基本概念 声学量 波动方程 速度势函数(3学时)

1、3.1 3.1 基本声学量和理想流体中的基本方程基本声学量和理想流体中的基本方程主要内容主要内容3.1.1 3.1.1 基本声学量基本声学量3.1.2 3.1.2 理想流体中三个基本方程理想流体中三个基本方程声音的产生声音的产生声音的产生声音的产生苏东坡在赤壁赋中说苏东坡在赤壁赋中说: : “耳得之而为声耳得之而为声” 什么是声音？什么是声音？ 声音的产生声音的产生 声音是由声音是由声源声源的机械振动产生的，声源的振的机械振动产生的，声源的振动状态，通过周围动状态，通过周围介质介质向四周传播形成向四周传播形成声波声波。 从物理学来说，声波就是介质中的机械波从物理学来说，声波就是介质中的机械波。

2、声音的产生声音的产生声波（声波（sound wave sound wave ）是一种）是一种机械波机械波；产生声波的产生声波的两个必要条件两个必要条件： 声源声源（ sound sourcesound source）机械振动的物体）机械振动的物体介质介质（medium medium ）机械振动赖以传播的介质）机械振动赖以传播的介质声音的产生声音的产生声音的产生声音的产生 声波传播时，介质质点只在平衡位置附近声波传播时，介质质点只在平衡位置附近振动，并没有随声波传播。振动，并没有随声波传播。声音的产生声音的产生声音可以在一切弹性介质中传播。声音可以在一切弹性介质中传播。纵波纵波：声波的传播方向与

3、质点振动方向：声波的传播方向与质点振动方向一致一致。横波横波：声波的传播方向与质点振动方向：声波的传播方向与质点振动方向垂直垂直。声音的产生声音的产生 纵波传播过程纵波传播过程声音的产生声音的产生 纵波传播过程纵波传播过程声音的产生声音的产生 横波传播过程横波传播过程声音的产生声音的产生 空气中和水中的声波的传播方向与质点振空气中和水中的声波的传播方向与质点振动方向是一致的，属于纵波。动方向是一致的，属于纵波。 固体中由于有切应力，除有纵波外，还同固体中由于有切应力，除有纵波外，还同时存在横波。时存在横波。 仅讨论声波的宏观性质，不涉及介质的微观特性仅讨论声波的宏观性质，不涉及介质的微观特性声

4、音的产生声音的产生声音的产生声音的产生 声波在介质中传播的速度，称为声波的声波在介质中传播的速度，称为声波的传播速度传播速度。声音的产生声音的产生重点总结！重点总结！1 1、声音的实质声音是介质中的机械波、声音的实质声音是介质中的机械波2 2、声波产生的两个基本条件、声波产生的两个基本条件 （1 1）声源）声源 （2 2）传声介质）传声介质3.1.1 3.1.1 基本声学量基本声学量主要内容主要内容v1 1、声压压强的变化量、声压压强的变化量v2 2、质点振速介质运动速度的变化量、质点振速介质运动速度的变化量v3 3、压缩量介质密度相对变化量、压缩量介质密度相对变化量 连续介质中，任意一点附近

5、的运动状态可用连续介质中，任意一点附近的运动状态可用压强、密度和介质的运动速度表示。压强、密度和介质的运动速度表示。v压强：压强：v介质运动速度介质运动速度v密度密度tzyxP,tzyx,tzyxU,1 1、声压的基本概念、声压的基本概念 声波作用引起各点介质压缩和伸张，各点的声波作用引起各点介质压缩和伸张，各点的压强比静压可大可小，声压有正有负。压强比静压可大可小，声压有正有负。1 1、声压的基本概念、声压的基本概念声学中，也可用声压级（声学中，也可用声压级（SPLSPL）表示声压的大小。）表示声压的大小。SPL=20log10SPL=20log10（p/prefp/pref）（）（dB）

