8-2正态分布均值的假设检验ppt课件

1、第二节第二节 正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验一、单个总体均值一、单个总体均值 的检验的检验二、两个总体均值差的检验二、两个总体均值差的检验(t 检验检验)三、基于成对数据的检验三、基于成对数据的检验(t 检验检验) 四、小结四、小结一、单个总体一、单个总体 均值均值 的检验的检验),(2 N)( ,. 12检验检验的检验的检验关于关于为已知为已知Z ),( 2 N体体在上节中讨论过正态总在上节中讨论过正态总: ,02的检验问题的检验问题关于关于为已知时为已知时当当 . : , : )3( ; : , : )2( ; : , : )1(010001000100 HHHHHH假设检验

2、假设检验假设检验假设检验假设检验假设检验 . , / )1 , 0(00检验法检验法检验法称为检验法称为这种这种来确定拒绝域的来确定拒绝域的的统计量的统计量分布分布为真时服从为真时服从讨论中都是利用讨论中都是利用ZnXZNH 一个有用的结论一个有用的结论和检验问题和检验问题检验问题检验问题0100:,: HH , 时时当显著性水平均为当显著性水平均为 下下的的拒拒绝绝域域为为显显著著水水平平为为 znx /0证明证明,10小小中中的的都都比比中中的的因因为为 HH, :,: 0100中中在在检检验验问问题题 HH从直观上看从直观上看, 合理的检验法则是合理的检验法则是:, 000kxxx 即即

3、过过分分大大的的差差与与若若观观察察值值. 10HH 接受接受则我们拒绝则我们拒绝. )( , 0待待定定拒拒绝绝域域的的形形式式kkx | 00为为真真拒拒绝绝HHP)(00kxP 由标准正态分布的分布函数由标准正态分布的分布函数 的单调性可知的单调性可知,)( nknxP/000 0/)(10 nk0/)(0 nk nk/)(00 ,/ nk , | 00 为为真真拒拒绝绝因因此此要要控控制制HHP ,/ nk只只需需令令 ,)/( znk 即即的拒绝域为的拒绝域为检验问题检验问题 :,: 0100 HH ,)/(0 znx ./ 0 znx 的拒绝域为的拒绝域为的的检检验验问问题题对对均

4、均值值已已知知时时在在方方差差故故正正态态总总体体 ,),(22N, :,: 0100 HH例例1 1 某切割机在正常工作时某切割机在正常工作时, , 切割每段金属棒切割每段金属棒的平均长度为的平均长度为10.5cm, 10.5cm, 标准差是标准差是0.15cm, 0.15cm, 今从今从一批产品中随机的抽取一批产品中随机的抽取1515段进行测量段进行测量, , 其结果如其结果如下下: :7 .102 .107 .105 .108 .106 .109 .102 .103 .103 .105 .104 .101 .106 .104 .10假定切割的长度服从正态分布假定切割的长度服从正态分布,

5、且标准差没有变且标准差没有变化化, 试问该机工作是否正常试问该机工作是否正常?)05. 0( 解解 0.15, , ),( 2 NX因为因为 要检验假设要检验假设 /2/0 znx 拒拒绝绝域域为为 , 5 .10:, 5 .10:10 HH 15/15. 05 .1048.10/ 0 nx 则则,516. 0 查表得查表得,645. 105. 0 z 1.645,0.516/ 05. 00 znx 于是于是 . , 0认为该机工作正常认为该机工作正常故接受故接受 H,15 n,48.10 x,05. 0 7 .102 .107 .105 .108 .106 .109 .102 .103 .1

6、03 .105 .104 .101 .106 .104 .10 /2/0 znx 拒绝域为拒绝域为)( ,. 22检验检验的检验的检验关于关于为未知为未知t . , , ),(22 显显著著性性水水平平为为未未知知其其中中设设总总体体NX . : , : 0100的拒绝域的拒绝域求检验问题求检验问题 HH , , 21的样本的样本为来自总体为来自总体设设XXXXn , 2未知未知因为因为 . / 0来来确确定定拒拒绝绝域域不不能能利利用用nX , 22的无偏估计的无偏估计是是因为因为 S, 来取代来取代故用故用 S . / 0来作为检验统计量来作为检验统计量即采用即采用nSXt ,/ 00Hn

