自主招生辅导电磁感应

1、专题九强化训练电磁感应先解决磁场的两个问题【例1】(北大2006 )如图所示，水平面上放有质量为m,带电+q的滑块，滑块和水平面间的动摩擦系数为仏水平面所在位置有场强大小为E、方向水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场。若a屹兰，物r wig块由静止释放后经过时间t离开水平面，求这期间滑块经过的路程S.解析：开始滑块向右加速，获得向右速度后另外受到竖直向上的洛仑兹力作用，导致滑块所受到的滑动摩擦力变小，做加速运动的加速度相应变大。对滑块考察一微小时间 t利用动量定理qE t (mg Bqv) t m v对上式累计求和，可得qEt mgt Bqs mvm而物体离开水平面时满足

2、Bqvm mg联立解得：m2gmgtBq q2BEts 2 2B2q2【例2】(同济2008)回旋加速器中匀强磁场的磁感应强度B=1T，高频加速电压的频率f=X 10Hz,带电粒子在回旋加速器中运动形成的粒子束的平均电流l=1mA，最后粒子束从半径R=1m的轨道飞出，如果粒子束进入冷却圈套”的水中并停止运动，问可使 圈套”中的水温升高多少度设 圈套”中水的消耗量 m=1kg/s，水的比热容c=4200J/ ( kg K)解析：粒子在盒内运动有BqvmE,得: qm B设单位时间内飞出回旋加速器的粒子数为I NqN,则粒子束功率P N由热平衡条件得PIBR2f-mv2 IBR2f2cm t升温t

3、5.6 kcm电磁感应部分的内容主要包括楞次定律、法拉第电磁感应定律、交流电和变压器等方面的规律，这里主要分析一下电磁感应中感生电动势和动生电动势两种情况的规律。三.感生电动势与动生电动势电磁感应现象包括两类情况：感生电动势和动生电动势。1感生电动势感生电动势是闭合回路中因磁通量变化产生了感生电场，感生电场产生“非静电力”推动自由电荷定向移动，从而形成了电动势。其值为2动生电动势导体棒切割磁感线产生动生电动势，其值为：E= Blv式中B、v和导体棒所在的方向I要两两垂直，否则要进行分解或投影。动生电动势来源于金属内运动着的自由电子所受的洛仑兹力做功，可是洛仑兹力不做 功，这个矛盾如何解释如图所

4、示，金属杆ab在匀强磁场中以恒定的速度向右做匀速运动，在导体棒ad上就出现了动生电动势。由右手定则可知，在导体棒上电流的方向是由d流向a的。设导体棒上有一个自由正电荷q （实际上则是自由电子导电）,v丄是q沿导线移动方向的速度，V/与v丄的矢量和是v。q所受的洛仑兹力为f,可将f分解为沿着导体棒的分力f/和垂直于棒的分力f丄，其中f/属于与电动势相对应的非静电力，而f丄则属于安培力。当这个感应电动势出现并做正功时，安培力也随之出现并做负功，该装置将机械能转化为电能，而且能量守恒。3.如果一个问题中感生电动势和动生电动势同时存在，则回路中 总的感应电动势是二者合成的结果。计算时要注意电动势的方向

5、极经电源内部指向正极，电动势是标量）。【例3】（清华2008）如图所示，半径为 R的圆形区域内有随时间变化的匀强磁场，磁 感应强度B随时间t均匀增加的变化率为 k （ k为常数），t=0时的磁感应强度为 B。，B的方 向与圆形区域垂直如图，在图中垂直纸面向内。一长为2R的金属直杆ae也处在圆形区域所在平面，并以速度v扫过磁场区域。设在t时刻杆位于图示位置，此时杆的ab段正好在磁场内，段位于磁场之外，且 ab = be= R,求此时杆中的感应电动势。解析：感生电动势由 Eba、Eeb两部分组成，则 “n /上1A °d（电动势的方向定义为从负be所以 一一，'. :!*： ；动

6、生电动势为 込 f乩汐小一严刊；：.所以总电动势为b、e两点，同样在Ob、注：本题中在计算 be两端的感应电动势时，也要连圆心Oe上不会有感应电动势。同时在求总的感应电动势时，要注意正、负。例4】（上海交大2009 ）如图所示，阻值为 R,质量为m，边长为I的正方形金属框位于光滑水平面上。金属框的 ab边与磁场边缘平行，并以 一定的初速度进入矩形磁场区域， 运动方向与磁场边缘垂直。 磁场方向垂直水平面向下，在金属框运动方向上的长度为(L>l )。已知金属框的ab边进入磁场后，框在进、出磁场阶段中的运动速度与ab边在磁场中的位置坐标之间关系为 v = V0 cx( x<l),式中c为