6、（分贝）（分贝） 在声波的作用下，介质质点围绕其平衡位置作往复在声波的作用下，介质质点围绕其平衡位置作往复运动，其瞬时位置及振动位移和瞬时速度随时间变运动，其瞬时位置及振动位移和瞬时速度随时间变化，可用化，可用质点位移质点位移或或速度速度描述声场。描述声场。2 2、质点振速的基本概念、质点振速的基本概念tzyxU,0tzyxU,tzyxUtzyxUtzyxu,0设没有声波扰动时，介质的静态流速为设没有声波扰动时，介质的静态流速为在声波的作用下流速变为在声波的作用下流速变为流速的改变量流速的改变量 即为介质质点的即为介质质点的振动速度振动速度振动速度的单位是振动速度的单位是在空气中，在空气中，1

7、 1帕的声压对应的振速约为帕的声压对应的振速约为相应于频率相应于频率1000Hz1000Hz声音的质点位移约为声音的质点位移约为声场中介质质点位移振幅是很小的声场中介质质点位移振幅是很小的水中水中1 1帕的声音，相应的振速约为帕的声音，相应的振速约为 相应于相应于1000Hz1000Hz声音的位移仅为声音的位移仅为 米米水中质点位移比空气中质点位移更小水中质点位移比空气中质点位移更小秒米秒米3103 . 27103.7秒米710710102 2、质点振速的基本概念、质点振速的基本概念米米设没有扰动时，介质的静态密度为设没有扰动时，介质的静态密度为在声波的作用下变为在声波的作用下变为zyxtzy

8、xtzyxl,0zyx,03 3、密度逾量、密度逾量tzyx,为介质中声场的为介质中声场的密度逾量。密度逾量。MKSMKS制中，基本单位：制中，基本单位：kg/mkg/m3 3为为介质压缩量介质压缩量, ,也称介质密度的相对变化量也称介质密度的相对变化量s s（无量纲）（无量纲）zyxzyxtzyxtzyxs,00定义：定义：定义：定义：注意：注意： 声场中的声场中的质点振速质点振速和和声波的传播速度声波的传播速度 是两个概念。是两个概念。重点总结！重点总结！v1、声压压强的变化量、声压压强的变化量v2、质点振速介质流速的变化量、质点振速介质流速的变化量v3、密度逾量介质密度的变化量、密度逾量

9、介质密度的变化量声学量声学量描述声波作用的量。描述声波作用的量。波动方程的推导波动方程的推导声波的波动方程：声波的波动方程：描述声场空间、时间变化描述声场空间、时间变化规律和相互联系的方程。规律和相互联系的方程。基本思路基本思路波动方程波动方程连续性方程连续性方程状态方程状态方程 运动方程运动方程质量守恒定律质量守恒定律热力学关系热力学关系（能量守恒定律）（能量守恒定律）牛顿第二定律牛顿第二定律（动量守恒定律（动量守恒定律)三个基本方程三个基本方程三个基本物理定律三个基本物理定律（1 1）理想，介质中机械运动无机械能损耗）理想，介质中机械运动无机械能损耗; ;（2 2）流体，介质中任一面元受力

10、方向总是）流体，介质中任一面元受力方向总是 垂直于面元；垂直于面元；（3 3）连续性，介质中质团连续分布无间隙；）连续性，介质中质团连续分布无间隙；（4 4）介质质团同时具有质量和弹性性质。）介质质团同时具有质量和弹性性质。 正是因为介质质团同时具有弹性和质量，正是因为介质质团同时具有弹性和质量， 才能形成波才能形成波-振动的传播。振动的传播。 理想流体介质理想流体介质假设条件假设条件 声波为小振幅声波线性波动方程声波为小振幅声波线性波动方程v1 1、连续性方程、连续性方程v2 2、状态方程、状态方程v3 3、运动方程、运动方程3.2.1 理想流体中三个基本方程理想流体中三个基本方程主要内容主

