第一讲探索法解竞赛题

1、例例1:设设 满足满足证明证明:, ,a b c2221110bc aca bab c2 22 22 20()()()abcbc aca bab c例例2:已知已知 若对于所有若对于所有 ,均有均有 ,则则 的取值范围是的取值范围是( ) A. B. C. D. (2004年全国高中联赛题年全国高中联赛题)22( , )23 ,( , )Mx y xyNx y ymx bmRMNIb66,2266(,)222 3 2 3(,)332 3 2 3,33例例3:设正数设正数 均不为均不为1,且且试求试求的最大值的最大值., ,x y z1xy yz zx222222( , , )(1)(1)(1)

2、(1) (1)(1)f xyzxyzyzxzxy 例例4:已知已知 是绝对值不等于是绝对值不等于1的非零的非零实数实数,且且 ,求证求证: , ,a b c1abbcca2222222228111(1)(1)(1)abcabcabcabc例例5:已知已知 ,求证求证:, , ,a b c dR44441abcabc例例6:设设 ,且且 则则 , ,x y z R()xy yz zxx y zu 22222()()()222x ky kz kkuk在上式中取在上式中取 ,可以得到可以得到0,1推论推论1:设设 ,且且则则推论推论2:设设 ,且且则则, ,x y z Rxy yz zx u2222

3、()()()22x ky kz kku, ,x y z Rxy yz zx x y z u 2222()()()2221x ky kz kkuk例例7:(IMO49-2)设实数设实数 都不等于都不等于1,满足满足 ,求证求证:, ,x y z1xyz 2222221(1)(1)(1)xyzxyz例例8:(2004年泰国数学奥林匹克年泰国数学奥林匹克)设设 是不同的实数是不同的实数,求证求证:, ,a b c222222()()()5a bb cc aa bb cc a课堂练习课堂练习1:若若 是互不相同的实数是互不相同的实数,则有则有, ,a b c222()()()2abcb cc aa b

4、课堂练习课堂练习2:若若 是互不相同的实数是互不相同的实数,则有则有, ,a b c222()()()2a bb ccaa bb cc a作业作业:若若a,b,c是互不相同的实数是互不相同的实数,则则222()()()1abcabbcca例例9:(1998年日本年日本IMO选拔赛题选拔赛题)若若 ,且且 ,求证求证:, ,0 x y z 1111111xyz8xyz 例例10:(2004年全国联赛题年全国联赛题)如图如图,设点设点O在在ABC内部内部,且有且有则则ABC的面积与的面积与AOC的面积比为的面积比为( ) A. 2 B. 3/2 C. 3 D. 5/3230OAOBOCuuruu

5、u ruuu rr例例11:(第第53届罗马尼亚数学奥林匹克题届罗马尼亚数学奥林匹克题)求方程组求方程组的复数解的复数解.()()3()()3()()3x xyxzy yxyzz zx zy例例12: (2003年美国数学奥林匹克题年美国数学奥林匹克题)设设 是正实数是正实数,证明证明:, ,a b c222222222(2)(2)(2)82()2()2()a b cb c ac a bab cbc aca b 例例13: (2003年全国高中联赛题年全国高中联赛题) 过抛物线过抛物线 的焦点的焦点F作倾斜角为作倾斜角为60的直线的直线,若此直线与抛物线交于若此直线与抛物线交于A、B两点两点,

6、弦弦AB的中垂线与的中垂线与x轴交于点轴交于点P,则线段则线段PF的的长等于长等于( ) A. B. C. D.28(2)yx1 638316 338 3例例14:(2002年中国西部数学奥林匹克年中国西部数学奥林匹克) 设设 为方程为方程 的两个根的两个根, 令令 , (1)证明证明:对任意正整数对任意正整数n,有有 (2)求所有正整数求所有正整数 ,满足对任满足对任意正整数意正整数n,有有b整除整除 ., 210 xx nnna1,2,nL21nnnaaa, ,a b ab2nnana例例15:已知关于已知关于x的实系数二次方程的实系数二次方程 有两个实数根有两个实数根 ,证证明明:如果如果 ,那么那么 , 且且 . 20 xax b