中考总复习专题二次函数与相似的结合

1、(1)(2)(3)当CGMfABE1目似时，求点 M的坐标.二次函数与相似的结合题型一：动点在线段上如图，平面直角坐标系 xOy中，已知B( 1,0), 一次函数y x 5的图像与x轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数yx2 bx c的图像经过点A、点B;(1)求这个二次函数的解析式；(2)点P是该二次函数图像的顶点，求APC的面积；(3)如果点Q在线段AC上，且 ABC与 AOQ相似，求点Q的坐标；如图，抛物线y ax2 2ax c (a 0)与x轴交于A( 3,0)、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0, 3),抛物线的顶点为M ；(1)求a、c的值；(2)求 tan MAC 的值

2、；(3)若点P是线段AC上一个动点，联结 OP;问是否存在点P,使得以点O、C、P为顶点的三角形与 ABC相似若存在，求出 P点坐标；若不存在，请说明理由；如图，已知抛物线 y ax2 x c的对称轴为直线 x=1,与x轴的一个交点为 A (-1 , 0),顶点为B.点C (5, mt在抛物线上，直线 BC交x轴于点E求抛物线的表达式及点 E的坐标；联结AB,求/ B的正切值；点G为线段AC上一点，过点 G作CB的垂线交【参考答案】24.（本题满分 分）12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（解:（1）二抛物线y ax2x c的对称轴为直线x=1分）.抛物线与x轴的一个交点为 A （-

3、11 2抛物线的表达式为 y -x220)，二 c，顶点 B （1, -2）点C （5, m在抛物线上， m 6. ，C点坐标为（5, 6）. 设直线BC的表达式为y=kx+b （kw0）,皿 6 5kb则，2 k b2,即BC的表达式为y=2x-4.4. E (2,0)(2)作CHLx轴，垂足为 H,彳BKx轴，垂足为 P,. C (5, 6), A (-1 , 0), .CH=6=AH . . / CAH45 . B (1, -2), A (-1 , 0), BP=2=AP. .Z BAP45 . .Z CAB90 分). CH=6=AH CHLx 轴，. . AC 6亚.BP=2=AP,

4、 BP±x 轴，,AB 272.AC 0.tan B 3.AB(3) / CAB90 , ./ 以/ACB=90 . GML BC / CGMIZ ACB90 . . / CGMIZ B (. CGMTABW目似， ./ BAE=/CMG/ BAE：/MCG情况1:当/ BACMG寸，/ BAE=45 , / CMG45 . GML BC ，/ MCE45 .，/ MC=/ EAB3）小题5 （21分）1分）1（2分）1分）1分)/ AE号/ CEM AB曰 CME-BE- 任.即 N5 _3_. .-.EM5. . .M (7,0). (1EM CE EM 3.5分)情况2：当/

5、BAE:Z MCG寸，/ BAE：/CAM，/ MCG/CAM. .MBMA (1 分)设 M (x, 0), C (5, 6), A (-1 , 0),(x 1)2 (x 5)2 62. .x=5. M(5, 0) . (1 分)题型二：动点在线段的延长线上2如图7,已知抛物线y x bx 3与x轴交于点A和点B (点A在点B的左侧)，与y轴交于点C ,且OB OC ,点D是抛物线的顶点，直线 AC和BD交于点E。(1)求点D的坐标；(2)联结CD、BC,求 DBC的余切值；(3)设点M在线段CA延长线上，如果 4EBM和4ABC相似，求点 M的坐标。【答案】(1)D(1,4) 3 (3)(

6、-6, 3) 552【解析】(1) .抛物线y x bx 3与轴的交于点 A和点B (点A在点B的左侧)与 y 轴交于点 C , C(0,3)，且 OB OC , B(3,0)9 3b 3 0,解得 b=2 yx22x 3;. .D (1,4)(2) .OB OCOCB OBC 45 ./DCy=45 ; /DCB 180 2 45 =90;cot DBCBCDC322,2CO BC -由y x 2x 3 ,可得，在AOG口 BCD43, 3,AO CDAOC DCB 90 AOCs BCD ,又 ACO CBD ; ACB ACO OCB E CBDE OCB 45 ;当 EBM和 ABC相

7、似时，可知 E CBA ;又点在线段的延长线上，ACB EBA ,可得 EMB ACB;MB BC 3.2;由题意，得直线的表达式为 y 3x 3;设M(x,3x 3).2 ,一一6八八(x 3) (3x 3) 18,解得 2-,X2 0 (舍去)56 3点M的坐标是(-,)5 5题型二：动点在对称轴上如图，抛物线yx2 bx c经过点B(3,0), C(0,3) , D为抛物线的顶点。(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)点C关于抛物线yx2 bx c的对称点为E点，联结BC, BE ,求 CBE的正切值；(3)点M是抛物线对称轴上一点，且4 口乂3和4 BCE相似，求点M的坐标。(1)