11、要内容 1、连续性方程、连续性方程理想流体中三个基本方程理想流体中三个基本方程依据质量守恒，建立依据质量守恒，建立 关系。关系。ul质量守恒定律质量守恒定律，在连续介质中，如果流进，在连续介质中，如果流进与流出某一空间体积的流体质量不等，则与流出某一空间体积的流体质量不等，则必将引起该体积中介质密度的变化。必将引起该体积中介质密度的变化。1、连续性方程、连续性方程理想流体中三个基本方程理想流体中三个基本方程tzyx,M点的密度为：点的密度为：ktzyxUjtzyxUitzyxUtzyxUzyx,kUjUiUUzyx设某一瞬时设某一瞬时t t，介质质点流过，介质质点流过M点的速度向量点的速度向量

12、单位时间内通过单位时间内通过M点单位面积的介质质量为点单位面积的介质质量为1、连续性方程、连续性方程理想流体中三个基本方程理想流体中三个基本方程dtdydzdxxUUxx2dtdydzdxxUUxx2（1 1）在）在dtdt时间段，介质质点时间段，介质质点X X方向流速引起的在方向流速引起的在dxdydzdxdydz 框中介质质量的变化：框中介质质量的变化：dtdt时间段从时间段从ABCDABCD面流入面流入dxdydzdxdydz框中的质量：框中的质量：dtdt时间段从时间段从EFGHEFGH面流入面流入dxdydzdxdydz框中的质量：框中的质量： 所以，在所以，在dtdt时间段，介质质

13、点沿时间段，介质质点沿OX方向流速引起的在方向流速引起的在dxdydzdxdydz框中介质质量增加为框中介质质量增加为： dtdxdydzxUx)( 同理同理, , 时间内沿时间内沿 方向流量方向流量在在 中的净余量分别为中的净余量分别为ozoy,dxdydz理想流体中三个基本方程理想流体中三个基本方程dtdxdydzUyydtdxdydzUzzdt（2 2）在）在dtdt时间段，介质质点时间段，介质质点Y Y方向和方向和Z Z方向流速方向流速 引起的在引起的在dxdydzdxdydz框中介质质量的变化：框中介质质量的变化：1、连续性方程、连续性方程理想流体中三个基本方程理想流体中三个基本方程

14、dtdxdydzUzUyUxmzyx所以，在所以，在dtdt时间段，介质质点流速时间段，介质质点流速 引起的在引起的在dxdydzdxdydz框中介质质量的增加为：框中介质质量的增加为：),(tzyxU1、连续性方程、连续性方程1、连续性方程、连续性方程理想流体中三个基本方程理想流体中三个基本方程（3 3）推导连续性方程）推导连续性方程因为，因为，dxdydzdxdydz框没有变，所以质量的变化改变了框没有变，所以质量的变化改变了dxdydzdxdydz框内介质的密度：框内介质的密度： dxdydztzyxdttzyxm),()( ,(流体的流动使得元体积内的质量增加流体的流动使得元体积内的质

15、量增加密度变化使得元体积内质量的增加密度变化使得元体积内质量的增加等于等于1、连续性方程、连续性方程依据质量守恒定律：依据质量守恒定律：dxdydzdtzUyUxUdxdydztzyxdttzyxzyx)()()(),()( ,(理想流体中三个基本方程理想流体中三个基本方程得：得：)()()(),(),(zUyUxUdttzyxdttzyxzyx)()()(),(zUyUxUttzyxzyx- -连续性方程连续性方程所以：所以：1、连续性方程、连续性方程理想流体中三个基本方程理想流体中三个基本方程哈密顿算符哈密顿算符：梯度梯度：标量函数：标量函数 的梯度的梯度散度散度：矢量场：矢量场 的散度的

16、散度zkyjxizAyAxAAAzyxdiv理想流体中三个基本方程理想流体中三个基本方程数学知识数学知识zyxAkAjAiApzpkypjxpippgrad 连续性方程表示为连续性方程表示为 称为流通密度称为流通密度: :单位时间内流过与速单位时间内流过与速度方向垂直的单位面积的质量。度方向垂直的单位面积的质量。 UtU1、连续性方程、连续性方程理想流体中三个基本方程理想流体中三个基本方程连续性方程：连续性方程：表示流通密度在某一点散度的表示流通密度在某一点散度的负值等于该点介质密度的时间变化率负值等于该点介质密度的时间变化率。（4 4）均匀、静止理想流体中小振幅波的连续性方程）均匀、静止理想

