专题--数列求和的基本方法和技巧

1、数列求和的基本方法与技巧、利用常用求和公式求和：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。例1已知 10g3x1、等差数列求和公式：&n(aian)na1n(n1)d22、等比数列求和公式：&na1a1(1(qi)aianq1q(q1)3、nSnkk11n(n1)24、Snk2k11-n(n1)(2n1)65、nSnk3k1&(n1)2解：由 10g3xlog2310g3xlog32由等比数列求和公式得 Snx2x3xn（利用常用公式）x(1xn)F)例2设Sn=1+2+3+n,nCNf(n)Sn(n32)Sm的最大值。解：由等差数列求和公式得 Sn12n(n1)，Sn12(n1

2、)(n2）（利用常用公式）.f(n)Sn(n32)Sn1n2n234n641:64n34n18)2.n15050150的前n项和。、错位相减法求和：这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的数列an-bn的前n项和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列。例设数列an满足 ai2,anian3*22n1,(1)求数列an的通项公式;(2)令 bnnan,求数列的前n项和&。解：(I)由已知，当n1时，an1(an1an)(anani)(a2ai)a3(22n122n32)222(n1)10而&2,所以数列an的通项

3、公式为为 22n1(H)由 bnnann22n1知Sn12223325n22n1从而22Sn123225327n22n1一得(122)Sn2232522n1n22n1。即 Sn(3n1)22n129例3求和：S13x5x27x3(2n1)xn1解：由题可知，(2n1)xn1的通项是等差数列2n1的通项与等比数列xn1的通项之积设 xSn1x3x25x37x4(2n1)xn(设制错位)得(1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn(错位相减)n1再利用等比数列的求和公式得：(1x)Sn12x(2n1)xn1x(2n1)xn1(2n1)xn(1x)(1x)2Sn一，246例4求数列-

4、,丁,鸟,22223解:由题可知，与2n，条前n项的和。的通项是等差数列2n的通项与等比数列4的通项之积22Sn2222Ti：2n-得(1-)Sn22n2221（设制错位）三、倒序相加法求和Sn2n1这是推导等差数列的前2223242n22n2n2：1（错位相减）n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（&an）。例5求证：C；3C15C：(2n1)C；(n1)2n证明：设 SnC03C：5C2(2n1)cn00QL把式右边倒转过来得Sn(2n1)C(2n1)33cnC0（反序）又由 C：C：m可得Sn(2n1)C0(2n1)cn3C：cn+

5、得 2Sn(2n2)(c0cnC；C：)2(n1)2n（反序相加）Sn(n1)2n例6求 sin21sin22sin23sin288sin289的值解：设 Ssin21sin22sin23sin288sin289将式右边反序得一2一Ssin89sin2882一2一sin3sin2.2.sin1（反序）又因为 sinx22cos(90 x),sinxcosx1+得22S(sin122-2-cos1)(sin2cos2)2(sin89(反序相加)2cos89)=89S=44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别

6、求和，再将其合并即可。形如：anbn,其中an是等差数列;bn是等比数列;fn,n2k1,gn,n2k,kN例已知数列 an的通项公式为 an2n3n1,求数列 an的前 n 项和。解：Snaia2an2122252n3n1=21222n3n212n12n23n12=2n12.例7求数列的前n项和：111,-a7,解：设 Sn（111)(-a14)(2a7)1-n1a1(-n-a3n3n将其每一项拆开再重新组合得11Sn(12aa当a=1时,Sn1-n1)a(3n(13n当a1时,1na12)2)（分组）例8求数列n(n+1)(2n+1)解：设 akk(k1)(2k1)nSnk(k1)(2kk

7、1上二2(3n1)n2（分组求和）(3n1)n_aa的前2k31)=将其每一项拆开再重新组合得(3n1)nn项和。3k2kn(2k3k13k2k)nSn=2k1k3k2k=2(1323n3)3(1222n2)(1n）（分组）22_n2(n1)22n(n1)(2n21)n(n21)（分组求和）2_n(n1)(n2)2五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的把数列的通项分成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而其和.适用于类似（其中 an是各项不为0的等差数列，c 为常数）的数列，部分无

8、理数列和含阶乘的数列等。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项/1令bn=(nN),求数列bn的刖n项和 Tn.an1解：（I）设等差数列an的公差为d,因为a37,a5a726,所以有a2d2al10dn(n-1)2Sn=3n+2=n+2n。2（n）由（I)知 an2n+1，所以bn=2，一2an1(2n+1)2141111二一(-),n(n+1)4nn+1(1-1+122nn+1尸/1-9 尸岛，即数列bn的前n项和 Tn=n一。4（n+1）分解,anan1方法。 通项分解(1)anf(n1)f(n)snl_cosncos(ntan(n1)1)tann(3)an1n(n1)(4) an(6)

9、an(2n)2(2n1)(2n1)-(-)22n12n1an1n(n1)(n2)(n1)(n2)(8)ann2n(n1)2(n1)n1n(n1)2n小则01(n1)2n例已知等差数列an满足:a37a5a726,an的前n项和为Sn.(I)求an及Sn;(H)例9求数列2.23n解：设 a（裂项）则 Sn（裂项求和）=(2.1)、.2)(.n1.n)例10在数列an中,an，又 bn，求数列bn的前n项的和。解:anbn1n1i2nn12工2n18(1n（裂项）数列bn的前n项和Sn8(1二 8(12)(看)（裂项求和）8nn1例11求证:cos0cos1cos1cos2cos88cos89c

10、os12sin1解：设 S1cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin1cosncos(n一 tan(n1)1)tann（裂项）S1cos0cos11,=(tan1sin11cos1cos2tan0)(tan2cos88tan1)1=(tan89sin1，-、1tan0)=sin1cot1原等式成立1cos89（裂项求和）(tan3tan2)tan89tan88cos1一 sin21六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn0例12求cos1+cos2+cos3+cos178+cos17

11、9的值。解：设Sn=cos1+cos2+cos3+cos178+cos179:cosncos(180n)(找特殊性质项) Sn=(cos1+cos179)+(cos2+cos178)+(cos3+cos177)+(cos89+cos91)+cos90(合并求和)二0例13数列ai:a11,a23 自 2,an2an1an,求S2002.角牛：S2002=a1a2a332002由 a11,a23,a32,an2an1an可得a41,as3,a62,a71,a83,a92,a101,a113,a122,a6k11,a6k23,a6k32,a6k41,a6k53,a6k62,a6k1a6k2a6k3

12、a6k4a6k5a6k60(找特殊性质项),S2002aa2a3a2002(合并求和)=(a1a2a3a6)(a7a8a12)(a6k1a6k2a6k6)(a1993a1994a1998)a1999a2000a2001a2002=a1999a2000a2001a2002=a6k1a6k2a6k3a6k4=5例14在各项均为正数的等比数列中，若 asa69,求 10g3a110g3a210g3a10的值解：设 Snlog3a110g3a210g3a10由等比数列的性质 mnpqamanapaq（找特殊性质项）和对数的运算性质 logaMlogaNlogaMN 得=(log3a1aQ(log3a2ag)=10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征,110(10n1)910:当Un8=,即n=8时，f(n)maxSn(log3a110g3a10)(log3a210g3a9)(log3aslog3a6)（合并求和）=log39log39log39(10n181109n)例16已知数列an：a，求(n1)(n3)n1(n1)(anan1)的值解：(n1)(anan1)8(n1)(n1)(n3)(n2)(n4)（找通项及特征）4)(n（设制分组）(n、）8(-n3（裂项）（分组、裂项求和）(-)34(log3a5a6)然后再利用数