.aMSSexj/.093. 03/0258. 0/.aMSSexj整理课件24 dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.011822.974.070.28 0.38 33.614.70.34 0.44 44.00 5.090.37 0.47 54.285.380.40 0.50 64.495.60.42 0.52 74.675.790.43 0.54 84.825.940.45 0.55 94.966.080.46 0.57 105.076.20.47 0.58 整理课件25测定测定日期日期x

16、x.j.jx x.j-.j-10.5610.56x.x.j j- -10.710.75 511.44 11.44 11.70 11.70 12.43 12.43 12.44 12.44 12.68 12.68 12.76 12.76 13.10 13.10 B7B713.58 13.58 3.023.02* * * 2.83 2.83 2.14 2.14 1.88 1.88 1.15 1.15 1.14 1.14 0.90 0.90 0.82 0.82 0.48 0.48 B6B613.10 13.10 2.54 2.54 2.35 2.35 1.66 1.66 1.40 1.40 0.67

17、0.67 0.66 0.66 0.42 0.42 0.34 0.34 B10B1012.76 12.76 2.20 2.20 2.01 2.01 1.32 1.32 1.06 1.06 0.33 0.33 0.32 0.32 0.08 0.08 B8B812.68 12.68 2.12 2.12 1.93 1.93 1.24 1.24 0.98 0.98 0.25 0.25 0.24 0.24 B4B412.44 12.44 1.88 1.88 1.69 1.69 1.00 1.00 0.74 0.74 0.01 0.01 B3B312.43 12.43 1.87 1.87 1.68 1.68

18、 0.99 0.99 0.73 0.73 B1B111.70 11.70 1.14 1.14 0.95 0.95 0.26 0.26 B9B911.44 11.44 0.88 0.88 0.69 0.69 B2B210.75 10.75 0.19 0.19 B5B510.56 10.56 整理课件26处理处理 均值均值 5%5%显著水平显著水平 1%1%极显著水平极显著水平 B7 B7 13.58 13.58 a a A A B6 B6 13.10 13.10 b b AB AB B10 B10 12.76 12.76 bc bc BC BC B8 B8 12.68 12.68 bc bc B

19、C BC B4 B4 12.44 12.44 c c C C B3 B3 12.43 12.43 c c C C B1 B1 11.70 11.70 d d D D B9 B9 11.44 11.44 d d D D B2 B2 10.75 10.75 e e E E B5 B5 10.56 10.56 e e E E 整理课件27整理课件28 在进行两个因素或多个因素的试验时，除在进行两个因素或多个因素的试验时，除了要研究每一个因素对试验指标的影响外，往了要研究每一个因素对试验指标的影响外，往往更希望知道因素之间的交互作用对试验指标往更希望知道因素之间的交互作用对试验指标的影响情况。的影响情

20、况。 通过研究环境温度、湿度、光照、气体成分通过研究环境温度、湿度、光照、气体成分等环境条件对导致食品腐烂变质的酶和微生物等环境条件对导致食品腐烂变质的酶和微生物的活动的影响有无交互作用，对有效控制酶和的活动的影响有无交互作用，对有效控制酶和微生物活动，保持食品质量有着重要意义。微生物活动，保持食品质量有着重要意义。整理课件29 两个因素无重复观测值试验只适用于两个因素间无交互作用两个因素无重复观测值试验只适用于两个因素间无交互作用的情况；的情况； 若两因素间有交互作用，若两因素间有交互作用， 则每个水平组合中只设则每个水平组合中只设 一个试验一个试验单位单位(观察单位观察单位)的试验设计是不

21、正确的或不完善的。这是因为：的试验设计是不正确的或不完善的。这是因为：整理课件30P1=0P2=4P2-P1N1=040045050N1=6430560130N2-N130110整理课件31 对两因素和多因素等重复试验结果进行对两因素和多因素等重复试验结果进行分析，分析， 可以研究因素的可以研究因素的简单效应、主效应简单效应、主效应和因素间的交互作用（互作效应）。和因素间的交互作用（互作效应）。整理课件32三种效应 1 1简单效应（简单效应（simple effectsimple effect） 是指在某一因素同一是指在某一因素同一个水平上，比较另一因素不同水平对试验指标的影响。个水平上，比较

22、另一因素不同水平对试验指标的影响。整理课件33三种效应 2 2主效应（主效应（main effectmain effect） 是指某一因素各水平间的是指某一因素各水平间的平均平均差别差别。它与简单效应的区别是，主效应指的是某一因素各水平。它与简单效应的区别是，主效应指的是某一因素各水平间的平均差别是综合了另一因素各水平与该因素每一水平所有间的平均差别是综合了另一因素各水平与该因素每一水平所有组合的情况。组合的情况。整理课件34三种效应 3. 3. 互作效应（互作效应（interaction effectinteraction effect） 如果某一因素的如果某一因素的各简单效应随另一因素的水