17、流体中小振幅波的连续性方程 l0uUU0据，声学量定义，有：据，声学量定义，有：小振幅波的含义是指：小振幅波的声学量和声学量的小振幅波的含义是指：小振幅波的声学量和声学量的各阶时间或空间导数为一阶小量。各阶时间或空间导数为一阶小量。常数常数0 00 0U U0 0 Ut均匀的含义是指：均匀的含义是指：静止的含义是指：静止的含义是指： 由连续性方程：由连续性方程：得：得：1、连续性方程、连续性方程理想流体中三个基本方程理想流体中三个基本方程常数常数0 00 0U U0 0略去二阶小量：略去二阶小量：utl0uuuuuuuUtlllll000000)()(uuutlll0理想流体中三个基本方程理想

18、流体中三个基本方程1、连续性方程、连续性方程00utl1、连续性方程、连续性方程连续性方程连续性方程理想流体中三个基本方程理想流体中三个基本方程！得到的均匀、静止理想流体中小振幅波的连续性得到的均匀、静止理想流体中小振幅波的连续性方程为：方程为：记住！记住！ 声波作用下介质产生压缩伸张变化，介质的密声波作用下介质产生压缩伸张变化，介质的密度和压强都发生变化。度和压强都发生变化。 假设声波作用的热力学过程是等熵绝热过程，假设声波作用的热力学过程是等熵绝热过程，意味着声波能量在质团形变过程中没有损失。意味着声波能量在质团形变过程中没有损失。2、状态方程、状态方程理想流体中三个基本方程理想流体中三个

19、基本方程依据热力学定律，建立依据热力学定律，建立 关系。关系。 lp据热力学定律，质量一定的理想流体中，独立的热据热力学定律，质量一定的理想流体中，独立的热力学参数只有三个。力学参数只有三个。例如，取热力学参数：压强例如，取热力学参数：压强 、密度、密度 及熵值及熵值 ，则有关系：则有关系：),(),(sfsPP如果，在声波作用下，如果，在声波作用下， 经经“等熵过程等熵过程”，从，从则在则在 点作点作 幂级数展开，有：幂级数展开，有：),(00s),(),(0000sPsP),(0sP2、状态方程、状态方程理想流体中三个基本方程理想流体中三个基本方程PsP.|!1.|),(.|!1.|),(

20、),(.)(|!1.)(|),(),(000000000000,)()(,)()(,0000,)()(0,000nlsnnlsnlsnnlsnsnnsfnfspfnfsPsPfnfsPsP如果是小振幅波，则声学量和声学量的各阶时间或空如果是小振幅波，则声学量和声学量的各阶时间或空间导数为一阶小量。间导数为一阶小量。略去高阶小量，有：略去高阶小量，有：lsfp00)(2、状态方程、状态方程理想流体中三个基本方程理想流体中三个基本方程定义定义, , 为介质的等熵波速。为介质的等熵波速。 它是介质的固有性质。它是介质的固有性质。（后续课可知它与介质中波传播的速度有关）后续课可知它与介质中波传播的速度

21、有关）00,0)(spc)0)(00,sf是速度量纲是速度量纲; M.K.S; M.K.S制中制中, ,单位单位: m/s (: m/s (米米/ /秒秒) )！得到的均匀、静止理想流体中小振幅波的状态方程为：得到的均匀、静止理想流体中小振幅波的状态方程为：lcp20状态方程状态方程2、状态方程、状态方程记住！记住！理想流体中三个基本方程理想流体中三个基本方程 理想流体中三个基本方程理想流体中三个基本方程3、运动方程、运动方程依据牛顿第二定律依据牛顿第二定律, , 建立建立 关系。关系。介 质 中 取 质 量 微 团介 质 中 取 质 量 微 团ABCDEFGHABCDEFGH六面体六面体,

