初中数学专题讲义-二次函数的图像和性质

1、初中数学专题讲义-二次函数的图像和性质课题二次函数的图像和性质教学目标1 .会用描点法和平移法画二次函数的图像；2 .会用配方法确定二次函数图像的顶点坐标和对称轴；3 .理解一次函数 y ax bx c（a,b,c是常数，a 0）的图像和性质4 .会求y ax2 bx c（a,b,c是常数,a 0）与x轴、y轴的交点坐标，并会判断抛物线与 x轴的交点情况。5 .会利用二次函数的性质解决简单的实际问题重点、难点重点：二次函数的图像和性质。 难点：二次函数性质的应用考点及考试要求利用二次函数的性质、数形结合思想、待定系数法、配方法、转化思想、 分类讨论思想解决问题教学内容知识框架一、二次函数的基本

2、形式 2 2 _21.二次函数基本形式：y ax的性质：2. y ax c的性质 3. y ax h的性质：24. y a x h k的性质：二、二次函数图象的平移三、二次函数y a x h 2 k与y ax2 bx c的比较四、二次函数y ax2 bx c图象的画法五、二次函数y ax2 bx c的性质六、二次函数解析式的表示方法七、二次函数的图象与各项系数之间的关系八、二次函数图象的对称九、二次函数与一元二次方程：考点一：二次函数的定义相关典型例题【例1】卜列曲数中，是二次函数的是 ."-fl；"纭；，二鲁4，y = 一"1知识概括、方法总结与易错点分析【解析

3、】、【方法总结】结合二次函数的定义解决此类问题。需要注意X3的系数不为0.【例2】如果函数y=（k-3） 点+kx+1是二次函数，则k的值一定是.知识概括、方法总结与易错点分析【方法总结】解决此类为题首先由最高次项的次数为2列出一个方程，在根据炉的系数不为。讨论方程的解的取舍.【例3】 二次函数y=x2+2x7的函数值是8,那么对应的x的值是（）A . 3 B .5 C 3和 5 D.3 和一5 .针对性练习1,已知二次函数P=多“3+5工-2 ,当立二时2 .下列各式中，y是上的二次函数的是（）A 号+/=1 B 米-2=0 C /一皿二-2 D. drF=o.3,若V =田-2是二次函数，

4、则刑=.4.若函数,=（e=+Ne与亡+4工+5是关于*的二次函数，则m的取值范围为5,已知函数/二勤工是二次函数，则m =.考点二：一般式化为顶点式典型例题【例4】分别运用公式法和配方法将二次函数y=x24x+ 6化为y式x h）2+k的形式：y二知识概括、方法总结与易错点分析【方法总结】如果题目没有特殊要求，建议学生用公式法解决相关问题，以减少解题时间.但是教师在讲解此题时需重视配方法的讲解，很多学生在配方的过程中经常出现错误 .针对性练习:1、分别用配方法和公式法把二次函数y=x2 4x+5化成y=（x h） 2+k的形式.222、（2011山东济宁，12, 3分）将二次函数 y x 4

5、x 5化为y （x h） k的形式，则y考点三：二次函数的性质典型例题了 =-+3x2【例5】抛物线 3与,二的形状相同，则=±1【解析】3 .【方法总结】 。决定抛物线开口的方向和开口大小.口 >0抛物线开口向上；口40抛物线开口向下.“越小抛物线开口越大.【学生易错点】忽略开口向上的情况.v = or5 加/上【例6】二次函数r的图象，如图所示，根据图象可得a、b、c与0的大小关系是()A . a>0, b<0, c<0 B . a>0, b>0, c>0C. a<0, b<0, c<0 D , a<0, b>

6、;0, c<0知识概括、方法总结与易错点分析【解析】C.【方法总结】根据抛物线的开口方向判断 11的正负：抛物线开口向上，义>0 ；抛物线开口向下，a<0根据抛物线与尸轴的交点判断仁的正负：抛物线交了轴于正半轴，；抛物线交了轴于正半轴，仁)0；抛物线交了轴于远点，c=°.结合"，根据对称轴判断&的正负：左同右异.【例71、二次函数y=2(x+3)(x-1)的x轴的交点的个数有 个，交点坐标为 .【解析】2； lqi/j。).知识概括、方法总结与易错点分析【学生易错点】误以为交点坐标为(后面讲解的二次函数的顶点坐标也是需要注意的.例8 y=x2-3x