7、未知的正值常量。若金属框完全通过磁 场后恰好静止，求：(1) 磁场的磁感应强度；(2) 从线框进入磁场区域到线框ab边刚出磁场区域的运动过程中安培力所做的功 解析：(1)设x= l时线框速度为 w,在线框进入磁场中，由动量定理，得即 BIQ= mvo mvi,其中Q为通过线框的电量,而Q=X线框在磁场中匀速运动， 出磁场过程中，由动量定理，得-$帛7?丹=0-即三"一-"： vj'cL-由閃，得迟=”；： _'：按照对称性，线框进出磁场过程中速度的减小是相同的，即ab边刚出磁场时的速度为Vo/2。故所求安培力的功为【例5】(北约2011)不计电阻的光滑平行轨

8、道EFG PMN构成相互垂直的L形，磁感应强度为B的匀强磁场方向与水平的EFMP平面夹9角(45 )斜向上，金属棒 ab、cd的质量均为m、长均为I、电阻均为R, ab、cd由细导线通过角顶处的光滑定滑轮连接，细 线质量不计，ab、cd与轨道正交，已知重力加速度为go (1)金属棒的最大速度；(2)当金属棒速度为v时，求机械能损失的功率 P1和电阻的发热功率P2oAr解析；1）金属棒达最大逋度时，回路中的感应电动势5=Bcos 白上陽 h-Ssin-Z= BL 切比（cas-sm,回路中电流：4E；g当两金属棒做匀速运动时，速度达到最大值，有Mg=E IL （co g 0-听 口 0解得,2删

9、辭5(cos-sinj2、 /C2）当金属棒谨度为¥时回路中的感应电动势£ BcosZv- *血5辽¥三 Zvcos-sinG), 回路中电婕；m乜乩此时空培力；F=BII= (cos-sinfl)s护£?/22Z机械能损失的功率 F=3*v cas9-FvsinA=r (cos-sin0f2R电阻的发热功率響(cosi?-sino【例6】如图所示，一磁感应强度大小为B的均匀磁场， 分布在半径为R的无限长的圆柱体内，设B=Bot （Bo>O）。现 有一半径也为R,电阻均匀分布且总电阻为r的金属圆环， 放在垂直于磁场的平面内，金属圆环中心在均匀磁场的

10、对称 轴上。长为R、电阻为r'的直导体的两个端点ab与金属圆 环良好连接，求此直导体中的感应电流。（设感应电流所产 生的磁场可以忽略）16.工解析：设金属圆坏各部分电流如圏所示百扇形Oab更积Si=-2,三角形皿面积6区尸週R则4A* ?卄1 認關6 6h 2卄上宀（2加+空 r巧&,664且；尸砂,【真题选练】1. （清华2011样题）如图所示，空间存在一有理想边界的条形匀 强磁场区域，磁场方向与竖直平面（纸面）垂直。一个质量为m、边长 为I的刚性正方形导线框，在此平面内沿竖直方向运动。t=0时刻导线 框的上半部分恰好进入磁场，速度为vo。经历一段时间后，当导线框上边离开磁场

11、距磁场边界距离为1/2时，速度刚好为零。此后，导线框下落，经过一段时间到达初始位置。则（）A. 在上升过程中安培力做的功比下落过程中的少B. 在上升过程中重力冲量的大小比下落过程中的大C. 在上升过程中安培力冲量的大小与下落过程中的相等D. 在上升过程中导线框电阻消耗的电能比下落过程中的大2. （同济大学09 ）如图所示，金属架平面与水平面平行，质 量为m、长度为L的硬金属线ab的两端用绝缘线吊着并与框接 触，处在匀强磁场中。当闭合开关s时，ab通电随即摆起的高度为h,则在通电的瞬间，通过导体截面的电荷量Q=.3. （清华2011）如图，空间某区域内存在着匀强磁场，磁场的上下边界水平，方向与竖

