复变函数-laplace变换

1、第九章第九章 拉普拉斯拉普拉斯变换变换1. Laplace变换的概念变换的概念 2. Laplace变换的性质变换的性质 4. Laplace变换的简单应用变换的简单应用 9.1 Laplace变换变换3. Laplace逆逆变换变换(1),)(2)Fourier 变换的两个限制定义于 绝对可积的条件太强一、一、 Laplace变换的概念变换的概念 若积分是一个复变量,定义在设函数定义stf,), 0)( ,的某一个域内收敛在复平面内sdtetfst 0)( 0)()(dtetfsFst相应地记为变换,称为),()()(tfsFtfL 的Laplace.数分别为象原函数和象函和记为的逆变换,为

2、)()()()(),()(1sFtfsFtfsFtf L(1)数则由此积分所确定的函( )( ) ( )( )00( )0( )( ) ( )tf tf t u t ef tttf tf tf t u t注 的拉普拉斯变换即为 ( 0) 的傅立叶变换；拉普拉斯变换只用到 在 部分，为方便起见一般约定在 时 ，即 等价于 .0,00,1)(变换的求单位阶跃函数例1.Laplace tttu 0)(dtetustLsesdtestst1100 stu1)( L解：解：所以，所以，Re( )0s 这个积分在收敛，而且有求函数求函数例例2.2. 0)(0dtedteeetksstktktL()011

3、( )(Re()0)s k tf tesksksk L解：解：这个积分当Re(s-k)0时收敛，而且时收敛，而且ktetf )(kLaplace（ 为复数）的变换。11(Re0)1(Re0)i tssessi例如LL例例3为实数。为实数。变换，变换，的的求求kLapacekttfsin)( 解：00()()00sinsin21122iktiktststs ik ts ik teektktedtedtiedtedtii =L()0()0Re()Re()Re( )0s ik ts ik tsiksiksedtedt当 时 和 都收敛，而且有,10)(iksdtetiks iksdtetiks 10

4、)(所以22111sin2,Re( )0ktisiksikksskL2222cos,Re( )0cos3 ,Re( )092sin2 ,Re( )04sktsskstsstss同理可得 如 LLL ( )1tL例例( )( ) cosLaplacef ttt 求求 的的变变换换解解000 ( )( )( ) coscos1stststtf tf t edtttedtte =L0( )( )stF sf t edt 例4 计算积分2cos3 dtett+0解2cos3 9stsL得2222cos3 d913tssetts+0及由;连续的任一有限区间上分段在0)1( t,)(,)2(指数函数的增长

5、速度不超过某一时当tft 使得及即存在常数,00 CM|( ) |Ctf tMe)0( t 0)()(dtetfsFst若函数若函数f(t)满足下列条件：满足下列条件：Laplace变换的存在定理变换的存在定理在半平面在半平面Re(s)C上一定存在，并且上一定存在，并且F(s)在在Re(s)C内是解析函数。内是解析函数。 则则f(t)的的Laplace变换变换二、二、 Laplace变换的性质变换的性质 , ),()(11sFtf L)()(22sFtf L)()()()(2121sFsFtftf L)()()()(2111211sFsFsFsF LLL- 1. 线性性质线性性质若若为常数为常

6、数,则则)(21iktiktee L2121iktiktee LL iksiks112122kss )0)(Re( s22sinkskkt L)0)(Re( s例例1.同理可得同理可得cos ktL为实数。为实数。变换，变换，的的求求kLapacekttfcos)( 1( )( ),0()()sf tF saf atFaa2.相似性质若 则 LL 3.微分性质微分性质则若),()(sFtf L)0()()(fssFtf L(1) 象原象原函数的微分性质函数的微分性质则有若),()(sFtf L)0()0()()0()()(2fsfsFsftfstf LL)0(.)0()0()()()1(21)

7、( nnnnnffsfssFstfL)(Re(Cs 推论推论一般地，有一般地，有有时,当初值特别地,0)0(.)0()1( nff)()(ssFtf L)()(2sFstf L)()()(sFstfnn L( )( )f tF s此 性 质 可 以 将 的 微 分 方 程 转 换 为 的 代 数 方 程变换的求例2.Laplacemttf )()为正整数1( m, !)()(mtfm 由于0)0(.)0()1( mff且)()()(mmmmtstfstfLLL 1!1mmmmtmssLLLsdtest110 L1! mmsmtL)0)(Re( s解：解：由微分性质有：由微分性质有：即即注意到注

