第一讲三角函数的概念、同角关系式和诱导公式

1、第一讲 三角函数的概念、同角关系式和诱导公式基本知识点：1. 弧度制：（1）定义（2）换算关系（3）弧度制下的弧长、扇形的面积公式（4）有关角的集合2. 任意角的三角函数 （1）定义（2）三角函数的符号 （3）特殊角的三角函数值 （4）三角函数的定义域 （5）诱导公式（6）同角三角函数的关系式应用举例考点1 角的概念的推广例1、设A =小于90的角，B =第一象限的角，则A B =（D ）A. 锐角B. 小于90的角C. 第一象限的角 D. 以上都不对练习1：已知角与的终边相同，那么-的终边位于 x 轴的非负半轴上 . 考点2 弧长、扇形面积公式例2、若1弧度的圆心角所对的弦长为2，则该圆心角

2、所对的弧长等于（C ） A. sin1 2B. 6C.1sin 12D. 2sin1 2练习2：某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t =0时，点A 与钟面上标12的点B 将A ，B 两点间的距离d (cm表示成t (s的函60 (10sin 数，则d =_ _，其中t 0，t 60考点3 三角函数的定义例3、已知角终边上一点P (sin,cos ，则的最小正角为（D ） A 23235 6B 2 3C5 3D11 6练习3：设a <0，角终边上一点P (-3a ,4a ，那么sin +2cos 的值等于（A ） A2 5B -2 5C 1 5

3、D -1 5考点4 三角函数值的符号 例4、已知cos tan <0，那么角是（ C ） 第一或第二象限角 第三或第四象限角 第二或第三象限角 第一或第四象限角练习4：函数y =sin x cos x tan x的值域为. +|sin x |cos x |tan x |考点5 同角三角函数基本关系式及诱导公式 例5、（1）已知是第四象限角，tan =-A 1 5B -1 55，则sin =（ D ） 125C13D -5 13（2） 已知cos(6- =52+则cos(+ -sin 2(- = （-） 36632练习5、若cos( 3sin (2sin (3cos (3cos (cos

4、(cos (4sin (2sin (3cos (3sin sin cos 解 原式cos (cos cos cos cos sin (1cos tan . cos (1cos 22cos( cos( cos ，cos . 为第一象限角或第四象限角332当为第一象限角时，cos ，3sin 1cos ，3sin 55tan 原式cos 222当为第四象限角时，cos ，35sin 1cos ，3sin 55tan ，原式cos 225综上，原式2例6、已知tan =3. 求:4sin 2-2cos 24sin -2cos 22(1 ; (2 （3）2sin +sin cos -3cos ; 22

5、5cos +3sin 5cos +3sin (4 sin +2sin cos +3cos +2.答案:(122517; (2 ; 716(2919; (4 53sin 3(cos (练习6、已知cos 22sin 2，求 575cos 23sin 22sin ， 解 cos 22sin 2cos ，tan 2. sin 3(cos (sin 3cos (sin 3cos 575sin 3cos 5cos 23sin 25sin 3sin 2sin 2tan 3tan 11·1tan sin 3cos sin 2·tan 1sin cos 3cos 5sin 35tan 35

6、tan 35tan 2311213.3535×2考点6、综合应用例7、已知sin 、 cos 是方程x -1 x +m =0的两根. （1）求m 的值； （2）求2sin cos 的值. +1-cot 1-tan 解：（1 ）由韦达定理，得sin +cos =1 sin cos =m 由得1+2sin cos =4- m =3 2再注意到 =-1 -4m 0, 即 m 123故所求m =2sin cos sin 2cos 2cos 2-sin 2（2）原式= +=+=cos sin sin -cos cos -sin sin -cos 1-1-sin cos =cos +sin =1

