复方阵若当标准形的求法探讨

1、复方阵若当标准形的求法探讨吴琼(湖南科技学院 数学与应用数学系 湖南永州 425100)摘要：本文讨论复方阵的若当标准形及其相应的过渡矩阵求法第一种方法探讨通过初等变换求出矩阵的初等因子，然后由初等因子可以得到矩阵的若当标准形，并求出相应的过渡矩阵；第二种方法探讨从寻求对应若当标准形矩阵的基底出发，利用有关特征值的理论来求矩阵的若当标准形及其过渡矩阵；第三种方法通过先求矩阵的特征值，然后再确定属于每一个特征值的若当块的个数和每一个若当块的级数来求矩阵的若当标准形关键词：若当标准形;不变因子;初等因子;过渡矩阵;特征值.The discussion about finding the Jorda

2、n canonicalForm of a complex square matrixWu Qiong(Department of Mathematic and Computational Science, Hunan University of Science and engineering, Yong zhou , Hunan,425100)Abstract: This paper discuss using three methods to find the Jordan canonical form of a complex square matrix and the transfer

3、matrix concerned. The first method, initially, through elementary transformation to find the elementary divisor of the matrix, then get the matrix Jordan canonical form and find the transfer matrix concerned. The second method, starting with seeking the basis relative to Jordan form matrix, then in

4、virtue of theory of characteristic values to work out the Jordan canonical form of a complex square matrix and the transfer matrix concerned. The third method, firstly, work out the eigenvalues of the matrix, then through deciding the Jordan blocks number of each eigenvalue and the progression of ea

5、ch Jordan block to work out matrix Jordan canonical form.Key words: Jordan canonical form; invariant divisor; elementary divisor; transfer matrix; eigenvalue1 引言与预备知识我们知道并不是每一个n阶复数矩阵A都相似于一个对角矩阵，但是每个n阶复数矩阵A都与一个若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若当标准形因为一个n阶复数矩阵A的若当标准形是一个下三角形矩阵（或上三角形矩阵），且其主对角线

6、上的元素正是矩阵A的特征多项式的全部的根（重根按重数计算），那么这个若当形矩阵的方幂运算和行列式都是比较容易求出的这对于我们求矩阵A的方幂和一些有关矩阵的理论证明都有很大的帮助文探讨了用初等因子求矩阵若当标准形的方法文2探讨了用初等变换求矩阵若当标准形的方法，同时给出了求相应的过渡矩阵的方法文3 探讨了用初等因子和初等变换求矩阵若当标准形的方法，同时也给出了求相应的过渡矩阵的方法文4从寻求对应若当标准形矩阵的基底出发，利用有关特征值的理论求矩阵A的若当标准形及过渡矩阵T的方法文5先求出矩阵的特征值，然后再确定属于每一个特征值的若当块的个数和每一个若当块的级数来求矩阵的若当标准形本文在大量分析现

7、有研究成果的基础上，对复方阵若当标准形的求法进行了一些初步的探讨，归纳总结出复方阵若当标准形的几种典型的求法引理1.11 任意一个非零的的矩阵都等价于下列形式的矩阵其中,是首项系数为1的多项式，且.这个矩阵称为的标准形定义1.1 标准形的主对角线上非零元素称为的不变因子.定义 1.2 把矩阵A的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计算)称为矩阵A的初等因子.定义1.3 形式为的矩阵称为若当块，其中是复数，由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵.定理 1.11 每个n级的复数矩阵A都与一个若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去

8、其中若当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的，它称为矩阵A的若当标准形.1 复方阵若当标准形的求法2.1 通过初等变换求出矩阵的初等因子，从而求出矩阵的的若当标准形定义 2.1 下面的三种变换叫做的初等变换：（1） 矩阵的两行（列）互换位置；（2） 矩阵的某一行（列）乘以非零的常数；（3） 矩阵的某一行（列）加另一行（列）的倍，是一个多项式.和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.例如，将单位矩阵的第j行的倍加到第行上得 仍用表示由单位矩阵经过第行第列互换位置所得的初等矩阵，用表示用非零常数c乘单位矩阵第行所得的初等矩阵.同样地，对一个作一次初等行变换就相当于在左边乘上相应的的初等矩阵；对作