12、直平面（纸面）垂直。两个由完全相同的导线制成的刚性线框x-xiwi-sb，其形状分别是周长为41的正方形和周长为 61的矩形。线框a和b在竖直面内从图示位置自由下落。若从开始下落到线框完全离开磁场的过程中安培力对两线框的冲量分别为la、lb,则 la： lb 为（）A .3 : 8 B . 1 : 2C. 1:1 D .3 : 24. （东南大学08）如图所示的空间，匀强电场的方向竖直向下，场强为E，匀强磁场的方向水平向外，磁感应强度为B。有两个带电小球 A和B都能在垂直于磁场方向的同一竖直 平面内做匀速圆周运动（两小球间的库仑力可忽略），运动轨迹如图。已知两个带电小球A和 B的质量关系为mA

13、 3mB ，轨道半径为Ra 3Rb 9 cm.（1）试说明小球 A和B带什么性质的电荷，它们所 带的电荷量之比qA : qB等于多少（2）指出小球A和B的绕行方向和速度大小之比（3）设带电小球 A和B在图示位置 P处相碰撞，且 碰撞后原先在小圆轨道上运动的带电小球 B恰好能沿大圆 轨道运动，求带电小球A碰撞后所做圆周运动的轨道半径（设碰撞时两个带电小球间电荷量不转移）5. （交大外地2009）如图所示，一磁感应强度为B的均匀磁场，分布在半径为R的长圆柱形区域内，设 B = Bot （ Bo> 0）。现有一半径也为 R,电阻均匀分布且总 电阻为r的金属圆环，放在垂直于磁场的平面内，金属圆环

14、中心在均匀磁 场的对称轴上。a和b为金属圆环上相距为 R的两点，则两点间的电势差 机一如=。（设感应电流所产生的磁场可以忽略）6. （东南2009）如图所示，阻值为 R的电阻串于光滑的等边三角形水平导轨 OPQ上, 导轨在O点断开。磁感应强度为 B方向竖直向下、宽度为 d的条形磁场区域与 PQ平行， 质量为m的导体棒连接在劲度系数为 k的弹簧的一端，弹簧的另一端固定。导体棒始终与PQ平行，且与导轨保持良好接触。弹簧无伸长时，导体棒 停于M处。现将导体棒拉至 N处后自由释放，若 M至顶点0,以及M、N到磁场边沿的距离均为 d，导轨和导体棒的 阻值忽略不计，求：0（1）计算导体棒释放后，第一次穿越

15、条形磁场区域过程 中，电阻R中通过的电荷量q。（2）整个过程中，电阻 R中最多能产生的焦耳热Q。: 1d4MXi11d rjl d 1 rf J7. （北约2013）如图所示，每边长为a的等边三角形区域内有匀强磁场，磁感应强度B的方向垂直图平面朝外。每边长为a的等边三角形导体框架ABC,在t=0时恰好与磁场区的边界重合，而后以周期T绕其中心沿顺时针方向匀速旋转，于是在框架ABC中有感应电流。规定电流按A-B-C-A方向流动时电流强度取为正，反向流动时取为负。设框架ABC的总电阻为 R,则从t=0至U t1=T/6时间内平间内平均电流强度I2=均电流强度 1=;从t=0至U t2=T/2时8.

16、(14分)(2013年卓越大学联盟)如图所示，两根电阻不计 的光滑金属导轨竖直放置，相距为 L,导轨上端接有阻值为 R的 电阻，水平条形区域I和II内有磁感应强度为B、方向垂直导轨平 面向里的匀强磁场，其宽度均为d, I和II之间相距为h且无磁场。 一长度为L、质量为m、电阻不计的导体棒，两端套在导轨上， 并与两导轨始终保持良好接触。现将导体棒由区域I上边界H处静止释放，在穿过两段磁场区域的过程中，流过电阻R上的电流 及其变化情况相同。重力加速度为 g,求:(1) 导体棒进入区域I的瞬间，通过电阻R的电流大小与方向;(2) 导体棒穿过区域I的过程中，电阻R上产生的热量Q；象并简述理由C(3)

17、下面四个图象定性地描述了导体棒速度大小与时间的关系，请选择正确的图9. （2012华约自主招生真题）如图所示，两个光滑的水平导轨间距为L,左侧连接有阻值为R的电阻，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过导轨平面，有一质量为 m的导体棒以初速度vo向右运动，设除左 边的电阻R夕卜，其它电阻不计。棒向右移动最远的距离为s,问当棒运动到 入s时0入L证明此时电阻 R上的热功率：2. 2 2 2B L 1-v0P=-.R10. （2009上海交通大学）如图所示为磁流体发电机结构示意图。 利用燃烧 室加热气体使之离解成为等离子体，等离子体以高速进入两侧有磁极的发电通 道，通道上下两侧面为电极。等离子体中的正负

