5离散型随机变量及其函数的分布ppt课件

1、 一维随机变量一维随机变量定义定义设随机试验的样本空间设随机试验的样本空间 的每一个样本点的每一个样本点 均有唯一的实数均有唯一的实数 X与之对应，称与之对应，称 为为 上的一维随机变量。上的一维随机变量。 X如：掷骰子一颗，观察其点数。如：掷骰子一颗，观察其点数。样本点样本点i表示表示“点数为点数为 ”iiXi令令 与之对应，那么与之对应，那么1,2,3,4,5,6iXi是一维随机变量。是一维随机变量。又如：观察一电子元件的寿命。又如：观察一电子元件的寿命。t样本点样本点 表示表示“寿命为寿命为 小时小时 ”ttXt令令 与之对应，那么与之对应，那么,0tXt tR t也是一维随机变量。也是

2、一维随机变量。 一维随机变量一维随机变量引入随机变量之后，事件可用引入随机变量之后，事件可用“随机变量属于某个数集去表示。随机变量属于某个数集去表示。如：掷骰子一颗，观察其点数。如：掷骰子一颗，观察其点数。142,3X2,3,4X表示表示“点数为点数为 2，3，4。”又如：观察一电子元件的寿命。又如：观察一电子元件的寿命。1500X 表示表示“元件寿命不大于元件寿命不大于 1500 小时小时 ”1001500X表示表示“元件寿命在元件寿命在 100 小时以上但不超出小时以上但不超出 1500 小时小时 ”随机变量的分布反映了随机事件出现的可能性的大小。随机变量的分布反映了随机事件出现的可能性的

3、大小。对任意的数集对任意的数集,SP XS反映了随机变量的取值规律。反映了随机变量的取值规律。称为称为 随机变量的分布。随机变量的分布。 一维随机变量的分布函数一维随机变量的分布函数欲了解随机事件出现的概率，即要了解随机变量的分布状况。欲了解随机事件出现的概率，即要了解随机变量的分布状况。一般来讲，要对任意的数集一般来讲，要对任意的数集 都求出都求出 是不实际的。是不实际的。,SP XS称为称为 随机变量的分布函数。随机变量的分布函数。考察特殊的数集考察特殊的数集,Ss sxxR P XSP Xx记作记作 F x随机变量的分布函数有以下重要性质：随机变量的分布函数有以下重要性质： 101,F

4、xx 12122,F xF xxx（单调非降）（单调非降） 3lim0,lim1,limxxxaF xF xF xF aF 记为记为F 记为记为是左连续的是左连续的 一维随机变量的分布函数一维随机变量的分布函数 4P aXbP XbP XaF bF aP aXb P XbF bF aP aXbP XbP XaP Xa F bF aP XaP aXbP XbP Xb P XbF bF aP XaP XaP Xa随机变量的分布函数有以下重要性质：随机变量的分布函数有以下重要性质：P XbP XbP Xa 一维离散型随机变量的分布一维离散型随机变量的分布 对于一维离散型随机变量，除分布函数之外，还可

5、以把对于一维离散型随机变量，除分布函数之外，还可以把随机变量的每一取值相应的概率罗列出来。随机变量的每一取值相应的概率罗列出来。如果随机变量的所有取值是有限或无限可数的，则称之如果随机变量的所有取值是有限或无限可数的，则称之为离散型随机变量。为离散型随机变量。1212.iiXaaaPppp称为随机变量称为随机变量 的分布密度或分布律或概率分布或概率函数。的分布密度或分布律或概率分布或概率函数。X一维离散型随机变量的分布密度有以下重要性质：一维离散型随机变量的分布密度有以下重要性质： 101,1,2,3,.ipi 121iip或：或：,1,2,.iiP Xapi以以 X 表示取出的小球的编号，试

6、写出表示取出的小球的编号，试写出 X 的分布律。的分布律。12.111.XnPnnn解：解：此分布称为离散型的均匀分布，对应的是古典概型。此分布称为离散型的均匀分布，对应的是古典概型。例例1 设口袋里装有设口袋里装有 个带有标号的小球，从中随机取出一球，个带有标号的小球，从中随机取出一球，n 一维离散型随机变量的分布一维离散型随机变量的分布（例例2 设口袋里装有设口袋里装有3 个红球，个红球，2个白球，从中随机取出个白球，从中随机取出 4 球，球，以以 X 表示取出的白球数，试写出表示取出的白球数，试写出 X 的分布密度。的分布密度。313245215C CP XC解：解：122355XP此分

7、布称为两点分布。此分布称为两点分布。在两点分布中，假设在两点分布中，假设 X 的取值为的取值为 0，1，则称作，则称作 0 1 分布。分布。 一维离散型随机变量的分布一维离散型随机变量的分布例例3 在一堆次品率为在一堆次品率为 的产品中有放回地每次抽取一件，的产品中有放回地每次抽取一件，002直到取到次品为止，求抽取的次数直到取到次品为止，求抽取的次数 X 的概率分布。的概率分布。此分布称为几何分布。（与几何概率无关）此分布称为几何分布。（与几何概率无关）112.0.020.98 0.02.0.980.02.iXiP解：解： 一维离散型随机变量的分布一维离散型随机变量的分布点点点表示运气特好！