9、一次初等列变换就相当于在的右边乘上相应的的初等矩阵.初等矩阵都是可逆的，并且有由此可以得到初等变换具有可逆性：设用初等变换变成，这相当于对左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘就变回，而这个逆矩阵仍是初等矩阵，因而由可用初等变换变回我们还可看出在第二种初等变换中，规定只能乘以一个非零常数，这也是为了使可逆的缘故为了书写方便，我们采用以下的记号：代表行（列）互换位置；代表用非零的常数去乘行（列）；代表把行（列）的倍加到行（列）引理 1 设如果多项式都与互素，则和等价定理 1 首先用初等变换化特征矩阵为对角形式，然后把主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因

10、式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是的全部初等因子证明 设把用初等变换化为对角形，其中每个的最高次项系数都为1将分解成互不相同的一次因式方幂的乘积：我们现在要证明的是，对于每个相同的一次因式的方幂 在的主对角线上按递升幂次排列后，得到的新矩阵与等价此时就是的标准形而且所有不为1的就是A的全部初等因子方便起见，先对的方幂进行讨论令于是 而且每个都与互素如果有相邻的一对指数，则在将与对调位置，而其余因式保持不动根据引理2.1.1，与，等价从而与对角矩阵等价然后对作如上的讨论如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含的方幂是按递升幂次排列为止依次对作同样处理，最后便得到与等价的对角矩阵，它的主对

11、角线上所含每个相同的一次因式的方幂，都是按递升幂次排列的由定理2.1.1我们得到用初等变换化矩阵的特征矩阵为标准形的方法，具体步骤如下：第1步：用初等变换求出的标准形，同时求出相应的可逆，使得：第2步：由知的不变因子，由此得出的初等因子，再由初等因子写出的若当标准形第3步：用初等变换将化成标准形 (因，所以等价，因而它们有相同的标准形)，同时求出可逆，使得: 第 4 步: 令 (1) 第5步:求和数字矩阵，使得： (2) (3)定理 2 设是一个阶复矩阵，则以上方法求得的就是所要确定的过渡矩阵，即若令则证明 由(1)式和(3)式得:所以 令 (4)因是数字矩阵，比较(4)的两边即可知: 必是数

12、字矩阵又 所以 所以 又因均为数字矩阵，所以上式右边第二项必为0，故，从而代入(4)式得: 所以 所以 所以 因此 ，若令注 从以上步骤可以看出，在具体求时，只需要求出、和即可而、和可以不必计算例 设，求的若当标准形，并求出相应的可逆矩阵，使得解 第一步，求的标准形，第二步：由第一步知，的初等因子为故的若当标准形为第三步：因与有相同的标准形故对施行初等变换将其化成所以 第四步： 第五步：设 所以 且容易检验知2.2 从寻求对应若当标准形的基底出发，利用矩阵特征值的有关理论求矩阵的若当标准形及过渡矩阵引理4 设是复数域上的线性空间，是的一个线性变换，的特征多项式为则可分解成不变子空间的直和其中

13、. 引理4 若分解成若干个不变子空间的直和在每个不变子空间中取基,并且把它们合并起来成为的一组基，则在这组基下的矩阵具有准对角形式其中即是在基下的矩阵引理4 设是的特征值，是的核，则 ( 1 ) ( 2 ) 证明 对于，则对于， 证毕因为是有限维线性空间，且所有，所以是有界的，即存在一个，使令为的维数引理4 设是的核，可以找到的一组基，使其中是的基证明：设是的一组基，可扩充为的一组基显然是的基假设是的一组基，且其中是的基，可以扩充为的基且其中是的基由归纳法可知引理成立证毕定理4 设是的核，可以找到的一组基，使其中是的基，且 (5)证明 设是的一组基，且都属于但不属于为了证明方便，令，并设 (6

14、)由引理2.2.3可知下面说明是线性无关的设若中有非零常数，则至少有一个具有非零系数，不然与线性无关相矛盾又由上式得所以又于是这说明这个线性组合可由线性表出，这与线性无关相矛盾所以线性无关这个线性无关集合可扩充为的基，而且，是的一组基对于这组基，当时，适合定理中的第一式对于中的基可以按以上方法求出的基，使当时，适合定理中的第一式依次下去即可获得中的一组基，使当时适合第一式，对于中的基适合定理中的第二式证毕设是的一组基，其中是的基，而且， 现在从新排列的顺序 (7)则这组基下的矩阵为 (8)定理4 每个级复数矩阵都与一个若当形矩阵相似证明 设为的线性变换在基下的矩阵且的特征多项式为由引理，可以分