7、-4与x轴的交点坐标是 ,与y轴交点坐标是 .知识概括、方法总结与易错点分析【解析】【方法总结】求函数图像与 x轴的交点坐标，另 y=0,求出区即可；求函数图像与 y轴交点坐标，另x=0即可.【例9】二次函数y=-x2+6x+3的图象顶点为 对称轴为 .知识概括、方法总结与易错点分析4知识概括、方法总结与易错点分析【解析】（3, 12）;直线X = 3 .c bd【方法总结】顶点坐标12a4" J ;对称轴为直线 温.bx=-【学生易错点】对称轴为“外 ”，经常忘记写直线.在教学时需强调答题的规范性【例10二次函数y=（x-1）（x+2）的顶点为,对称轴为 知识概括、方法总结与易错点

8、分析【解析】12. 41x=【方法总结】先求出对称轴，然后将2代入，求出顶点纵坐标.【例11】二次函数户一（五一邛一2的顶点坐标为知识概括、方法总结与易错点分析【解析】（2,-2）【学生易错点】误以为顶点坐标为（-2,-2）.已知顶点式求顶点、已知两根式求抛物线与工轴的交点坐标需重点讲解.【例12二次函数y=-x2+6x-5,当* 时，?随工的增大而减小.知识概括、方法总结与易错点分析【解析】3【方法总结】抛物线开口向下，则在对称轴右侧部分的函数图像了随其的增大而减小.【例13】已知点A （2,居），B （4,%）在二次函数串二提%勺图像上，则八 八.【解析】【方法总结】解决此类问题虚线考虑给

9、出的点是否在对称轴的同侧，如果不在须求出其中一点关于 对称轴的对称点，再根据 了随上的变化情况进行判断；如果在对称轴的同一侧可直接判断【巩固练习】的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（-7x4-8A.=jc3 4-fa J-1022.在函数3d = .工串=一q中,其图像的对称轴是y轴的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.若抛物线了=“上+啮、”的开口向下，顶点是（1y随*的增大而减小，则h的取值26范围是（A.Q3B3 c.h>1D.k< 口4 .二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1,则点m (b,) aA .第一象限 B .第二象限 C.第三象限 D

10、 .第四象限5 .已知二次函数 y=ax2+bx+c （aw 0）的图象如图2所示，？则下列结论：a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等； 4a+b=0;当y=2时，xA. 1个的值只能取0.其中正确的个数是（）D . 4个D、6.已知二次函数的图象如图所示，则在a<0,b >0,cv 0,b24ac>0”中，正确的 判断是()A.B.C.7 .如果函数y = ax 2+4x-6的图像的顶点的横坐标为1,则a的值为-8 .已知抛物线y = ax 2+12x-19的顶点的横坐标是 3,则a= .考点四：二次函数图像的平移典型例题【例14】把函数=的图象向右平移3个单位，再向

11、下平移 2个单位，得到的二次函数解析式 是 【巩固练习】y = fjc- 2)3y = -j1 .抛物线 3的图象可由抛物线 3 向 平移 个单位得到，它的顶点坐标是,对称轴是 2 .抛物线,=32的图象可由抛物线/ = 的图象向 平移 个单位得到，它的顶点坐标是,对称轴是.3 .直角坐标平面上将二次函数y=-2(x 1)22的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为()A.(0 , 0)B.(1, - 2)C.(0, 1)D.(-2, 1)学生易错点题目1：如果函数y=(k-3) "St：+kx+1是二次函数，则k的值一定是.【正解】【错解】上=3, * = 0【学生易

12、错点】 学生经常忽略, 一次函数和反比例函数的相关题型也可列出，提醒学生重视题目2：下列函数中，二次函数有 上./-4工+1"犯；，=油"、y = 一"【正解】3【错解】4; 5【学生易错点】 学生误以为、都是二次函数.学生比较容易忽略值二口 .而且要提醒学生注意：判断函数是不是二次函数，需先将函数化简，再作判断.否则容易误认为也是二次函数.题目3:函数¥ = 3（工-2） +2与y轴的交点坐标为.【正解】（0, 14）【错解】（0,2 ）【学生易错点】学生易将一般是和顶点式弄混.讲解时需提醒学生求函数图像与y轴的交点坐标时,要看清题目中给出的是二次函数