22、,边长边长分别为：分别为：分析其受力：分析其受力：dxdx，dydy，dzdz周围流体对该六面体的压力：周围流体对该六面体的压力： 首先分析首先分析x x方向受力方向受力：up（1 1）运动方程推导）运动方程推导 作用在作用在ABCDABCD面上和面上和EFGHEFGH面上的总压力分别为面上的总压力分别为dydzdxxPdydzPdydzPzyxxxx2,2dydzdxxPdydzPdydzPzyxxxx2,2理想流体中三个基本方程理想流体中三个基本方程3、运动方程、运动方程oxdxdydzxPdydzPPFzyxxxxxx,22沿沿 方向的合力为方向的合力为 同理得同理得 方向的合力为方向的

23、合力为ozoy,dxdydzyPFzyxy,dxdydzzPFzyxz,理想流体中三个基本方程理想流体中三个基本方程3、运动方程、运动方程dxdydztzyxPF),(利用哈密顿算子，利用哈密顿算子， 表示质量表示质量微团受到的合力：微团受到的合力： )(zkyjxi根据牛顿定律，得运动方程根据牛顿定律，得运动方程dxdydzPdtUddxdydz静压强静压强 常数常数0PpP理想流体中三个基本方程理想流体中三个基本方程3、运动方程、运动方程所以：所以：pdtud（2 2）均匀、静止理想流体小振幅波的运动方程）均匀、静止理想流体小振幅波的运动方程 PdtUd常数常数U U 0静态流速dtudd

24、tUd 是质点是质点 的加速度。的加速度。uutudtuddtudzyxM,3、运动方程、运动方程理想流体中三个基本方程理想流体中三个基本方程tudtud如果为小振幅波，则声学量和声学量的各阶时间或如果为小振幅波，则声学量和声学量的各阶时间或空间导数为一阶小量。空间导数为一阶小量。忽略高阶小量忽略高阶小量根据，多元函数微分公式，有：根据，多元函数微分公式，有：ptu0运动方程运动方程3、运动方程、运动方程理想流体中三个基本方程理想流体中三个基本方程记住！记住！ptul)(0tul又称又称尤拉方程：尤拉方程：表示介质中质点的加速度与密度的表示介质中质点的加速度与密度的乘积等于沿加速度方向的压力梯

25、度的负值。乘积等于沿加速度方向的压力梯度的负值。！得到均匀、静止理想流体中小振幅波的运动方程为：得到均匀、静止理想流体中小振幅波的运动方程为：忽略高阶小量：忽略高阶小量：整理课件553.2 3.2 理想流体中小振幅波波动方程理想流体中小振幅波波动方程 和速度势函数和速度势函数3.2.1 3.2.1 流体中小振幅波波动方程流体中小振幅波波动方程3.2.2 3.2.2 速度势函数速度势函数ptu03.2.1 3.2.1 流体中小振幅波波动方程流体中小振幅波波动方程运动方程运动方程lcp20 00utl状态方程状态方程连续性方程连续性方程lup,（1）（2）（3）均匀、静止理想流体中均匀、静止理想流

26、体中, ,小振幅波基本声学量的方程：小振幅波基本声学量的方程：声学量声学量 之间的三个关系式之间的三个关系式对上三式消元，可以得到一个基本声学量的方程。对上三式消元，可以得到一个基本声学量的方程。t ) 1 (0022uttl22)2(t 222022tctpl)3( 对于物理可实现函数，有：对于物理可实现函数，有： 则：则：utut(4)(4)代入代入(5)(5), , 得得: :0102220uttpcppput20)()(4)(4)(5)(5)(6)(6)(7)(7)3.2.1 3.2.1 流体中小振幅波波动方程流体中小振幅波波动方程小振幅声波的波动方程小振幅声波的波动方程0122220ptpc理想、均匀、静止流体中的小振幅波的理想、均匀、静止流体中的小振幅波的声压声压波动方程。波动方程。小振幅声波的波动方程小振幅声波的波动方程直角坐标系中：直角坐标系中：2222222zyx拉普拉斯算子拉普拉斯算子，对不同坐标系具有不同形式。，对不同坐标系具有不同形式。23.2.1 3.2.1 流体中小振幅波波动方程流体中小振幅波波动方程定义：速度势函数，如果运动是无旋的，则质点振速定义：速度势函数，