8、意到所以所以, 0)()(2 tyty , 0)0( y )0(y0)()0()0()(22 sYysysYs )()(tysYL 22)( ssYtsYty sin)()(1 L例例3. 求解微分方程求解微分方程解：对方程两端取解：对方程两端取Laplace变换，并利用线性性质变换，并利用线性性质 及微分性质，有及微分性质，有其中，其中，代入初值，即得代入初值，即得则若),()(sFtf L)()(ttfsFL )(Re(Cs (2) 象函数的微分性质象函数的微分性质sinkttL求例4.,sin22kskkt L因为22222)(2sinkskskskdsdktt L2222222)(co

9、skskskssdsdkttL 同理可得：同理可得：解：解：由象函数的微分性质可知由象函数的微分性质可知)(Re()()1()()(CstftsFnnn L一般地，有.cos)(22变换的求例5.Laplacetttf 2221cos (1 cos2 )2ttttLL 4121222sssdsd32326)4()3224(2 ssss解：解：则若),()(sFtf L)()(1)(0 sFsdttftL 4.积分性质积分性质象原函数的积分性质 )(1)(.000sFsdttfdtdtntttn 次次L一般的有象函数的积分性质：象函数的积分性质：则若),()(sFtf L sdssFttf)()

10、(L)()(1 sdssFttfL或或 0)(则有存在,若特别地,dtttf)()()(00 dssFdtttf次次nsssndssFdsdsttf )(.)(L一般地，有。，即得令事实上0)()()(0 sdssFdtettfttfsstL tdttt0sinL求例6.,sin ttL先求,11sin2 stL由于2sin1arctanarctan12sstdssstsL解：解：由象函数积分性质，有由象函数积分性质，有0sin1sin1arctan2tttdtststsLL0200sin1arctan12tdtdssts再由积分性质，可得再由积分性质，可得00( )( )f tdtF s d

11、st另外由 得：。计计算算积积分分例例 07dtteebtatbsaseeeebtatbtat 11:LLL由于由于解解:利利用用像像函函数数积积分分性性质质得得11lnatbtsseesasbdslntsasbsbsaL 0dteteeteestbtatbtatL而而abdtteesbtatln, 00 则则令令则若),()(sFtf L)()(asFtfeat L)(Re(cas 4. 位移性质位移性质a其中 为一复常数sin,kteteatmat LL求例8.1! mmsmtL22sinkskkt L1)(! mmatasmteL22)(sinkaskkteLat 解：利用位移性质及公式

12、：解：利用位移性质及公式： ( )( ),0,( )0,f tF stf t若当时则对任意非负L有实数 , )()(sFetfs L1( )() ()seF sf tu tL5. 延迟性质延迟性质)(tf)(tft.而得轴向右平移距离的图象沿的图象是由 ttftf)()( 0( )0,()()tf tf tf tt时，此时，注意:性质中要求当在时为零,故应理解为 tttututf,1,0)(),()(其中,本性质也可叙述为: 对任意非负实数有)()()(sFetutfs L.变换的求例9.Laplace tttu,1,0)(stu1)( L sestu 1)(L由延迟性质，有由延迟性质，有解：

13、解： 由于由于 ()2( )( )sin ,f tf tu ttL例10. 设求11sin2 stL () ()sin()222f tu ttLLsin2tesL 122 ses 解：解：由于由于所以所以周期函数的拉普拉斯变换 是周期为( )f tT的周期函数,即()f tT( )(0)f tt 可以证明:若当 在一个周期上连续或分段连续时,则有( )f t ( )f t01( )1 t Tss Tf t edteL6 6 .卷积性质卷积性质 卷积的概念卷积的概念则定义时如果当, 0)()(,210 tftft tdtfftftf02121)()()(*)( 的卷积。与为)()(21tftft

14、tetetfttf*)()(21即求的卷积,和求例11. tttdeet0* ttttdee00 ttet0 tet 1解：根据定义，有解：根据定义，有)(*)()(*)(1221tftftftf (交换律)(1)123123( )*( )*( )( )*( )*( )f tf tf tf tf tf t(2)(结合律) 1231213( )*( )( )( )*( )( )*( )f tf tf tf tf tf tf t(3)(分配律) 卷积具有以下性卷积具有以下性质质,变换存在定理中的条件满足Laplace设)(),(21tftf112212( )( ),( )( ),( )*( )f

15、tF sf tF sf tf t且则变换一定存在,且LL的Laplace)()()(*)(2121sFsFtftf L)(*)()()(21211tftfsFsF L2. 卷积定理卷积定理或或且中的条件,变换存在定理满足若Laplace),.,2 , 1()(nktfk )()(sFtfkk L),.,2 , 1(nk 则有则有)()()()(*)(*)(2121sFsFsFtftftfnn L222( ),( )(1)sF sf ts例.若求11) 1()(22222 sssssssF因为解：解：所以所以)()(1sFtf LttssssLcos*cos11221 tdt0)cos(cos