23、平变化而变化，而且变化的幅度各简单效应随另一因素的水平变化而变化，而且变化的幅度超出随机波动的程度，则称两个因素间存在互作效应。超出随机波动的程度，则称两个因素间存在互作效应。整理课件35 设设A、B两因素，两因素，A因素有因素有a个水平，个水平，B因素因素有有b个水平，共有个水平，共有ab个水平组合，每个水平组个水平组合，每个水平组合有合有n次重复试验，则全试验共有次重复试验，则全试验共有abn个观测值个观测值。试验结果的数据模式如表试验结果的数据模式如表10所示。所示。 两因素等重复试验的方差分析两因素等重复试验的方差分析整理课件36表10 两因素等重复观测值试验数据模式 整理课件37A

24、A因素因素B B因素因素Ai i合计合计xi i.B B1 1B B2 2B Bb bA A1 1x x1jl1jlx x111111x x121121x x1b11b1x x112112x x122122x x1b21b2x x1 1.x x113113x x123123x x1b31b3x x11n11nx x12n12nx x1bn1bnx x1j1j. .x x1111. .x x1212. .x x1b1b. .x x1j1j. .x x1111. .x x1212. .x x1b1b. .A2整理课件38表表10中中 aibjnlijlainlijljbjnlijlinlijlij

25、xxxxxxxx11111111.aibjnlijlainlijljbjnlijlinlijlijabnxxanxxbnxxnxx11111111././././整理课件39),2, , 1;,2, 1;,2, 1()(nlbjaixijlijjiijljiijjiijij.)()()()(ijji, 0)()()(, 0, 0111111nibjaibjijijijaibjji整理课件40 3.2.1 离差平方和与自由度分解离差平方和与自由度分解ijleBABATeBABATdfdfdfdfdfSSSSSSSSSS 整理课件41 若用若用SSAB，dfAB表示表示A、B水平组合间的平水平组合

26、间的平方和与自由度，即方和与自由度，即处理间平方和与自由度处理间平方和与自由度，则，则处理引起的变异可进一步剖分为处理引起的变异可进一步剖分为A因素、因素、B因素因素及及A、B交互作用交互作用三部分，于是三部分，于是SSAB、dfAB可分可分解为：解为： BABAABBABAABdfdfdfdfSSSSSSSS整理课件42abnxC/2.12abndfCxSSTijlT，112.abdfCxnSSABijAB，112.adfCxbnSSAiA，112.bdfCxanSSBjB，整理课件43 )1)(1(,badfSSSSSSSSBABAABBA) 1(,nabdfSSSSSSeABTeeeeB

27、ABABABBBAAAdfSSMSdfSSMSdfSSMSdfSSMS/,/,/,/整理课件44整理课件45FA显著，应对显著，应对A因素各水平的平均数作多重比较，其平均数标准因素各水平的平均数作多重比较，其平均数标准误为：误为：bnMSSex/FB显著，应对显著，应对B因素各水平的平均数作多重比较，其平均数标准因素各水平的平均数作多重比较，其平均数标准误为：误为： anMSSex/FAB显著，应对各组合的平均数作多重比较，其平均数标准误为：显著，应对各组合的平均数作多重比较，其平均数标准误为： nMSSex/bnMSSex/2anMSSex/2nMSSex/2整理课件46配方（配方（A A）

28、食品添加剂（食品添加剂（B B）B1B1B2B2B3B3A1A18 87 76 68 87 75 58 86 66 6A2A29 97 78 89 99 97 78 86 66 6A3A37 78 810107 77 79 96 68 89 9整理课件47 A因素因素（配方）（配方）有有3个水平，即个水平，即a=3；B因素（因素（食品食品添加剂）有添加剂）有3 3个水平，即个水平，即b=3；共有；共有ab=33=9个水平个水平组合；每个水平 组 合 重 复 数组合；每个水平 组 合 重 复 数 n=3； 全 试 验 共 有； 全 试 验 共 有=333=27个观测值。个观测值。 （ 33.14

29、96)333/(201/22.abnxC67.40C)9988(22222CxSSijlT00.30C)282024(3112222.CxnSSijAB整理课件4856. 1C)666570(331123. 6C)716961(33112222.2222.CxanSSCxbnSSjBiA21.2256.123.600.30BAABBASSSSSSSS整理课件4967.1000.3067.40ABTeSSSSSS18) 13(33) 1(4) 13)(13() 1)(1(21312131nabdfbadfbdfadfeBABA813312613331abdfabndfABT整理课件50变异来源变