8、yx22x 3；12D(1,4)(2、 M 1, 2 或 M 1,-2 (3)3【解析】(1) .抛物线yx2 bx c经过点 B(3,0), C(0,3)9 3b c 0c 3可解得yx2 2x 3顶点坐标D(1,4)(2)过点E作EH垂直于BC交于点H点C与点E关于对称轴x 1对称E(2,3) , CE 2, CE平行于 x轴. OC OB 3OBC ECB 45 , BC 3 . 2在等腰直角三角形 ECH中，CE 2CH EH . 2在直角三角形EHB中，BHBC CH 22, EH 2tan CBEEHBH212,2 21CBE的正切值为 12(3)设抛物线对称轴x 1交x轴与点F在

9、直角三角形 DFB中，DF 4, BFBF 1tan BDF, BDFDF 2，点M在点D的下方2CBE，当 DMB与 BCE相似时，有下列两种情况:DM BC时，即DM婆可解得DM 6DB BE2、5.10M 1, 2DMDBBC时,即泰翡可解得dm 13M 1,一32综上所述：M 1, 2或M 1 -，32)动点在平移后的对称轴上在平面直角坐标系中，点A(4,0)是抛物线yax2 2x c上的一点，将此抛物线向下平移6个单位以后经过点 B(0,2),平移后的新抛物线的顶点记为C,新抛物线的对称轴和线段AB的交点记为P。(1)求平移后得到的新抛物线的表达式，并求出点C的坐标；(2)求 CAB

10、的正切值；(3)如果点Q是新抛物线对称轴上的一点，且4BCQ和4ACP相似，试求点Q的坐标。15【答案】(1) yx2 2x 2 ； C(1,3) (2) tan CAB (3) Q(1,)或 Q2(1, 1)32【解析】又.抛物线向下平移6个单位以后经过点B(0,2),平移后的抛物线解析式为：2 ccy ax 2x c 6。代人得：c 6 2,c 8，由得：a 1,c 8平移后得到的新抛物线的表达式：yX2 2x 2,顶点 C(1,3)(2) . A(4,0)、B(0,2)、C(1,3),易得 CB <2,CA 3%.'2,BA 2 <5由勾股定理逆定理得 ABC是直角三

11、角形,tan CABCBCA(3)设抛物线对称轴与 x轴相交于点H133 APHsMBO, PH - AH CP -222易得 BCP ACP 45 , CB V2,CA 3<2,CP -2.点Q只能在对称轴点 C的下方，BCQ和4ACP相似，有以下两种情况:3CB Cl CQ 走，CQ2，Q1(1月CQCBCA CQCP '23-2CQ4, Q2(1, 1)如图，已知抛物线 y ax2 2x c经过5综上，Q1(1,2)或Q2(i, i)题型四：动点在某直线上AC II x 轴.(1)求这条抛物线的解析式；(2)求 tan ABC 的值；ABC的三个顶点，其中点(第24题图)(

12、3)若点D为抛物线的顶点，点 E是直线AC上一点, 当 CDE与 ABC相似时，求点 E的坐标.【参考答案】24.解：(1)二抛物线y ax2 2x c经过点A(0,1)和点B(9,10)c 1 . 81a 18 c 101解得a 3c 1.这条抛物线的解析式为 y 1x2 2x 1 1分3(2)过点B作BH AC ,垂足为HQAC/x轴,A(0,1), B(9,10) ：H (9,1) BH AH 9 又Q BHA 90 AHAB是等腰直角三角形 HAB 45 1分Q AC / x轴，A(0,1)，点C也在该抛物线上:C(6,1)过点C作CG AB ,垂足为点GCG ACg,in45 3衣

13、1分AG ACgcos45 3 2BH 一 二又 在 RtA ABH 中，AB9V2sin 45 BG 9应3点6金 1分在 RtBCG 中，tan ABC CG - 1分BG 2(3)过点D作DK AC,垂足为K1 2点D是抛物线y -x 2x 1的顶点D(3, 2) 1分3 K(3,1) CK DK 3又 CKD 90，CD等腰直角三角形 DCK 45又 BAC 45 DCK BAC 1分当4CDE与 ABC相似时，存在以下两种情况：1 AABEC=2： E(4,1)EC . 6 EC ,=二 LCD 92 3.2AC 2ABDC 962啜 EC=9 E( 3,1)题型五：动点在x轴上如图

