高一数学必修一知识点

1、高一数学必修一知识点高一数学必修一知识点集合结构图集合结构图集合集合集合含义与表示集合含义与表示集合间关系集合间关系集合基本运算集合基本运算列举法列举法 描述法描述法 图示法图示法子集子集真子集真子集补集补集并集并集交集交集1.集合集合中中元素的性质元素的性质:自然数集（非负整数集）：记作自然数集（非负整数集）：记作 N 正整数集：记作正整数集：记作N* *或或N+ + 整数集：记作整数集：记作 Z有理数集：记作有理数集：记作 Q实数集：记作实数集：记作 R子集：子集：A B任意任意xA xB.真子集：真子集： A B xA，xB，但存在，但存在x0B且且x0 A.集合相等：集合相等：AB A

2、 B且且B A.空集：空集：.性质：性质：A，若，若A非空，非空， 则则A. 3.集合集合间的关系间的关系:子集、真子集个数：子集、真子集个数： 一般地，集合一般地，集合A含有含有n个元素，个元素，A的的非空真子集非空真子集 个个.则则A的子集共有的子集共有 个个;A的真子集共有的真子集共有 个个;A的的非空子集非空子集 个个;2n2n12n-12n-24.并集并集: B A |BxAxxBA，或BA5.交集交集:|BxAxxBA，且 B A BA6.全集全集:一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的涉及的元素元素,那么就称这个集合为那么就称这个集

3、合为7.补集补集:UAUAUA=x|x U，且x AUAUAU2: ABABA类比并集的相关性质类比并集的相关性质1: ABABA211-，M421，MxxyyN2练习练习变式：变式：xyxNRxyyMx3log1|,2|例例1已知集合已知集合Ax |2x5， 集合集合Bx | m1x2m1， 若若 ，求，求m的取值范围的取值范围.AB （1）B为空集（2）B不为空集2.1,2,02xxx2已知则或知识知识结构结构概念概念三要素三要素图象图象性质性质指数函数指数函数应用应用大小比较大小比较方程解的个数方程解的个数不等式的解不等式的解实际应用实际应用对数函数对数函数函函数数函数的概念函数的概念函

4、数的三要素：定义域，值域，对应法则是两个非空的集合是两个非空的集合, ,如果按照某如果按照某种对应法则种对应法则f f，对于集合，对于集合A A中的每中的每一个元素一个元素x x，在集合，在集合B B中都有唯一中都有唯一的元素的元素y y和它对应，这样的对应和它对应，这样的对应叫做从叫做从A A到到B B的一个函数。的一个函数。使函数有意义的使函数有意义的x x的取值范围。的取值范围。求定义域的主要依据求定义域的主要依据1 1、分式的分母不为零、分式的分母不为零. .2 2、偶次方根的被开方数大于等于零、偶次方根的被开方数大于等于零. .3 3、零次幂的底数不为零、零次幂的底数不为零. .4

5、4、对数函数的真数大于零、对数函数的真数大于零. .5 5、指、对数函数的底数大于零且不为、指、对数函数的底数大于零且不为1.1.6、实际问题中函数的定义域、实际问题中函数的定义域例例1 1 求函数求函数 的定义域。的定义域。2lgxyx)12(log)3()23(22)2(121)1(20 xyxxxyxxy求定义域待定系数法、换元法、配凑法待定系数法、换元法、配凑法1, 已知已知 求求f(x).xxxf3) 1(2, 已知已知f(x)是一次函数，且是一次函数，且ff(x)=4x+3求求f(x).3，已知，已知 求求f(x).21)1(22xxxxf求值域的一些方法：求值域的一些方法： 1、

6、图像法，、图像法，2 、 配方法，配方法，3、观察法，、观察法，4、分离常数法，、分离常数法，5、换元法，、换元法，6单调性法单调性法。12, 6xa)b)c)d) 3(log3xy21 2yxx243, 03yxxx 21y1xx 1、已知函数、已知函数f (x)=x+2, (x1)x2, (1x2)2x, ( x2 )若若f(x)=3, 则则x的值是的值是( )A. 1B. 1或或32C. 1, , 332D. 3D 3log,0,f-31,03xx xfxfx已 知求一个函数的三要素为：定义域、对应关系和值域，值域是由对应法则和定义域决定的判断两个函数相等的方法：1、定义域是否相等（定义

7、域不同的函数，不是相等的函数）2、对应法则是否一致（对应关系不同，两个函数也不同）例、下列函数中哪个与函数y=x相等23322(1)(2)(3)(4)yxytxyxyx反比例函数反比例函数 kyx1、定义域、定义域 .2、值域、值域 4、图象、图象k0k0a1时，时，f(x)=ag(x)的单调性与的单调性与g(x)相同相同; 当当0a0,2a)+f(-a)0,求实数求实数a a的取值范围的取值范围 一般地，设函数一般地，设函数 的定义域为的定义域为I，如果存，如果存在实数在实数M满足：满足：（1 1）对于）对于任意任意的的 , , 都有都有 ；（2 2）存在）存在 ，使得，使得 . . 那么那