16、tdtt0)2cos(cos21 )sincos(21)2sin(21cos210tttttt 221)134(1ssL求例13.222211(413)(2)3 sss解：解：22223)2(33)2(391 ss根据位移性质，有根据位移性质，有test3sin3)2(32221 L)3sin(*)3sin(91)134(122221tetessLtt dteett)(3sin3sin91)(202 ttdte02)(3sin3sin91 ttdtte023cos)36cos(2191 tttte023cos6)36sin(181 )3cos33(sin5412tttet 拉普拉斯逆变换 10

17、2js tjf tF s e dstj 右端的积分称为拉氏反演积分.它是一个复变函数的积分,但计算比较麻烦.利用留数定理求拉氏逆变换121( )Re( ),( )0,1( )Re ( ),2njnststkkjF sscs sssF sF s e dss F s esj 设除在半平面内有限个孤立奇点外是解析的，且当时，则有1( )Re ( ), (0)nstkkf ts F s est即212122211( )( )(2)(1)21( )( )Re ( ), (0)( )Re ( ),2Re ( ),1()(1)(2)nstkkststststtttssF sf tssssF sf ts F

18、s estf ts F s es F s eeeeetess例 已知，求解 由于 ， 分别为像函数 的简单极点与二阶极点，由 及留数计算法则有 11F ss s例例 已已知知( )f t求求 11111F ss sss解解：利利用用部部分分分分式式法法求求解解 1tf te 所所以以三、三、Laplace变换的简单应用变换的简单应用 求解线性常微分方程的步骤：求解线性常微分方程的步骤：(1) 对微分方程取对微分方程取Laplace变换转化为代数方程变换转化为代数方程;(2) 解代数方程得到象函数解代数方程得到象函数;(3) 对象函数取对象函数取Laplace逆变换，得象原函数，即逆变换，得象原

19、函数，即 微分方程的解。微分方程的解。0)(4)( tyty求例1.4)0(, 2)0(的解满足 yy),()(sYty L设对方程两端两端取Laplace变换，则 解解:0)(4)0()0()(2 sYysysYs利用初始条件，得利用初始条件，得0)(442)(2 sYssYs4442442)(222 ssssssY取取Laplace逆变换，得逆变换，得ttsYty2sin22cos2)()(1 L为所求特解。为所求特解。.求例2.的特解满足1)0(, 2)0(223 yyeyyyt解：解： ( )( ),y tY s设对方程取变换,得:LLaplace112)(2)0(3)(3)0()0(

20、)(2 ssYyssYysysYs代入初始条件，得：代入初始条件，得：7212)()23(2 sssYss)2)(1)(1(552)(2 ssssssY21371141131 sss取取Laplace逆变换，得逆变换，得ttteeety237431)( 例例3. 求解微分方程组：求解微分方程组：,2)(2)(3)()()()( ttetytxtyetytxtx1)0()0( yx解：解：得并代入初始条件,变换,对方程两边取令Laplace),()(),()(tysYtxsXLL 112)(2)(31)(11)()(1)(ssYsXssYssYsXssX求得求得11)()( ssYsX取取Lap

21、lace逆变换，得原方程组的解为：逆变换，得原方程组的解为：tetytx )()( tdftattf0)()sin()(: 求解积分方程例4.)0( a解：解：0( )*sin( )sin()tf ttftd由于所以原方程为所以原方程为ttfattfsin*)()( 令令( )( ( ),F sf t L因因,1)(2st L11sin2 stL所以，对方程两边取所以，对方程两边取Laplace变换，并由卷积定理得变换，并由卷积定理得),(11)(22sFssasF 4211)(ssasF取取Laplace逆变换，得原方程的解为：逆变换，得原方程的解为：433! 36)(stttatf L其中

22、，其中，例5求求方方程程20 yyy满满足足边边界界条条件件(0)0,(1)4yy 的的解解. .解解 ( )( )Laplacey tY s 令令 ，对对方方程程两两端端取取变变换换，得得L2( )(0)(0)2( )2 (0)( )0s Y ssyysY syY s (0)0y 代代入入 ，解解得得2(0)( ).(1)yY ss 取取逆逆变变换换得得 1( )( )(0)ty tY syte L(1)4y 将将 代代入入上上式式得得14(1)(0)(0)4yyeye 从从而而求求得得方方程程满满足足边边界界条条件件的的解解为为1( )4ty tte 例6解解10(0)0,40(0)1, (0)0 xyzxyzxyzyz 求求方方程程组组 满满足足初初始始条条件件 的的特特解解. . ( )( ), ( )( ), ( )( )x tX sy tY sz tZ s令令 LLLLaplace对对方方程程组组的的每