最小风险期货套期保值的有效性分析

1、最小风险期货套期保值的有效性分析 严小明    欧阳令南摘要：本文对期货交易中的套期保值比率及其有效性指标进行了研究。假设现货资产价格和期货合约中的标的资产价格均服从几何布朗运动，在最小方差风险条件下得出了直接套期保值和交叉套期保值的有效性指标的解析式，并分析了它们的性质。关键词：期货;套期保值；有效性指标；Ito定理；几何布朗运动。The Analysis of The Effective Index For The Minimum Risk Future Hedge YAN Xiao-ming, OUYANG Ling-nan(Management Schoo

2、l,Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200052 China)Abstract:In this paper,we studied the minimum risk hedge ratio and the effective index for futures trade,We assumed that all the risky assets prices followed the Winner process,at last,we obtained the minimum risk hedge ratio and the effective i

3、ndex formulas of the direct hedging and cross hedging for futures trade ,and we analysed their features.Key words:Future;Hedge ratio;Effective index;Ito Theorem;Geometric Brown Motion.一引言期 货交易的一个重要功能是规避价格风险，而这一功能的实现是靠期货套期保值来完成。套期保值分为买入套期保值和卖出套期保值。拥有现货而在期货市场上卖出期 货合约，持有空头头寸来为交易者将要在现货市场上卖出的现货资产进行保值，来防止

4、因现货的市场价格下跌而造成损失，称为卖出套期保值。而买入套期保值是指 经营者预先在期货市场上买入期货合约，持有多头头寸来为经营者将要在现货市场买入的商品进行保值，来防止因现货的市场价格上涨而带来的成本上升。套期保值 按期货合约的标的资产的不同情况，可分为直接套期保值和交叉套期保值。Herbst, Kare and J.F. Marshall作了较为明确的定义和详细研究，得出了很好的结果。直接套期保值是指所用的期货合约的标的资产在各方面（包括交割地方）都与需要保值的现货资产完全一致，否则就是交叉套期保值1。期 货套期保值的本质是套期者利用基差现货价格与相应期货价格之差来代替比其更大的现货资产所面

5、临的风险。所谓套期保值比率就是套期保值者持有期货合约头 寸大小与相应风险暴露现货资产大小间的比率。传统的套期保值理论强调期货市场风险避免的潜在作用，认为套期者一定持有与现货资产头寸部位相反，并且完全等 额的期货头寸，即套期保值比率为1,它被认为是完美的，即基差为零或基差不变，但在实际交易中，这种完美的套期保值是极少的。因此人们自然想知道以多大比率对所持有的风险资产进行套期保值最为合适呢？Herbst, Kare, Marshall针对现货价格的收敛性与复合套期保值的分散化的优点，研究了具体的优化套期保值比率1，与传统的套期保值比率h(t)=1相比有了很大提高。本文考虑了套期保值结束时收益的风险

6、在最小的情况下，得出了期货交易中，直接和交叉的套期保值比率的具体的解析表达式。二 假设条件与引理假设现货资产价格和相应的期货合约中的标的资产价格均服从维纳过程，其表达式为:           其中S和F分别代表现货资产和标的资产的价格， , 分别代表了现货资产与标的资产的预期收益率； , 分别为现货资产和标的资产价格的波动率； 均为维纳过程，即 , 为标准正态分布中任取的一个随机值，即 E( )=0和D( )=1 ,(其中 、 )2.引理1(Ito定理)  设随机变量x的取值，遵循维

7、纳过程，即      dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz其中dz是一个维纳过程，a,b是x,t的函数，则关于x,t的函数G遵纳如下过程：      引理2:设 而 ，则：        且有： 其中 代表均值为m,方差为n的标准正态分布。我们称服从对数正态分布的变量遵循几何布朗运动。引理3:设S服从几何布朗运动，则在时刻T有：引理4:若期货合约中的标的资产与相应的现货资产完全一致时，则有, ，则必：  

8、;      .证明：由Ito引理可得: 而： 所以： 即有： .引理5:设 .其中S和F分别为现货资产与期货合约中标的资产价格， 均为维纳过程。若 表示S和F的瞬间相关系数，则：以上引理（除引理4外）的详细证明参看文3   。三最小风险期货套期保值比率以及套期保值有效性指标的解析式假设有一套期保值者进行卖出套期保值，则在套期结束时的收益为：式中 分别表示t时刻和T时刻的现货价格，而 分别表示期货交割期为T的期货合约的标的资产在t时刻和T时刻的价格，h（T，t）为t时刻利用交割期为T的期货合约的套期保值比率。其中 和 在开始

9、套期时已经确定，而 和 则为随机变量，则收益R也为一随机变量4。则收益R的风险为：现考虑风险为最小的套期比率情况，把上式对h（T，t）求一阶，二阶导数：     =0>0求得： 由于 ，假设S和F均服从几何布朗运动，根据引理3和引理5可知：         (1)而当套期保值是直接套期保值时有 = = (引理4)，则：          (2)  如果投资者在此期间没有进

10、行套期保值，则其收益为：  其中 是一个随机变量,而 是一个常数。则：      则套期保值的有效性指标 为：        =       (3)而对于直接套期保值来说，有 = = ,则：=      （4）四举例计算某粮油进出口公司经销小麦，现买进，后卖出，担心在买卖过程中价格会降低而带来亏损，因此，就在期货市场作卖出套期保值。6 月1日买进现货小麦100吨，价格为1050

11、元/吨，打算于12月30日卖出这批小麦。而同时12月到期的小麦期货合约的价格为1080元/吨。如果现货 与期货的预期收益率分别为10%和12%；它们的标准差均为20%；它们的相关系数为0.8。则最小风险套期保值比率为：h（T,t） =0.7856而每张期货合约有10吨，100吨小麦折合10张期货合约，所以公司应该卖出8张（10 0.7856=7.856）小麦期货合约，才能使风险最小。套期保值的有效性指标为：=0.64说明这样的套期保值可以减少64%的不作套期保值的现货风险. 五结束语对于期货交易中买入套期保值的最小风险套期比率和有效性指标同样可以求出，这里不再讨论。最小风险套期比率和有效性指标不是一个静态不变数值，而是一个动态变量，它随套期开始时刻 以及瞬间相关系数 以及Tt的变化而变化。对于维纳过程中的 的实际求法，参看文3.只要掌握了解析式，就可以在实际套期保值中达到规避风险的目的。参考文献：1宋逢明等译 金融工程M。清华大学出版社，