15、解为不变子空间的直和其中由定理2.2.1及上讨论可知，对于每一个都有形式为(7)的一组基，因为是的直和，所以这些基的并是的一组基由引理，在这组基下的矩阵成准对角形，且对角线上的矩阵具有(8)的形式，所以这个准对角形矩阵即为若当形矩阵由此说明与一个若当标准形相似证毕利用定理，定理的证明过程，可归纳出求的若当标准形及可逆矩阵的方法例 ，求的若当标准形及可逆矩阵解 可看作上的线性变换在基下的矩阵第一步求的特征值其特征多项式为其特征值为2第二步求属于2的特征向量解方程组，即，其基础解系为第三步解方程组即所以其基础解系的个数为4已求得两个再取，于是，为的一组基，而且适合引理2.2.4第四步进行基变换，使

16、新基具有(5)的形式由上可知不属于由引理 可知所以适合(5)第五步交换以上基的次序是适合(7).令这时所以在这组基下的矩阵为所求可逆矩阵2.3 通过先求矩阵的特征值，然后再确定属于每一个特征值的若当块的个数和每一个若当块的级数来求矩阵的若当标准形. 引理 5 设为阶矩阵，令表示依次由个子矩阵所构成的分块对角矩阵，则有 定理5设为矩阵的一个特征值，令令则：( 1 )等于的属于特征值的若当块的个数；( 2 )等于的属于特征值的阶若当块的个数证明 设为的若当标准形，为的属于特征值的阶若当块的个数，则， 其中表示的属于特征值的阶若当块，为由的不属于特征值的若当块所构成的分块对角阵，设的阶为，则因和相似

17、，所以和也相似，从而故 所以的属于特征值的若当块的个数即得所证根据定理2.3.1的证明过程可得出求矩阵若当标准形的一般步骤为：第一步：求的特征多项式第二步：解方程求出的所有不同特征值：第三步：对每个，计算及及.则等于的属于特征值的若当块的个数，就是的属于特征值的阶若当块的个数；第四步：按第三步所确定的，写出相应的若当标准形矩阵，这就是的若当标准形例 求矩阵的若当标准形解 先求出的特征值所以，是的唯一4重特征值，下面计算又所以,即有一个1阶的属于特征值的若当块及一个3阶属于特征值的若当块，从而的若当标准形为 对于这种方法，本文用Matlab软件编写程序,计算出复方阵的属于每一个特征值的若当块的个

18、数和每一个若当块的级数，见附录A.将例中的矩阵的值代入到这个程序中去，所得的结果见附录B.结束语本文主要讨论用三种方法来求复方阵的若当标准形及其过渡矩阵第一种方法从我们比较熟悉的初等变换的方法来求矩阵的若当标准形及其过渡矩阵；第二种方法从寻求对应若当标准形矩阵的基底出发，利用有关特征值的理论求矩阵A的若当标准形及其过渡矩阵；第三种方法通过先求矩阵的特征值，然后再确定属于每一个特征值的若当块的个数和每一个若当块的级数来求矩阵的若当标准形这三种方法对于求阶数不是很大的矩阵的若当标准形及其过渡矩阵还是很方便的，但对于阶数较大的矩阵计算量就比较大，如果应用计算机及数值计算的有关知识解决这个问题，那就使

19、得这三种方法的适用更广泛,有待于以后进一步探讨主要参考资料1 北京大学数学系几何和代数教研室代数小组.高等代数M .北京:高等教育出版社,1988:333355.2 刘宁.与复矩阵的若当标准形相应的的过渡矩阵的计算J .广西师范学院学报（自然科学版）,2004,21(3):9597.3 钱吉林.高等代数题解精粹M 中央民族大学出版社,2002:401457.4 李密堂.标准形新求法J 河北大学学报（自然科学版）,1990,(1):917. 5 呙林兵.矩阵若当标准形的另一种求法J 太原师范学院报（自然科学版）,2006,5(3):3537.6 Steven RomanAdvanced Linear AlgebraM New York: Springer Verlag,1992.7 K. Ogata, State Space Analysis of Control Systems, Prentice Hall (1967) .致谢本文从选题到完稿都得到了指导老师李珍珠老师的悉心指导李老师尽管工作繁忙，但总是挤出时间来批阅、修改论文，对本人在论文撰写过程中遇到的困难都悉心帮助予以解决在此，本人对李老师表示真诚的感谢附录Afunction output=f(A,E,r,n)%