14、9,在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，=2,.(1)求这条抛物线的表达式；(2)联结，求的大小；(3)如果点在轴上，且与相似，求点的坐标.2017年青浦一模24】已知，如图8,在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 4ax 1与X轴正半轴交于点 A和点B ,与y轴交于点C ,且OB 3OC，点P是第一象限内的点，联结BC , PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形.(1)求这个抛物线的表达式；(2)求点P的坐标；(3)点Q在x轴上，若以Q、O、P为顶点的三角形与以点 C、A、B为顶点的三角形相似，求点Q的坐标.，一1 2 4【答案】(1)y -x -x 1P(2,2)点Q

15、坐标为(2,0)或(4,0)3 3 【解析】(1)由题意可得C(0,1)OB 3OC 3 B(3,0)代入y ax2 4ax 1得a(2)过点P作PE y轴，PF x轴(3) PBC为等腰直角三角形(4) PC PB(5) EPC CPF FPB CPF 90(6) EPC FPB Rt PCERt PFB(AAS) EC BF(7)可证四边形PEOF为正方形 EC OC OB BF OC 1,OB 3 EC 1 3 BF,解得 EC BF 1 OE OF 2 P 在第一象限内P(2,2)(9) AC J2,AB 2 C(0,1), A(1,0) OC OA ,可得 AOC 为等腰直角三角形O

16、AC 45 CAB 135 ,则点Q在y轴左侧i. Q1OP s CABOQ1 CACA，OQ1 OP OP ABAB£2 22Q1( 2,0)ii. POQ2 s CABOP CAOQ2 ABOQ2 OP 幽 2 2 -2 4 ACQ2( 4,0)若点Q在y轴右侧，不存在 综上所述：点Q坐标为(2,0)或(4,0)在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2 bx+c与x轴相交点A( 1,0)和点B ,与y轴相交于点C(0,3),抛物线的顶点为点 D ,联结 AC , BC , DB DC 。(1) 求这条抛物线的表达式及顶点 D的坐标；(2)求证：AC8 DBC(3) 如果点E在x轴上

17、，且在点B的右侧，BCE ACO,求点E的坐标。【答案】(1)；略(3) e(6，0)【解析】(1) :抛物线过点 A()和点， 将两点坐标代入解析式可得 ： 可解得根据顶点公式可得 2_ _(2)代入 y=0到 y = -(x- 1) +4求得 x1 = -1, x2 = 3 ,所以有 B(3,0)可以求得：OA = 1, OC = 3 AC = , 12 +32 = .10 ,CD = . (4 - 3)2 + (1 - 0)2 = ,2 BC = 32 +32 = 3、2BD = (4 - 0)2 +(2- 4)2 = 20 ,在 VACO和 VDBC 中，有 CD=-BC = -BD

18、=72 , AO OC ACACOs DBC(3)在OC±取一点F使得OF=OA由(2)得 B(3,0) , C(0,3) , OB=OC /OBC=45 ,/CBE=135OA=OF /AFO=45 , /AFC=135 , / AFC玄 CBE 又 / BCE4 ACO AFS BCECF AF CB BE , BE 3, OE 0B BE 6E(6,0)题型六：动点在抛物线上如图1,已知抛物线的方程 C1： y 2(x 2)(x m) ( m>0)与x轴交于点 R C,与y轴 m交于点E,且点B在点C的左侧.(1)若抛物线C1过点M2, 2),求实数m的值；(4)在第四象

19、限内，抛物线 C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与 BCE相似若存在，求 m的值；若不存在，请说明理由.图1【解析】(1)将M2, 2)代入y 工(x 2)(x m)，得2 4(2 m) 解得m 4.mm(4)如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于 F,过点F作FF'，x轴于F'.由于/ BCE= / FBC 所以当 CE 毁，即 BC2 CE BF 时， BCZ FBCCB BF设点F的坐标为(x, (x 2)(x m),目 m解得 x= m 2 .所以 F' (m+ 2, 0).(m 4) m2 4tBF由 BC2 CE BF ,得(m 2)2 J

20、m2 4解.1，7,、FF' EOm(x 2)(x m) 2,倚 m.BF' COx 2 m由CO里，得mmJ .所以CE BF . m24 BF、 八一-.整理，得0=16.此方程无 m图2图3图4如图4,作/ CBF= 45。交抛物线于 F,过点F作FF'，x轴于F',由于/ EBC= / CBF 所以"E 型，即 BC2 BE BF 时， BCEo BFCBC BF在 RtBFF'中，由 FF' =BF',得工(x 2)(x m) x 2. m解得 x=2m 所以 F' (2m,0).所以 BF' = 2m 2, BF 72(2 m 2).由 BC2 BE BF ,得(m 2)2 2& 阪2 m 2),解得 m 2 2J2 .综合、，符合题意的 m为2 2壶.2)动点在直线下方的抛物线24.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y x2 bx c的图像与x轴交于A、B两点,B点的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0, 3),点P是直线BC下方抛物线上的任意一(1)求这个二次函数 y x2 bx c的解析式;(2)联结PO、PC,并将 POC沿y