7、sxt过分大时就拒绝过分大时就拒绝当观察值当观察值 ./ 0knsxt 拒绝域的形式为拒绝域的形式为),1(/ ,00 ntnSXH 为真时为真时当当,00HHP拒绝拒绝为真为真当当 , /00 knSXP定理三定理三根据第六章根据第六章2定理三知定理三知, , )1( 2/ ntk 得得 .)1(/ 2/0 ntnsxt 拒拒绝绝域域为为上述利用上述利用 t 统计量得出的检验法称为统计量得出的检验法称为t 检验法检验法. , /200 knSXP , )1( 2/ ntk 得得 . )1(/ 2/0 ntnsxt 拒绝域为拒绝域为.8.1 , , ),(22中中给给出出单单边边检检验验的的拒

8、拒绝绝域域在在表表的的关关于于未未知知时时当当对对于于正正态态总总体体 N 在实际中在实际中, 正态总体的方差常为未知正态总体的方差常为未知, 所以所以我们常用我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检验法来检验关于正态总体均值的检验问题检验问题.上述利用上述利用 t 统计量得出的检验法称为统计量得出的检验法称为t 检验法检验法. ./ 0knsxt 拒绝域的形式为拒绝域的形式为表8-1 如果在例如果在例1 1中只假定切割的长度服从正态分布中只假定切割的长度服从正态分布, , 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化? ?)05. 0( 解解 , ,

9、 ),( 22均为未知均为未知依题意依题意 NX , 5 .10:, 5 .10: 10 HH要要检检验验假假设设,15 n,48.10 x,05. 0 ,237. 0 s 15/237. 05 .1048.10/0 nsxt ,327. 0 查表得查表得)14()1(025. 02/tnt 1448. 2 ,327. 0 t . , 0无无显显著著变变化化认认为为金金属属棒棒的的平平均均长长度度故故接接受受 Ht t分布表分布表例例2 27 .102 .107 .105 .108 .106 .109 .102 .103 .103 .105 .104 .101 .106 .104 .10)1(

10、/20 ntnsx 某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命X(以小时计以小时计)服从正态分服从正态分布布, 均为未知均为未知. 现测得现测得16只元件的寿命如下只元件的寿命如下:170485260149250168362222264179379224212101280159问是否有理由认为元件的平均寿命大于问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时小时)?2, 例例3 3解解 ,225:,225:100 HH依题意需检验假设依题意需检验假设 ,05. 0 取取,16 n, 5 .241 x,7259.98 s拒拒绝绝域域为为)1(/0 ntnsx 7531. 1)15(05. 0 t 668

11、5. 0/0 nsxt )15(05. 0t .225 , 0小小时时大大于于认认为为元元件件的的平平均均寿寿命命不不故故接接受受 H例例4 一手机生产厂家在其宣传广告中声称他们生产一手机生产厂家在其宣传广告中声称他们生产的某种品牌的手机的待机时间的平均值至少为的某种品牌的手机的待机时间的平均值至少为71.5小时，一质检部门检查了该厂生产的这种品小时，一质检部门检查了该厂生产的这种品牌的手机牌的手机6部，得到的待机时间为部，得到的待机时间为 69，68，72，70，66，75 设手机的待机时间设手机的待机时间 ，由这些数据，由这些数据能否说明其广告有欺骗消费者之嫌疑？能否说明其广告有欺骗消费者

12、之嫌疑？),(2 NX05.0解解 问题可归结为检验假设问题可归结为检验假设5 .71:0 H5 .71:1 H)1(/0 ntnSXT 检验统计量检验统计量) 1(/0 ntnsxt 拒绝域拒绝域70 x102 s162. 1/0 nsxt 计算统计值计算统计值015. 2)5()1(05. 0 tnt 查查t分布表，分布表，得得故接受故接受H0，即不能认为该厂广告有欺骗消费者之嫌疑，即不能认为该厂广告有欺骗消费者之嫌疑)1(/0 ntnsxt 05. 0 设手机的待机时间样本值设手机的待机时间样本值 69，68，72，70，66，75) 1(015. 2162. 1 ntt 5 .71:0

13、0 H5 .71:1 H二、两个总体二、两个总体 的情况的情况),(),(222211 NN. . ,),(,),( , 22212121注注意意两两总总体体的的方方差差相相等等且且设设两两样样本本独独立立样样本本的的为为来来自自正正态态总总体体的的样样本本为为来来自自正正态态总总体体设设 NYYYNXXXnn 利用利用t检验法检验具有相同方差的两正态总检验法检验具有相同方差的两正态总体均值差的假设体均值差的假设. , , , 2212221均为未知均为未知方差方差是样本是样本分别是总体的样本均值分别是总体的样本均值又设又设 SSYX .)( : , : 211210的拒绝域的拒绝域为已知常数