30、异来源 平方和平方和 自由度自由度 均均 方方 F F 值值 显著性显著性 A A因素间因素间 6.23 6.23 2 23.12 3.12 5.295.29* *B B因素间因素间 1.56 1.56 2 20.78 0.78 1.321.32AxB AxB 22.21 22.21 4 45.55 5.55 9.419.41* * *误误 差差 10.67 10.67 18180.59 0.59 总变异总变异 40.67 40.67 2626整理课件51 配方配方 因为因为A因素各水平的重复数为因素各水平的重复数为bn，故，故A因素各水平因素各水平的标准误为：的标准误为： 对本例而言，对本例

31、而言， bnMSSexi/.256. 0) 33/(59. 0.ixS整理课件52 dfedfe秩次距秩次距SSRSSR0.050.05SSRSSR0.010.01LSRLSR0.050.05LSRLSR0.010.0118182 22.972.974.074.070.76 0.76 1.04 1.04 3 33.123.124.274.270.80 0.80 1.09 1.09 处理处理 均值均值 5%5%显著水平显著水平 1%1%极显著水平极显著水平 A A3 7.9 7.9 a a A A A A2 7.7 7.7 a a AB AB A A1 6.8 6.8 b b B B 因素因素A

32、主效应分析，结果表明配方主效应分析，结果表明配方A3与与A1之间差异极显著，之间差异极显著，A2与与A1差异显著，差异显著，A2与与A3差异不显著。差异不显著。整理课件53 因因B因素各水平的重复数为因素各水平的重复数为an，故，故B因素各水平的标因素各水平的标准误为：准误为：anMSSexj/. 以上所进行的多重比较，实际上是以上所进行的多重比较，实际上是A、B两因素两因素主效应的检验。若主效应的检验。若A、B因素交互作用不显著，则可因素交互作用不显著，则可从主效应检验中分别选出从主效应检验中分别选出A、B因素的最优水平，得因素的最优水平，得到最优水平组合；若到最优水平组合；若A、B因素交互

33、作用显著，则应因素交互作用显著，则应进行水平组合平均数间的多重比较，以进行水平组合平均数间的多重比较，以 选出最优水选出最优水平组合，同时可进行简单效应的检验。平组合，同时可进行简单效应的检验。 整理课件54 因为水平组合数通常较大因为水平组合数通常较大(本例本例ab=44=16)，采用，采用最小显著极差法进行各水平组合平均数的比较，计算较最小显著极差法进行各水平组合平均数的比较，计算较麻烦。为了简便起见，常采用麻烦。为了简便起见，常采用LSD法。法。整理课件55 因为水平组合的重复数为因为水平组合的重复数为n，故水平组合的标准误，故水平组合的标准误为：为： 本例本例 nMSSexxji/2.

34、627. 0359. 02/2.nMSSexxji101. 218,05. 0t878. 218,01. 0t317. 1627. 0101. 216,05. 005. 0 xStLSD806. 1627. 0878. 216,01. 001. 0 xStLSD整理课件56水平组合水平组合 均值均值 5%5%显著水平显著水平 1%1%极显著水平极显著水平 A3B39.39.3a a A A A2B18.78.7ab ab AB AB A1B18.08.0abc abc AB AB A3B27.77.7 bc bc ABC ABC A2B27.37.3 bc bc BC BC A2B37.07.

35、0 cd cd BC BC A1B26.76.7 cd cd BC BC A3B16.76.7 cd cd BC BC A1B35.75.7 d d C C 分析结果表明，分析结果表明，A3B3，A2B1，A1B1为优组合，按此组合为优组合，按此组合选用配方和添加剂可望得到较好的蛋糕质量。选用配方和添加剂可望得到较好的蛋糕质量。整理课件57 以上的比较结果可以看出，以上的比较结果可以看出，当当A、B因因素的交互作用显著时，一般不必进行两个素的交互作用显著时，一般不必进行两个因素主效应的显著性检验（因为这时主效因素主效应的显著性检验（因为这时主效应的显著性在实用意义上并不重要），而应的显著性在实用意义上并不重要），而直接进行各水平组合平均数的多重比较，直接进行各水平组合平均数的多重比较，选出最优水平组合。选出最优水平组合。 整理课件58有人设计3个罗非鱼品种A1、A2、A3和A4不同蛋白质水平饵料B1、B2、B3，每个处理配置两个鱼池进行试验。试验期内每池的产鱼量（kg）如下表。试作方差分析。整理课件59 试验期内的产鱼量（kg）品种蛋白质水平B1B2B3B4A1134.013