7、.练习7、已知sin 、cos 是关于x 的方程x 2ax a 0的两个根(a R 1(1求sin 3cos 3的值； (2求tan 的值tan 解 (1由根与系数的关系知：sin cos a ，sin ·cos a . (sin cos 212sin cos ，a 212a .解得：a 12，a 12(舍 sin 3cos 3(sin cos (sin2sin cos cos 2 (sin cos (1sin cos a (1a 22.221sin cos sin cos (2tan tan cos sin sin cos 11112. sin cos a 12sin (32cos

8、 2，例8、是否存在角，22，(0， ，使等式3cos (2cos (同时成立若存在，求出，的值；若不存在，说明理由sin 2sin ， 解 由条件，得3cos 2cos . 22，得sin 23cos 22， 又因为sin 2cos 21，12由得sin 2，即sin 22，所以或因为22443当时，代入得cos ，又(0， ，42所以，代入可知符合63当cos ，又(0， ，42所以，代入可知不符合6综上所述，存在46练习7、在ABC 中，若sin(2A 2sin(B 3cos A 2cos(B ，求ABC 的三个内角解 由条件得sin A 2sin B ，3cos A 2cos B ，2

9、平方相加得2cos 2A 1，cos A 23又A (0， ，A .4433当A 时，cos B <0，B 2， 42A ，B 均为钝角，不合题意，舍去37A ，cos B B C .42612巩固与提高A 组1. 若角的终边与角的终边关于原点对称，则 ( A B 180°C k ·360°，k Z D k ·360°180°，k Z解析：借助图形可知，若角与的终边关于原点对称，则k ·360°180°. 答案：D2若角的终边与60°角的终边相同，在0°360°内，终边

10、与角的终边相同的角为_3解析：k ·360°60°，k Z ，k ·120°20°，k Z. 又0， ，0°k ·120°3320°360°，k Z ，117k ，k 0,1,2. 此时得分别为20°，140°，260° . 故在0， 内，与角6633边相同的角为20°，140°，260°. 答案：20°，140°，260°3. 用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合： 图1图2图3（1）x

11、|-3+2k x +2k , k Z ；（2）x |+2k x +2k , k Z ；4624+2k x 2+2k , k Z 3（3）x |34如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数 的弧d f (l 的图象大致为( 解析：如图取AP 的中点为D ，设DOA =，则d =2sin，l =2R =2， d =2sin答案：C5已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R .(1若60°，R 10 cm，求扇形的弧所在的弓形面积；(2若扇形的周长是一定值c (c 0 ，当为多少弧度时，该扇形有最

12、大面积？ 解：(1设弧长为l ，弓形面积为S 弓，10110160°，R 10，l (cm，S 弓S 扇S ××10×102×sin60°33232350(cm2 32(2法一：扇形周长c 2R l 2R R，R c， 2l . 2121c 2c 21c 21c 2S 扇·R ( 222244241644c 2当且仅当2(2舍去 时，扇形面积有最大值.16c l 11c l 1法二：由已知2R l c ，R (l c ，S ·l (cl l 2222241c 2c 2(l 4216c c l 当l 时，S max

13、，此时216R2c2c c 222，c 2当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值1626. 点P 从(1,0出发，沿单位圆x 2y 21逆时针方向运动弧长到达Q 点，则Q 的坐标为3(13311331A ( B (， C ( D (，222222222213解析：根据题意得Q (cos，sin ，即Q (，答案：A33227在(0,2 内使sin x cos x 成立的x 取值范围是 ( 5， C. ，5 D. 5，3 , A. B. 424444424解析：用单位圆内正弦线和余弦线来解答案：C1cos sin 8(2010·银川模拟 若角的终边落在直线y x 上，则的值等于cos

14、 1sin ( A 0 B 2 C 2 D 2tan 解析：因为角的终边落在直线y x 上，k3，k Z ，sin ，cos 的符号相43反当2k，即角的终边在第二象限时，sin 0，cos 0；47当2k，即角的终边在第四象限时，sin 0，cos 0.41cos sin |sin|sin 所以有0. 答案：Acos |cos|cos 1sin 9sin 600+ tan 240的值是（B ） A. B. C. - 1+2D.1210.(1设90°180°，角的终边上一点为P (x 5 ，且cos 2，求sin 与tan 的值； 4(2已知角的终边上有一点P (x ，1(