14、为已知常数求检验问题求检验问题 HH . 取显著性水平为取显著性水平为 : 统计量作为检验统计量统计量作为检验统计量引入引入 t,11)(21nnSYXtw .2)1()1( 212222112 nnSnSnSw其中其中 ,0为真时为真时当当H).2(21 nntt定理四定理四根据第六章根据第六章2定理四知定理四知,其拒绝域的形式为其拒绝域的形式为,11)(21knnsyxw , 00HHP拒绝拒绝为真为真 knnSYXPw2111)(21).2(212/ nntk 从从而而 .)( : , : 211210的拒绝域的拒绝域为已知常数为已知常数求检验问题求检验问题 HH knnSYXPw211

15、1)(221得得 2111)(nnsyxtw ).2(212/ nnt 关于均值差的其它两个检验问题的拒绝域关于均值差的其它两个检验问题的拒绝域见表见表8.1, 当两个正态总体的方差均为已知当两个正态总体的方差均为已知(不一定相不一定相等等)时时,我们可用我们可用 Z 检验法来检验两正态总体均值检验法来检验两正态总体均值差的假设问题差的假设问题, 见表见表8.1 . 0 的的情情况况常常用用 .)( : , : 211210的拒绝域的拒绝域为已知常数为已知常数检验问题检验问题 HH表8-1例例4 4 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的

16、得率法的建议是否会增加钢的得率, , 试验是在同一只试验是在同一只平炉上进行的平炉上进行的. . 每炼一炉钢时除操作方法外每炼一炉钢时除操作方法外, , 其其它条件都尽可能做到相同它条件都尽可能做到相同. .先采用标准方法炼一先采用标准方法炼一炉炉, , 然后用建议的新方法炼一炉然后用建议的新方法炼一炉, , 以后交替进行以后交替进行, , 各炼了各炼了1010炉炉, , 其得率分别为其得率分别为(1)(1)标准方法标准方法: 78.1, : 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4

17、, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; (2)76.7, 77.3; (2)新方法新方法: :79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 设这两个样本相互独立设这两个样本相互独立, 且分别来自正态总且分别来自正态总体体),( ),(2221 NN和和 ,221均为未知均为未知 问建议的新操作方法能否提高得率问建议的新操作方法能否提高得率? )05. 0( 取取解解 0. : 0, : 211210 HH需需要要检检验验假假设设分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差分别求出标准方法和新方法下的样本均值

18、和样本方差:,101 n,23.76 x,325. 321 s,102 n,43.79 y,225. 222 s,775. 221010)110()110( 22212 sssw且且,7341. 1)18( 05. 0 t查查表表可可知知查表查表8.18.1知其拒绝域为知其拒绝域为).2(21 nntt ,11)(21nnSYXtw 0 101101 wsyxt因为因为295. 4 , 0H所以拒绝所以拒绝即认为建议的新操作方法较原来的方法为优即认为建议的新操作方法较原来的方法为优.附表附表8.18.1,7341. 1)18(05. 0 t,7341. 1)18( 05. 0 t查查表表可可知

19、知).2(21 nntt 拒拒绝绝域域,11)(21nnSYXtw 0 0. : 0, : 211210 HH检检验验假假设设例例5 5 有甲、乙两台机床加工相同的产品有甲、乙两台机床加工相同的产品, , 从这两从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干件台机床加工的产品中随机地抽取若干件, , 测得产测得产品直径品直径( (单位单位:mm):mm)为为机床甲机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9机床乙机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显

20、著试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著差异差异? 假定两台机床加工的产品直径都服从正态假定两台机床加工的产品直径都服从正态分布分布, 且总体方差相等且总体方差相等.解解 , ),(),( ,2221 NNYX和和分别服从正态分布分别服从正态分布和和两总体两总体依题意依题意 , 221均为未知均为未知 )05. 0( . : , : 211210 HH需需要要检检验验假假设设 . : , : 211210 HH假假设设, 81 n,925.19 x,216. 021 s, 72 n,000.20 y,397. 022 s,547. 0278)17()18( 22212 sssw且且,160

21、. 2)13( 05. 0 t查查表表可可知知7181 wsyxt,160. 2265. 0 , 0H所以接受所以接受即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异. 2111)(nnsyxtw).2(212/ nnt 拒绝域为：拒绝域为： 0. : 0, : 211210 HH或或三、基于成对数据的检验三、基于成对数据的检验( t ( t 检验检验 ) ) 有时为了比较两种产品有时为了比较两种产品, 或两种仪器或两种仪器, 两种方两种方法等的差异法等的差异, 我们常在相同的条件下作对比试验我们常在相同的条件下作对比试验, 得到一批成对的观察值得到一批成对的观

