一微分的定义ppt课件

1、一、微分的定义一、微分的定义二、微分的几何意义二、微分的几何意义四、微分在近似计算中的运用四、微分在近似计算中的运用第五节第五节 函数的微分函数的微分三、根本初等函数的微分公式与微分运算三、根本初等函数的微分公式与微分运算法那么法那么一、微分的定义一、微分的定义问题的提出问题的提出一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由由 变到变到 如图，问此薄片的面积如图，问此薄片的面积改动了多少？改动了多少？0 xxx 020 xA 0 x0 xx x 2)( x xx 0 xx 0,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积20

2、20)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax .,很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)1(:)2(普通地普通地,假设函数假设函数y=f(x)满足一定条件满足一定条件,那么函数的增量那么函数的增量 可可表示为表示为y )( xoxAy 其中其中A是不依赖于是不依赖于 的常数的常数,因此因此 是是 的线性函数的线性函数,且它与且它与 之差之差x xA x y )( xoxAy 是比是比 高阶的无穷小高阶的无穷小,所以所以,当当 ,且且 很小时很小时,我们就可我们就可以近似地用以近似地用 来替代来替代x 0 A

3、x y xA 定义定义 设函数设函数y=f(x)在某区间内有定义，在某区间内有定义， 及及 在在这区间内，假设函数的增量这区间内，假设函数的增量可表示为可表示为其中其中A是不依赖于是不依赖于 的常数，而的常数，而 是比是比 高阶的无穷小，那么称高阶的无穷小，那么称y=f(x)在点在点 是可微的，是可微的，而而 叫做函数叫做函数y=f(x)在点在点 相应于自变量增相应于自变量增量量 的微分，记作的微分，记作dy，即，即 0 xxx 0)()(00 xfxxfy )( xoxAy )( xo 0 xxA 0 xxAdy x x x ;)1(的线性函数的线性函数是自变量的改变量是自变量的改变量 xd

4、y ;)()2(高高阶阶无无穷穷小小是是比比 xxodyy ;,0)3(是是等等价价无无穷穷小小与与时时当当ydyA dyy xAxo )(1).0(1 x).(,)5(线性主部线性主部很小时很小时当当dyyx ;)(,)4(0有关有关和和但与但与无关的常数无关的常数是与是与xxfxA 由定义知由定义知: :定理：定理：y=f(x)在在 可微的充分必要条件是可微的充分必要条件是f(x)在在 处处 可导，且当可导，且当f(x)在点在点 可微时，其微分一定是可微时，其微分一定是0 x0 x0 xxxfdy )(0(1) (1) 必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),( xoxAy ,)(x

5、xoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数证明证明),()(0 xxxfy 从从而而,)(0 xfxy即即,)(0可导可导在点在点函数函数xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可可微微在在点点函函数数).(.0 xfA 可可微微可可导导(2) (2) 充分性充分性例例1处处的的微微分分和和在在求求函函数数312 xxxy解解处处的的微微分分在在函函数数12 xxy;2)(12xxxdyx 处的微分处的微分在在3 xxxxdyx 6)(32.)

6、(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或记作记作微分微分称为函数的称为函数的的微分的微分在任意点在任意点函数函数例例2.02. 0, 23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxy解解xxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 .)(dxxfdy ).(xfdxdy .微商微商导数也叫导数也叫该函数的导数该函数的导数之商等于之商等于与自变量的微分与自变量的微分即函数的微分即函数的微分dxdy.,xdxdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量)(xfy 0 xMNTdyy)( xo xyo

7、x .,对对应应的的增增量量就就是是切切线线纵纵坐坐标标坐坐标标增增量量时时是是曲曲线线的的纵纵当当dyy xx0 P .,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲线线段段切切线线段段的的附附近近在在点点很很小小时时当当 几何意义几何意义:(:(如图如图) )二、微分的几何意义二、微分的几何意义三、根本初等函数的微分公式与微分三、根本初等函数的微分公式与微分运算法那么运算法那么函数的微分的表达式函数的微分的表达式dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, ,乘以自变量的微分乘以自变量的微分. .1.1.根本初等函数的微分公式根本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdx

8、xdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxarcddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 2. 函数和、差、积、商的微分法那么函数和、差、积、商的微分法那么)0()()()()(2 vvudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud3. 复合函数的微分法那么复合函数的微分

9、法那么与复合函数的求导法那么相应的复合函数的微分法那么与复合函数的求导法那么相应的复合函数的微分法那么可推导如下可推导如下:设设 及及 都可导都可导, 那么复合函数那么复合函数 的的微分为微分为)(ufy )(xfy )(xu uufxxufyd)(d)()(d 上式阐明无论是上式阐明无论是u自变量还是中间变量其微分方式不变自变量还是中间变量其微分方式不变, 这一这一性质称为微分方式不变性性质称为微分方式不变性.),12sin(dyxy求求设设 . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdx例例3 3解解dxx2)12cos( .)12cos(2dxx 例例4.),

10、1ln(2dyeyx求求设设 解解)(11)1(11)1ln(222222xdeeedeeddyxxxxx dxexexdxeexxxx22221221 例例5.,cos31dyxeyx求求设设 解解 运用积的微分法那么运用积的微分法那么,得得)(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 例例6 6 在以下等式左端的括号中填入适当的函数在以下等式左端的括号中填入适当的函数, , 使等式成立使等式成立. .xxd) (d )1( ttdcos) (d