15、x 0 ，且tan x ，求sin ，cos .解：(1r x 5，cos x 2xx ，解得x 0或x 3.4x 5x 590°180°，x 0，因此x 3.故r 2，sin tan .432231(2的终边过点(x ，1 ，tan ，又tan x ，x 21，x ±1.x 当x 1时，sin 22，cos 2222，cos . 22当x 1时，sin 11. 若1sin x sin x cos x cos x 0，则x 不可能是 ( A 任何象限的角 B 第一、二、三象限的角 C 第一、二、四象限的角 D 第一、三、四象限的角解析：由已知得1sin x

16、83;|sinx |cos x ·|cosx |0，sin x 0，故x 不可能是第一、二、四象限的角 cos x 0，答案：C12若为第一象限角，则能确定为正值的是 ( A sin B cos C tan D cos2222解析：2k2k(k Z ，2kkk Z ，244k24k(k Z 可知是第一、第三象限角，sin 、cos 都可能取负值，只有tan22222是第一、第二象限角，cos2可能取负值 答案：C13设02，如果sin 0且cos20，则的取值范围是 ( 33357A B. 2 D. 224444解析：02，且sin 0，2， 3又由cos20得2k22k223即kk

17、k Z ，44572，k 1，即的取值范围是44答案：D14. sin(sin(2010的值等于666611111解析：原式( ( 22222答案：2115. 如果sin ·cos 0，且sin ·tan 0， 化简：cos 21sin2cos 21sin21sin21sin2sin 2解：由sin ·tan 0，得0，cos 0.cos 又sin ·cos 0，sin 0，2k2k(k Z ，2 即kkk Z 24当k 为偶数时，2当k 为奇数时，2原式2(1sin 222cos 22(1sin 22 2cos 21sin 1sin 2cos222co

18、s cos 22|cos|cos|cos2222 (在第三象限时 2B 组1. 集合M =x |x =A. M2 (在第一象限时2.k k , k Z 之间的关系是( A ±, k Z 与N =x |x =244N N M=N I N =2. 已知sin >sin ，那么下列命题成立的是（A ）若、是第一象限角，则cos >cos （B ）若、是第二象限角，则tg >tg （C ）若、是第三象限角，则cos >cos （D ）若、是第四象限角，则tg >tg 3. 若2k -(CA. 2sin 42k +4 (k Z , 则的化简结果为C. 2cos D

19、. -2cos B. -2sin 4. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小 5. 若A 、B 是锐角ABC 的两个内角，则点P （cos B sin A ，sin B cos A ）在（ B ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 若0<<<2则下列不等式不正确的是（D ）B. +sin <+sin D. sin <sin A. sin +sin <+ C. sin <sin 7. 已知f (x a sin(x b co

20、s(x ，其中a 、b 、都是非零常数，若f (2 0091，则f (2 010等于 ( A 1 B 0 C 1 D 2 解析：法一：f (2 009a sin(2 009 b cos(2 009 a sin( b cos( (a sin b cos 1，f (2 010a sin(2 010 b cos(2 010 a sin b cos 1. 法二：f (2 010a sin(2 010 b cos(2 010 a sin(2 009b cos(2 009 a sin(2 009 b cos(2 009 f (2 0091. 答案：C 8. 已知sin =m -34-2m , 其中, 则m 的值为. ,cos =m + 5m +529. 函数y =lg sin x +(0,3 10 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P 的位置在（0,0），圆在x 轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时，点P 的坐标为_.解析：根据题意可知圆滚动了 2 单位个弧长，点 P 旋转 了 2 = 2 弧度，此时点 P 的坐标为 1 = 2 - sin 2, 2 p y P = 1 + sin(2 - = 1 - cos 2, .