8、点点点表示运气特好！例例4 某射手有某射手有 5 发子弹，他射击的命中率为发子弹，他射击的命中率为 0.8 ，现他向一，现他向一目标射击，命中即止，求耗用子弹数目标射击，命中即止，求耗用子弹数 的概率函数。的概率函数。234123450.8 0.2 0.8 0.20.8 0.20.8 0.20.8XP解：解：551 0.20.81 0.21 0.2 2340.8 1 0.2 0.20.20.2这里：这里：50.2不是几何分布不是几何分布唔？唔？ 一维离散型随机变量的分布一维离散型随机变量的分布例例5 设在一次试验中事件出现的概率为设在一次试验中事件出现的概率为01 ,ppX 表示在次贝努里试验

9、中出现的次数，表示在次贝努里试验中出现的次数，n 1n kkknnP XkP kC pp解：解：此分布称为二项分布。对应此分布称为二项分布。对应 次贝努里试验。次贝努里试验。n 一维离散型随机变量的分布一维离散型随机变量的分布求求 X 的分布律。的分布律。0,1,2,.,kn,XB n p记作记作一级品数一级品数 X 的分布密度。若取出的零件中有一级品，求恰有的分布密度。若取出的零件中有一级品，求恰有例例6 一大批零件的一级品率是一大批零件的一级品率是 。从中任取。从中任取 4 个，求取出的个，求取出的0010解：由于零件数目很多，故可将取解：由于零件数目很多，故可将取 4 个零件视作个零件视

10、作 4 次贝努里试验。次贝努里试验。即即4, 0.1XB一个一级品的概率。一个一级品的概率。故故 4440.1 0.9,0,1,2,3,4kkkP XkP kCk所求概率为所求概率为11P XX110P XP X13440.1 0.91 0.9C 0.848例例7 设随机变量设随机变量 的分布密度如下，求的分布密度如下，求24P123411118428p解：解：24244PPP2,31,2,3PP32,36471478PP例例8 设有设有15 个工人间歇地用电，在任一时刻每个工人都以同样个工人间歇地用电，在任一时刻每个工人都以同样的概率的概率 0.3 需要一个单位的电力，如果工人独立工作，问需

11、要一个单位的电力，如果工人独立工作，问在任一时刻需要供应十个或十个单位以上电力的概率是多在任一时刻需要供应十个或十个单位以上电力的概率是多少？若要做到任一时刻电力够用的概率不低于少？若要做到任一时刻电力够用的概率不低于0.9999，供，供解：设在任一时刻需要供应的电力为解：设在任一时刻需要供应的电力为 X ，那么，那么15, 0.3X30.70.0037kkkkP XC电系统最少供应多少个电力单位？电系统最少供应多少个电力单位？则任一时刻需要供应十个或十个单位以上电力的概率为则任一时刻需要供应十个或十个单位以上电力的概率为设若要做到任一时刻电力够用的概率不低于设若要做

12、到任一时刻电力够用的概率不低于0.9999，（查表得）（查表得）最少供应最少供应 个电力单位，那么个电力单位，那么x151500.30.70.9999xkkkkP XxC查表得查表得11x 若随机变量若随机变量 X 的分布密度是：的分布密度是：,0,1,2,. ,0!kP Xkekk则称则称 X 服从泊松分布，记作服从泊松分布，记作 XP泊松分布描述的是大量试验中稀有事件出现的次数的概率分布。泊松分布描述的是大量试验中稀有事件出现的次数的概率分布。其中参数其中参数 正是试验次数与事件的概率之乘积即事件出现的正是试验次数与事件的概率之乘积即事件出现的平均数）。所以它的一个重要应用是平均数）。所以

13、它的一个重要应用是则近似地，有则近似地，有XP np,XB n p假设假设且且 较大较大,（ ），）， 较小较小,（ ）n10n p0.1p 即：即：1!kn knpkknnpC ppek例例9 一台仪器平均在一台仪器平均在1000个工作小时内发生一次故障，个工作小时内发生一次故障，试求该仪器工作试求该仪器工作100个小时而无故障的概率。个小时而无故障的概率。解：设解：设 A 表示表示“仪器在一小时内出故障仪器在一小时内出故障”，那，那么么 0.001P A 令令 X 表示表示 “100 个小时内个小时内 A 出现的次数出现的次数”，那么，那么100, 0.001XB近似近似0.1P所求概率为

14、：所求概率为：00.10.10.100.90480!P Xee由此可假设仪器在一小时内不会出两次及以上故障。由此可假设仪器在一小时内不会出两次及以上故障。,1,3,5P Xkakk351aaa解：由解：由19a 故故 X 的分布律是：的分布律是：135135999XP 0F xP XxP 1x 当当 时，时，13x当当 时，时， F xP Xx119P X35x当当 时，时， F xP Xx41,39P X 1F xP XxP 5x 当当 时，时，例例10 设随机变量设随机变量 X 的分布律如下，求的分布律如下，求 及及 X 的分布函数。的分布函数。a,1,3,5P Xkakk解：解：.故故 X 的分布律是：的分布律是：135135999XP F xP Xx0,1x1,139x 4,359x 1,5x.综上所述，综上所述，例例10 设随机变量设随机变量 X 的分布律如下，求的分布律如下，求 及及 X 的分布函数。的分布函数。a12,3,12BpBpP例例11 设设且且求求1 ,2PP解：解：111PP 2110112Pp 2112p112p 10PP122321PC pp3112 2