多元函数积分学上

1、第六章：多元函数积分学本篇重点是二重、三重积分及两类曲线积分、两类曲面积分的计算及应用，两类曲线积分的关系，两类曲面积分的关系，格林公式、高斯公式、斯托克斯公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知全微分求原函数 §6.1 二重积分本节重点是二重积分的计算及其在计算几何量和物理量上的应用 常考知识点精讲一、二重积分的概念1二重积分定义定义：设是平面有界闭区域上有界函数，将闭域任意分成个小闭区域 其中表示第个小闭区域，也表示它的面积在每一个上任取一点，作乘积，并作和，如果当各小区域的直径中的最大值趋于零时，这和的极限总存在（与分法及的取法均无关），则称此极限值为函数在闭区域上的二重积分，

2、记作，即 2二重积分的存在定理定理：若是平面有界闭区域上的连续函数，则二重积分一定存在3几何意义当连续函数时，二重积分表示以为底，为顶，侧面是以的边界为准线，母线平行于轴的柱面的曲顶柱体的体积一般情况，=平面上方的曲顶柱体的体积减平面下方的曲顶柱体的体积二、二重积分的性质设，在区域上可积，则 12（其中为常数）3，其中为区域的面积4若区域被有限条曲线分为两个区域，则 5在区域上若，则 特别地 6（估值定理）若在区域上，表示区域的面积，则 7（积分中值定理） 设函数在闭域上连续，表示区域的面积，则在上至少存在一点，使得 例1.1 设，则（A） （B）（C） （D）解：由于，由二重积分几何意义知，

3、表示曲顶柱体的体积，而，从而； 又因为在上，所以由二重积分保号性定理可知，故应选（D）例1.2 估计积分的值，则正确的是（A） （B）（C） （D）解：记，则的面积由于在区域上恒有 所以由估值定理可得 ，即，故应选（C）例1.3 设区域为中心在原点，半径为的圆域，则（A） （B） （C） （D）解：由积分中值定理可知，内至少存在一点，使得于是原式，故应选（B）三、二重积分的计算1利用对称性计算命题1：若积分区域关于轴对称，则 其中是在轴上方或下方部分命题2：若积分区域关于轴对称，则 其中是在轴左方或右方部分命题3：若积分区域关于直线对称，则 为在直线的上方或下方部分2利用直角坐标系计算命题1：

4、若积分区域是型域，其不等式表示为则命题2：若积分区域是型域，其不等式表示为则3利用极坐标计算命题1：如果区域包含极点，则 命题2：如果区域的边界穿过极点，则 命题3：如果区域远离极点，则 评注： 如果区域是圆、圆环、扇形域，而被积函数为形式，一定用极坐标计算； 如果利用直角坐标系计算二重积分，应适当选取积分的先后次序，选取的原则是：“先积的积分比后积的积分要简单”例1.4 设，则下列四个等式中不成立的是（A） （B）（C） （D）解：（A）是正确的因为积分区域对称于轴，而被积函数是关于的奇函数，所以积分值为零；（B）、（D）正确 因为积分区域对称于轴和轴，被积函数关于、 都是偶函数利用对称性可

5、知此选项正确；（C）不成立，积分区域虽对称于轴和轴，但被积函数关于、都是奇函数，因此等式左端的积分值应为0，而右端的积分值大于零故应选（C）例1.5 计算，其中由抛物线及直线所围成的区域解：见图 例1.6 计算，其中是由中心在原点、半径为的圆周围成的闭区域分析：由于积分域是圆域，被积函数形如，故选极坐标计算解：见图 四、二重积分的应用1几何应用 设曲面由方程给出，为曲面在平面上的投影区域，函数在上有连续一阶偏导数，则曲面面积 2设有一平面型的物体，在平面上占有区域，其上每一点的面密度为，在平面上点处有一质量为的质点，则 该物体的质量为： 该物体的质心坐标为： ， 该物体绕轴的转动惯量绕轴的转动