11、)2( 解解 (1)我们知道我们知道xdxxd2)(2 可见可见)2()(2122xdxdxdx 即即xdxxd )2(2普通地普通地,有有xdxCxd )2(2(C为恣意常数为恣意常数)(2),cos)(sintdttd )(sin1costdtdt .cos)sin1(tdtCtd );sin1(td 即即tdttd cos)sin1( (C为恣意常数为恣意常数)四、微分在近似计算中的运用四、微分在近似计算中的运用1 函数的近似计算函数的近似计算我们有我们有很小时很小时且且处的导数处的导数在点在点若若, 0)()(00 xxfxxfy 这个式子也可以写为这个式子也可以写为xxfxfxxfy

12、 )()()(000或或xxfxfxxf )()()(000则有则有即即令令,00 xxxxxx )()()(000 xxxfxfxf (4)(5)(6)xxfdyy )(0)()6(),()5(,)4(,)()(000 xfxxfyxfxf式式来来近近似似计计算算或或利利用用来来近近似似计计算算利利用用来来近近似似计计算算那那么么可可利利用用都都容容易易计计算算与与如如果果 例例7 有一批半径为有一批半径为1cm的球的球,为了提高球面的光洁度为了提高球面的光洁度,要镀上要镀上一层铜一层铜,厚度定为厚度定为0.01cm.估计一下每只球需用铜多少估计一下每只球需用铜多少(铜的密铜的密度是度是 )

13、?3/9 . 8cmg解解 先求出镀层的体积先求出镀层的体积,再乘上密度就得到每只球需用再乘上密度就得到每只球需用 铜的质量铜的质量.:,34,03的的导导数数对对我我们们求求时时的的增增量量取取得得增增量量自自当当所所以以它它就就是是球球体体体体积积个个球球体体体体积积之之差差因因为为镀镀层层的的体体积积等等于于两两RVVRRRRV 20343400RRVRRRR 由由(4)得得RRV 204 得得代代入入上上式式将将,01. 0, 10 RR)(13. 001. 0114. 3432cmV 于是镀每只球需用的铜约为于是镀每只球需用的铜约为)(16. 19 . 813. 0g 例例8的的近近

14、似似值值利利用用微微分分计计算算0330sin0 解解:)5(,36023)6(,216sin)6(,6cos)(,sin)(3606033000得得应用应用比较小比较小并且并且则则如果如果则则取取 xffxxxfxxf3606cos6sin)3606sin(0330sin0 5076. 00076. 05000. 03602321 下面我们来推导一些常用的近似公式下面我们来推导一些常用的近似公式,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令xffxf )0()0()(7)运用运用(7)式可以推得一下几个在工程上常用的式可以推得一下几个在工程上常用的近似公式近似公式 :)(很

15、很小小时时假假定定 x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 为弧度为弧度为弧度为弧度证明证明:,1)()1(nxxf 设设.1)0(, 1)0(nff ,)1(1)(11 nxnxfxffxf)0()0()( .1nx 其它几个近似公式可用类似方法证明其它几个近似公式可用类似方法证明,这里从略了这里从略了例例9 的的近近似似值值计计算算05. 1解解05. 0105. 1 这里这里x=0.05,其值较小其值较小,利用近似公式利用近似公式,便得便得:025. 1)05. 0(21105. 1 假设直接开方假设直接开方,可得可

16、得02470. 105. 1 将两个结果比较一下将两个结果比较一下,可以看出可以看出,用用1.025作为作为 的的近似值近似值,其误差不超越其误差不超越0.001,这样的误差在普通运用上这样的误差在普通运用上曾经够准确了曾经够准确了.05. 12. 误差估计误差估计由于丈量仪器的精度、丈量的条件和丈量的方法等各种要由于丈量仪器的精度、丈量的条件和丈量的方法等各种要素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接丈量数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接丈量误差误差. .定义：定义：.,的绝

17、对误差的绝对误差叫做叫做那末那末为为它的近似值它的近似值如果某个量的精度值为如果某个量的精度值为aaAaA .的的相相对对误误差差叫叫做做的的比比值值而而绝绝对对误误差差与与aaaAa 问题问题: :在实践任务中在实践任务中, ,绝对误差与相对误差无法求得绝对误差与相对误差无法求得? ?方法方法: :将误差确定在某一个范围内将误差确定在某一个范围内. .,的的相相对对误误差差限限叫叫做做测测量量而而的的绝绝对对误误差差限限叫叫做做测测量量那那末末即即又又知知道道它它的的误误差差不不超超过过测测得得它它的的近近似似值值是是如如果果某某个个量量的的精精度度值值是是AaAaAaAAAAA 例例10

18、设测得圆钢截面的直径设测得圆钢截面的直径D=60.03,丈量丈量D的绝对误差限的绝对误差限mmD05. 0 ,利用公式利用公式24DA 计算圆钢的截面积时计算圆钢的截面积时,试估计面积的误差试估计面积的误差D 解解 我们把丈量我们把丈量D时所产生的误差当作自变量时所产生的误差当作自变量D的增量的增量 那么那么,利用公式利用公式 来计算来计算A时所产生的误差就是时所产生的误差就是24DA 函数函数A的对应增量的对应增量 当当 很小时很小时,可以利用微分可以利用微分dA近近似地替代增量似地替代增量 即即,A D ,A DDDAdAA 2 所所以以的的绝绝对对误误差差限限为为由由于于,05. 0mmDD ,05. 0 DD 而而,22DDDDdAA 因此得出因此得出A的绝对误差限约为的绝对误差限约为);