18、电荷受磁场力的作用， 分别向上 下两侧偏转，则上下两个电极间就会产生电动势， 这就是磁流体发电机工作的基 本原理。假设等离子体沿通道方向进入时的速率为v,其电导率为 叭发电通道中的磁场为匀强磁场，磁感应强度为 B，发电通道上下电极面积均为 A，上下电 极的距离为L。求：磁流体发电机的最大输出功率。（已知等离子体中的电流密度j与等离子体中电场强度的关系为j=c E,其中电ur场强度E包括电动势所对应的非静电场Ei和由于上下电极的电荷积累所产生的【参考答案】2金属棒通电后由于安培力的冲量作用获得动量，根据动量定理BIl t BL I t BLQ mv00金属棒脱离金属架平面后摆起，根据机械能守恒1

19、 2mvo2mvomgh故：Qm 2ghBL BLA(1)因为两带电小球都在复合场中做匀速圆周运动，故必有3.4.知，两小球都带负电荷，则mAg qAE , mBg qpE所以：Ha3qBmB(2)两小球都带负电荷，轨道在垂直磁场的同一平面内，用左手定则可以判断两带电 小球的绕行方向都相同。由：2mVRqvB得: v鯉mVa由题意,qE=mg，由电场方向可(3) 恒，则Vb由于两带电小球在 P处相碰，切向合外力为零，故两电小球在P处的切向动量守mAVAmBVBmAvAEbVb由于两带电小球在P处相碰后B球沿大圆轨道运动，而mAmBHaHb1Vb3vB17VaVb3Ra1VaRaVa解得:73V

20、b73vb9所以Ra RA95. 06. ( 1)导体棒从N处静正释放后在弹力作用下做变加速运动，过磁场区域时会产生感应电动势且与电阻 R构成回路，相应有电流流过电阻R,棒第一次穿越条形磁场区域过程中，电阻R中通过的电荷量为7 cm式中.:-心心: 2d < 2dn6(F =故厂务打(2)最终棒会在无磁场的区域做简谐运动，且在磁场区域的右边界处速度为0,故电阻R中最多能产生的焦耳热 Q为Q =如卯”仙2二如7.解析边长为i的等边三角形导体框架AEC面积A空晶从r=0到n=T/fi时间内, 4等边三角形导体框架转过叫也量敝討 产生的平均感应电动势E尸毎鼻平均电流强度大小为1=禺从=-迴.吋

21、，A t=0到t2=T.'2时间内，等 2T2TR边三角形导体框架转过ISO%磁通理啟少的B4总产生的平均感应电12动势時虫二邑碍“平均电病强度片氐氐虽由楞次定律可判断出产生77 2 6TSTR的感应电流方向为顺时針方问。考虑到题述规定电流按A-B-C-A方向流动时电流强度取为正，从1=0到n=7/6时间内平均电流强度h= -邑 咏。从1=0到 沪T/2时 2T7?3解析；（I戏导体棒进入区域I瞬间的速度大小为v,通过电阻R的电流大小为L感 应电动勢为耳由机械能守恒定律得mgH= a2CD2由法拉第电磁感应定律得:L=BLv 由闭合电路的欣姆定律得：心魯由®得；7©

22、由楞次定律可以判断岀通过电阳R的电流方比为由右向左。设导体棒穿出区域I瞬间时速度大小为.由能量守叵定律得«?v3 +楓尹 + Q ®2 2由题意知，导体棒穿过两段磁场区域过程中，流过电阻R上的电流及其变化情抚相同，所乩 导体棒在逬入区域和口的询可速度栢同。导体棒在两磁场之间运动吋只 受重力作用，由机械能守恒定律得1 wjv/2 十 msh -用/ ®2 2由式得：Q=mg（h+d） （3选项C正确。导体棒由静止开始到进入区域T二前，只爻重力仔阳，导体棒做自由落体运动，加 速度为劭因此在O-ti时间段内v-t职舉为直线，导体棒在两磁场之间运励时也只受重 力作用，同理衽t厂口吋间段内v-t图象也为直线。依据题意，两磁场区域宽度d牯同，导誌棒穿过两段磁场区域过程中，流过电阻R 上的电疽及其变化情况相同，可却导体棒在进入取氓i和口瞬间的速度相同*且在两磁 场区域內速度变化相同，因此，吊体棒在垃和冋段內的X圈象相同！向且 导体棒在磁场区域内的运动为加速反逐靳减詢減il® 即竺逐漸减小），所以C是正诵的0评分标准I©