6、惯量： 绕轴的转动惯量： 绕直线的转动惯量： 该物体对质点的引力为：， 常考题型及其解法与技巧一、概念、性质的理解例 设，其中，则（A） （B）（C） （D）分析：由于积分区域相同，所以积分的大小可以通过被积函数的大小来确定解：由于，在直线的左下方，所以区域内的点都满足，因此，所以，根据积分的“保号性定理”可得故应选（A）例 平面区域，并设，则有（A） （B）（C） （D）解：，而积分区域关于都是对称的，所以；又因为在积分区域上，所以，故应选（B）二、交换积分次序 直角坐标系中变更积分次序直角坐标系中变更积分次序解题的一般思路：写出对应的二重积分积分域的不等式；画出的草图；根据图形写出另一种次

7、序下的二次积分例 交换积分次序，则解：该二次积分对应的二重积分的积分区域为 ，其不等式为 画出的草图，右图所示因此交换积分次序后的二次积分为 例 交换二次积分次序解：对应的二重积分积分区域的不等式为，则其中，画出的草图，右图所示 因此交换积分次序后的二次积分为 不同坐标系下二次积分的互换此类题解题的一般思路：写出对应的二重积分积分域的不等式；画出的草图；根据图形写出另一种坐标系下的二次积分例 变换积分为极坐标系下的二次积分为解：由已给积分限可知积分区域由圆周和直线围成画出的草图，右图所示在极坐标系下，和直线化为和故例 在极坐标系下的二次积分 在直角坐标系下可写成（A） （B）（C） （D）解：

8、在极坐标系下，区域的不等式为 画出的草图，右图所示所以在直角坐标系下的二次积分为 故应选（C）三、计算二重积分计算二重积分的一般思路：画出区域的草图；根据区域的特点利用对称性化简二重积分；选择坐标系；选择积分的先后次序；确定二次积分的上、下限，作定积分运算 积分域关于坐标轴或直线对称的二重积分此类积分一般应先利用二重积分的对称性进行化简例 设是平面上以和为顶点的三角形域，是在第一象限的部分，则等于（A） （B）（C） （D）解：画出的草图，如下图所示由于关于轴对称，所以，故应选（A）例 设为区间的正值连续函数，为任意常数，区域，则（A） （B） （C） （D） 解：画出的草图，如右下图所示区域

9、关于直线对称，而函数，满足，所以，即所以例 设区域由曲线，直线与围成，计算二重积分 解：画出的草图，如右下图所示用曲线将分为如图所示的，显然 且关于轴对称，关于轴对称利用二重积分的对称性可得 被积函数是分段函数的二重积分此类积分解题的一般思路： 利用积分域内的分段线将积分域划分，把二重积分表示成几个分段域上的二重积分的和；求各个分段域上的二重积分例 设，表示不超过的最大整数. 计算二重积分解：画出的草图，如右下图所示由于，故二重积分是分段函数的二重积分，为此用积分域内的分段线将积分区域分为两部分其中 ，.则 = =例 计算二重积分，其中.分析：被积函数含有绝对值，应当作分段函数看待利用分段函数

10、二重积分的解题思路完成.解：画出的草图，如右下图所示用积分域中的分段线将划分为两部分其中，于是 =+=例 设二元函数 计算二重积分，其中分析：此二重积分的计算应先用对称性化简，然后根据分段函数二重积分的计算方法完成解：设区域在第一象限的部分为，由对称性可得 记为与轴轴所围部分，为挖掉剩余部分则 其它例 求下列二重积分（1），其中是由抛物线，直线所围成的平面闭区域；（2），其中是由直线及轴所围的闭区域解：（1）画出的草图，如右下图所示由图可知此二重积分的计算应利用直角坐标完成又由于被积函数的原函数不能用初等函数表示，所以应化为先对后对的二次积分故 ；（2）画出的草图，如右下图所示由图可知此二重积