8、么，称称M是函数是函数 的的最大值最大值. .xIf(x)My=f(x)x0If(x0)= =My=f(x)最值最值：几何意义：几何意义：函数函数 的最大值是的最大值是图象最高点的纵坐标图象最高点的纵坐标. .y=f(x) 一般地，设函数一般地，设函数 的定义域为的定义域为I，如果存，如果存在实数在实数M满足：满足：（1 1）对于）对于任意任意的的 , , 都有都有 ；（2 2）存在）存在 ，使得，使得 . . 那么那么，称称M是函数是函数 的的最最小小值值. .xIf(x)My=f(x)x0If(x0)= =My=f(x)最值最值：几何意义：几何意义：函数函数 的最小值是的最小值是图象最低点

9、的纵坐标图象最低点的纵坐标. .y=f(x)解：设解：设x x1 1，x x 2 2是区间是区间22，66上的任意两个实数，且上的任意两个实数，且x x1 1xx2 2，则，则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2) ) 2 2= = - -x x1 1-1-12 2x x2 2-1-12(x2(x2 2-1)-(x-1)-(x1 1-1)-1)(x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)-1)= =(x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)-1)2(x2(x2 2-x-x1 1) )= =例例1 1. .已知函数已知函数y= y= （x2x2，66），求函数），求函数的最大值和最

10、小值。的最大值和最小值。 2 2x-1x-12x2x2 2x0 ,0 , (x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)0-1)0于是于是f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0)0，即：，即：f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )所以函数所以函数y= y= 在区间在区间22，66上是减函数。上是减函数。 2 2x-1x-1因此函数在因此函数在 时取得最大值，最大值是时取得最大值，最大值是 在在 时取得最小值，最小值是时取得最小值，最小值是 。x=2x=22 2x=x=6 6例题例题：基本初等函数基本初等函数基本初等函数基本初等函数指数函数指数函数对数函数对数函数幂函数幂函数

11、aras=ar+s (a0,r,sQ)； (ar)s=ars (a0,r,sQ)； (ab)r=ar br (a0,b0,rQ).(5) ()(0,Z )nnnaabnbb 指数幂的运算._, 3133221aaaaaa，则已知7181230182,3+ -2327计算 logloglogaaaMNMN（）logloglogaaaMMNN(2)loglog()naaMnMnR(3)如果如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：有： log4 loglogcacNNa 5 loglogmnaanNNmloglog 10log1aaaNaaN对数的运算性质 指数函数与对数函数指数函数与对数函数函

12、数函数y = ax ( a0 且且 a1 )y = log a x ( a0 且且 a1 )图图象象a 10 a 1a 10 a 1性性质质定义域定义域定义域定义域值域值域值域值域定点定点定点定点xy01xy011xyo1xyo在在R上是上是增增函数函数在在R上是上是减减函数函数在在上是上是增增函数函数在在上是上是减减函数函数RR(0,)(0,)(1, 0)(0, 1)指数函数与对数函数指数函数与对数函数(1),(2),(3),(4), , ,1.xxxxyaybycyda b c d如图是指数函数的图象 则与的大小关系是（ ）.1.cdbaDdcbaA1.cdabB1.dbaC1 .B(1)

13、(2)(3)(4)OXy总结：在第一象限，越靠近y轴，底数就越大指数函数与对数函数指数函数与对数函数若图象若图象C1，C2，C3，C4对应对应 y=logax, y=logbx, y=logcx, y=logdx,则（则（ ） A.0ab1cd B.0ba1dc C.0dc1ba D.0cd1abxyC1C2C3C4o1D规律：在规律：在x轴轴上方图象自左上方图象自左向右底数越来向右底数越来越大！越大！log (21)log (5)aaxx 解不等式1( )lg1xf xx求的定义域和奇偶性 f92 34,1,2 ,xxxxx 知求f值域三、幂函数的性质三、幂函数的性质: :.所有的幂函数都通

14、过点所有的幂函数都通过点(1,1(1,1);如果如果0,0,则幂函数则幂函数在在(0,+)(0,+)上为减函数。上为减函数。 0,0,则幂函数则幂函数 在在(0,+)(0,+)上为增函数上为增函数; ;101为奇数时为奇数时, ,幂函数为奇函数幂函数为奇函数, , 当当为偶数时为偶数时, ,幂函数为偶函数幂函数为偶函数. .ayx解析式：(-,0)减减(-,0减减(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)公共点公共点(0,+)减减增增增增0,+)增增增增单调性单调性奇奇非奇非非奇非偶偶奇奇偶偶奇奇奇偶性奇偶性y|y00,+)R0,+)R值域值域x|x00,+)定义域定义域y=x-1y=x3y=x2 y=x 函数函数性质性质幂函数的性质幂函数的性质21xy 为幂函数，则为幂函数，则f（x）=方程与零点方程与零点1 1、函数的零点的概念、函数的零点的概念的叫做函数的实数使得)(0)(xfyxxf零点零点结论：结论：有实数根方程0)(xf轴有交点的图象与函数xxfy)(有零点函数)(xfy 零点对于函数而言，根对于方程而言零点对于函数而言，根