22、察值. 然后分析观察数据作出然后分析观察数据作出推断推断. 这种方法常称为逐对比较法这种方法常称为逐对比较法.例例6 6 有两台光谱仪有两台光谱仪Ix , Iy ,Ix , Iy ,用来测量材料用来测量材料中某种金属的含量中某种金属的含量, , 为鉴定它们的测量结果有无为鉴定它们的测量结果有无显著差异显著差异, , 制备了制备了9 9件试块件试块( (它们的成分、金属含它们的成分、金属含量、均匀性等各不相同量、均匀性等各不相同), ), 现在分别用这两台机现在分别用这两台机器对每一试块测量一次器对每一试块测量一次, , 得到得到9 9对观察值如下对观察值如下: : 11. 013. 012.

23、011. 018. 018. 012. 009. 010. 0%89. 077. 068. 059. 078. 032. 052. 021. 010. 0%00. 190. 080. 070. 060. 050. 040. 030. 020. 0% yxdyx问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异?解解 本题中的数据是成对的本题中的数据是成对的, 即对同一试块测出即对同一试块测出一对数据一对数据, 我们看到一对与另一对之间的差异是我们看到一对与另一对之间的差异是由各种因素由各种因素, 如材料成分、金属含量、均匀性等如材料成分、金属含量、均匀性等因素

24、引起的因素引起的. 这也表明不能将光谱仪这也表明不能将光谱仪Ix 对对9个试个试块的测量结果块的测量结果(即表中第一行即表中第一行)看成是一个样本看成是一个样本, 同样也不能将表中第二行看成一个样本同样也不能将表中第二行看成一个样本, 因此不因此不能用表能用表8.1中第中第4栏的检验法作检验栏的检验法作检验.)01. 0( 而同一对中两个数据的差异则可看成是仅而同一对中两个数据的差异则可看成是仅由这两台仪器性能的差异所引起的由这两台仪器性能的差异所引起的. 这样这样, 局限局限于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因素素, 而只考虑单独由仪器的性能所产生

25、的影响而只考虑单独由仪器的性能所产生的影响.表中第三行表示各对数据的差表中第三行表示各对数据的差,iiiyxd ),( , 221 dnNddd来来自自正正态态总总体体设设 ., 2均为未知均为未知这里这里 d若两台机器的性能一样若两台机器的性能一样,21属随机误差属随机误差则各对数据的差异则各对数据的差异nddd随机误差可以认为服从正态分布随机误差可以认为服从正态分布, 其均值为零其均值为零. 0. : 0, : 10 ddHH 要要检检验验假假设设,221sddddn样样本本方方差差的的样样本本均均值值设设按表按表8.1中第二栏中关于单个正态分布均值的中第二栏中关于单个正态分布均值的 t

26、检检验验, 知拒绝域为知拒绝域为 , )1(/0 2/ ntnsdt , 9 n由由,3554. 3)8()8(005. 02/ tt,06. 0 d,1227. 0 s467. 1 t可知可知,3554. 3 , 0H所以接受所以接受认为这两台仪器的测量结果无显著的差异认为这两台仪器的测量结果无显著的差异. 四、小结四、小结本节学习的正态总体均值的假设检验有本节学习的正态总体均值的假设检验有:; . 1检验检验的检验的检验单个总体均值单个总体均值Z ; . 221检验检验的检验的检验两个总体均值差两个总体均值差t ;. 3检验检验基于成对数据的检验基于成对数据的检验t正态总体均值、方差的检验

27、法见下表正态总体均值、方差的检验法见下表 ) ( 显著性水平为显著性水平为 4)(22221212121未知000) 1()2()2(212/2121nnttnnttnntt2)2() 1(1121222211221nnSnSnSnnSYXtww0H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(2000已知)(2000未知),(2221212121已知nXZ/0nSXt/0222121nnYXZ0000000002/zzzzzz) 1() 1() 1(2/nttnttntt2/zzzzzz32 1T-检验7),(21222122212221未知)(000成对数据DDDnSDtD/0000DDD) 1(

28、) 1() 1(2/nttnttntt0H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(202202202未知2022) 1(Sn2221SSF 202202202222122212221) 1() 1() 1() 1(22/1222/221222nnnn或) 1, 1() 1, 1() 1, 1() 1, 1(212/1212/21121nnFFnnFFnnFFnnFF或65附表8.1 40H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(2000已知)(2000未知),(2221212121已知nXZ/0nSXt/0222121nnYXZ0000000002/zzzzzz) 1() 1() 1(2/nttnttntt2/zzzzzz)(22221212121未知000) 1()2()2(212/2121nnttnnttnntt2)2() 1(11212222112