11、分的计算应利用直角坐标完成又由于函数的原函数不能用初等函数表示，所以应化为先对后对的二次积分 例 求下列二重积分（1），；（2），为圆所包围的在第一象限内的区域解：（1）画出的草图，如右下图所示由图形和被积函数的特点可知此二重积分需用极坐标来计算 故 ；（2）画出的草图，如右下图所示由图形和被积函数的特点可知此二重积分需用极坐标来计算 四、计算二次积分 此类型的题解题的一般思路：写出对应的二重积分积分域的不等式；画出的草图；写出另一种次序下的二次积分（有时需写出另一种坐标系下的二次积分）；计算新的二次积分例 求下列二次积分（1）；（2）；（3）解：（1） ，其中 ， 画出的草图，如右下图所示则

12、 （2）积分域画出的草图，如右图所示由的形状及被积函数的特点，需用极坐标计算则 （3）极坐标系下积分域画出的草图，如右下图所示 换成直角坐标计算，则 五、计算广义二重积分 与定积分一样，二重积分也可以推广到积分域是无限和被积函数在有界域内无界的情况，并称之为广义二重积分，其定义与广义定积分的定义类似例 计算，其中 解：这是无限区域上的广义二重积分 例 计算解：这里被积函数在区域内无界，故为广义二重积分当时， =当时， 故六、二重积分证明题例 证明：证明：交换积分次序得 例 证明：，其中证明：先把等式左端的二重积分化为二次积分 再在对的积分中作变量代换，则于是 例 设在上连续，证明 证明：把上式

13、左、右两端都表示成二重积分记，则 ，所以 从而评注：此不等式叫柯西不等式七、二重积分应用例 位于两圆之间的均匀薄片的质心坐标解：设为两圆之间的区域则质心坐标 （对称性） 所以质心坐标为例 设一由，轴及所围成的均匀薄板，其密度为，求此板绕直线旋转的转动惯量，并问为何值时，最小解： 令，而，所以当时，最小八、其它例3 设为连续函数，且，其中是由围成的区域，求解：令，由题设得对上式两端在区域上取二重积分，有 从而，所以故 例 设为连续函数，则分析：如果直接对求导，则因被积函数中也是的函数，又无法利用变量代换或定积分的性质去掉被积函数中的参变量，从而超出所学范围，因而需要寻求其它的方法，其中交换二次积

14、分次序是处理这一类问题的一种常用方法解：二次积分对应二重积分的积分域为 画出区域的图形如右图所示交换二次积分次序可得所以，故例 设函数，其中求函数的表达式解：当时，；当时，；当时，；当时，；所以 §6.2 三重积分本节重点是三重积分的计算及其应用 常考知识点精讲一、三重积分的概念1三重积分的定义定义：设是在空间闭区域上的有界函数，将任意分成个小闭区域 其中表示第个小闭区域，也表示它的体积在每一个上任取一点，作乘积，并作和如果当各小闭区域直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在（与的分法及的取法均无关），则称此极限值为函数在闭区域上的三重积分，记作，即 2三重积分存在定理定理：若在闭区域

15、上连续，则三重积分一定存在3三重积分的物理意义设有一物体在空间占有闭区域，在点的体密度为，假设在上连续，则该物体的质量为 二、三重积分的性质二重积分的性质可以推广到三重积分，例如积分中值定理：假设在闭区域上连续，是的体积，则至少存在一点，使得 三、三重积分的计算法1利用对称性计算命题1：如果区域关于平面对称，则其中是被平面分出来的一部分命题2：如果区域关于平面对称，则其中是被平面分出来的一部分命题3：如果区域关于平面对称，则其中是被平面分出来的一部分例2.1 计算，其中解：由于关于平面对称，而被积函数 是关于变量的奇函数，所以2利用直角坐标系计算（1）“先一后二”即将三重积分化为： 命题1：如果积分区域具有以下特点：“用平行于轴的直线穿过的内部时，与的边界曲面交于两点” 将向平面投影得投影域； 在内任取一点，过空间点作轴的平行直线，该直线交的