章节知识中棘手题的处理策略

1、章节知识中棘手题的处理策略向明中学 张千明在各个章节中，我们经常遇到一些很棘手的数学试题，读完题目后虽然知道此题涉及的知识层面，但还是不知道具体的解题方法，这就需要回归知识的产生、发展的过程所体现的数学思想方法和研究数学问题的基本方法。本文试想探究各章节中体现的数学思想方法和研究问题的基本方法，以期望得到柳暗花明又一村之功效。一、集合问题处理策略 解决集合问题的关键是弄清集合元素以及集合元素具有的性质，要区分集合元素是数集、点集、方程集、函数集、向量集、图形集等.例一、记实数，中的最大数为，最小数为.已知ABC的三边长位（），定义它的亲倾斜度为则“”是“ABC为等边三角形”的（ ）A.必要而不

2、充分的条件 B.充分而不必要的条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】若ABC为等边三角形时，即，则则；若ABC为等腰三角形，如时，则，此时仍成立但ABC不为等边三角形,所以A正确.例二、设是复数集的非空子集，若对于任意，则，则称为封闭集. 下列命题：集合，为虚数单位为封闭集；若为封闭集，则二、不等式问题处理策略 不等式问题包括解不等式、不等式的性质、基本不等式、不等式有解与恒成立、不等式证明等问题。根据不等式的不同知识点及其处理方法求解。例一、当时，如果关于的不等式恒成立，那么实数的取值范围是 解：当时，则，当时，则即 综上，例二、当，不等式成立，则实数的取值范围是_.4201解：

3、设，则是周期为的函数，的图像是经过原点的直线，如图，则即例三、不等式对于一切正数x、y恒成立，则实数a的最小值为_.解：由得，设，则令，则，（） 当时，的最大值为，故的最小值为.解法二：三、函数问题处理策略函数问题主要考查函数的性质和反函数，注意文字语言与数学语言的相互转化即把文字语言转化为等式或不等式，等式或不等式用汉字解释.例一、已知定义在上函数满足，且与是互为反函数，求的值.解：与是互为反函数设是图像上任意一点，则是图像上的点即，即例二、对于函数（），若存在闭区间（），使得对任意，恒有（为实常数），则实数依次分别为 四、三角问题处理策略通过构造角和三角比，揭示角或三角比之间的关系；在三角

4、形中，可由三角形内角和性质和正弦定理、余弦定理、面积公式求解。例一、在中，求当满足什么条件时，角为钝角？解：由得，即例二、如果的三个内角的余弦值分别等于的三个角的正弦值，则（ ）A. 和都是锐角三角形B. 和都是钝角三角形C. 是钝角三角形，都是锐角三角形D. 是锐角三角形，都是钝角三角形解：故选五、数列问题处理策略 数列问题遇到一些棘手问题时，可以回归数列第一章节中的“观察-发现-猜想”数列这一基本的研究方法，还可以把给出的等式，再写一个关于或的另一个等式，利用这两个等式的加减或乘除，往往眼前一亮。例一、某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在处，其中当时，表

5、示非负实数的整数部分，如。按此方案第颗树种植点的坐标为 例二、已知数列（）满足，则这样的数列有 个解：当时，即, 当时，即, 或当时，即, 或当时，即, 或故这样的数列有=个例三、已知函数，若，且，则方程的解的个数是 解：当时，即，由函数图像知，方程有两个解且在之间；当时，即，设，则.由（1）知方程有两个解且在之间.由函数图像知，对于每一个，方程也有两个解且在之间、互不相等，故有四个解；归纳猜想有个根.数归证明略.例四、数列、的前项和分别是、，且、，设，则数列的前项和为 解： 猜想数学归纳法证明：假设时，有则当时， 即也成立综上，对，都有故答案为例五、定义一种函数：对任意整数，当满足时，。（1

6、）写出函数的定义域，并画出的图像；（2）设，记，求；420112334。（3）若等比数列，首项，公比，又，求公比的取值范围。解：（1） （2）当时，（3）例六、已知，点在函数的图象上，其中(1)证明数列是等比数列；(2)设，求及数列的通项；(3)记，求数列的前项，并证明解：（1）由已知， ，两边取对数得，即, 是公比为2的等比数列.(2)由（）知 （*）=由（*）式得（3）,又, , 又 .例七、在等边中，记的二等分点分别为，连结各分点把等边分成个全等的等边三角形（如图）.若在一直线上的顶点或分点对应的数成等差数列（至少有两个顶点或分点），且顶点对应的数之和为，则所有交点对应的数之和为 ；若记

7、的等分点分别为，连结各分点把等边分成个全等的等边三角形.若在一直线上的顶点或分点对应的数成等差数列（至少有两个顶点或分点），且顶点对应的数之和为，则所有交点对应的数之和为 解：（1）顶点或分点对应的数记为相应的小写字母，如点对应的数为，则，（2）由；猜想六、解析几何问题处理策略首先掌握解析几何的基本概念，并能够把这些概念转化为等式或不等式，利用代数知识和方法求解；其次能利用方程组思想求解交点问题。例一、设是曲线上的动点，、，则的取值范围是 解：若是线段：则而由数形结合可得，由对称性得，解法二：作关于的对称点，则的最小值为，最大值为错解：设，则点在以为焦点，为长轴的椭圆上，所以是此椭圆与正方形的

8、交点。又椭圆过点时即时，故的最大值为当椭圆与正方形相切时，的最小值为七、向量问题处理策略向量表示中唯一分解定理，向量的位置关系中的平行与垂直（化为、），向量的数量积（有坐标与无坐标的处理不同）是向量问题中的三个基本问题。坐标法是解决向量问题一种比较实用的方法.例一、已知、是三个单位向量，则的最小值为 解： ，其中是与的夹角 故的最小值为例二、如图，在中，已知，若长为的线段以点为中点，问与夹角为何值时, 的值最大，求出这个最大值.解：，又,当，即时，与方向相同时, 的值最大,最大值为0.例三、在的边、上分别有一点、，已知, , 连接、，设它们交于点，若，. （1）用与表示； （2）若, 与夹角为

9、，过作交于, 用与表示.解：（1） ，由三点共线，可设,故，同理，由三点共线，可设，故由于与不共线，则有，解得， .（2）由三点共线，可设，则，又，又，.例四、在中，是内任意一点，且，则点在平面直角坐标系内构成的区域的面积是 解：延长交于，由三点共线得，其中，又是内任意一点则，由向量唯一分解定理得，故点构成的区域的面积是八、立体几何问题处理策略80cm50cm40cm 立体几何问题中一个重要问题是：求不规则几何体的表面积或侧面积及体积，一般方法是割补法。例一、在右图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为，母线长最短、最长，则斜截圆柱侧面面积= 。80cm50cm40cm80cm50cm40cm解：可以利用补形法，得到一个完整的圆柱体。而这个完整的圆柱体的侧面积为所