13、的一般式还是顶点式题目4:已知点A （ 2,女），B （4, M ）在二次函数中二皿”口 下6的图像上，则M g【正解】【学生易错点】 学生经常忘记对称轴两侧 了随工的变化情况是不同的.题目5:y = x3 +3x5将函数2向左平移两个单位，得到函数y=-1(+2)a+3r-5+3(jt+2)-5【学生易错点】平移时不能够全面考虑.可以建议学生在顶点式的基础上平移【当堂检测】二次函数中考题练习1.（山东滨州,7, 3分）抛物线y-22x 23可以由抛物线y x平移得到，则下列平移过程正确的是（）A.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C.先向右平移2

14、个单位，再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位2.（广东广州市,3分）下列函数中，当x>0时y值随x值增大而减小的是（).2A. y = xB. y = x- 11 D. y = x3.（湖北鄂州,153分）已知函数1 x0 3,则使y=k成立的x值恰好有三个,171 x >3则k的值为（A. 0 B.C. 2D. 34.（山东德州6,3分）已知函数y(xa)(x b)（其中ab）的图象如下面右图所示，则函数yaxL第6题图b的图象可能正确的是y*yOO-1(A)(B)1y-ix(C)(D)C为抛物线与坐标轴的交C的图像,-1-15.（山东荷泽，8, 3分）如

15、图为抛物线2axbxA、B、点，且OA=OC=1,则下列关系中正确的是b<2aac<0A. a + b= - 10（山东泰安，20 ,6.3分）若二次函数2y=ax+bx+c的x与y的部分对应值如下表:-7-6-5-4-3-2-27-13-37.A.8.则当x=1时，y的值为A.5B.-3C.-13D.-27（山东威海,时，自变量-1<x<3（山东烟台,对称轴,A.C.7, 3分）二次函数x的取值范.围是（B. x< - 1).C.2xx >33的图象如图所示.当D. xv 1 或yv 0x> 310,4分）如图，平面直角坐标系中，两条则下列关系正确的

16、是（m= n, k> hk< hn, k= hk= h9.（浙江温州，9, 4分）已知二次函数的图象（0w xW3）如图所示.关函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是A .有最小值0,有最大值3B.有最小值-1,有最大值0C .有最小值1,有最大值3D.有最小值-1 ,无最大值10.（四川重庆，7, 4分）已知抛物线y = ax2+ bx+ c( a w 0)在平面直角抛物线有相同的9L 15坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是A. a>0c<0Da+ b+ c>011.（甘肃兰州,4分）抛物线y2x 2x1的顶点坐标是A. (1, 0)B. (-1

17、, 0)C.(2, 1)D. (2, 1)12.（甘肃兰州,4分）如图所示的二次函数_ 2,y ax bxc的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b24ac 0 ； c>1 ；(3)2ab<0； (4)a+b+c<0。你认为其中错误的有 13、A. 2个B.C. 4个D. 1个（江苏宿迁,8,3分）已知二次函数y=ax2+ bx+ c (a的图象如图,则下列结论中正确的是（）A. a>0C. c< 014.（山东济宁,O-1丰0)（第8题）。c中,B.当x> 1时，y随x的增大而增大.3是方程ax2+ bx+ c= 0的一个根3分）已知二次函数y2

18、axbx数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示:点 A ( x1y1)、B ( X2,y2）在函数的图象上，则当Xi2,x24时，y1与y2的大小关系正确的是y2 by1y2yy215.（山东聊城，9, 3分）卜列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的R是（）16.（山东潍坊，12, 3分）已知一元二次方程 ax2 bx c 0 （a 0）的两个实数根x1、x2满足2xi x2 4和xgx2 3,那么二次函数 y ax bx c（a 0）的图象有可能是（）217.（四川广安，10, 3分）若一次函数 y （x m） 1 .当xwi时，y随x的增大而减小，则的取值范

19、围是（18.（上海，44分）抛物线y= （x + 2）23的顶点坐标是（).(A)(2, 3);(B)(2, 3);(C)(2, 3);(D)(2, 3)19.（四川乐山5, 3分）将抛物线yx2向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是20、22. y (x 2) B . y x（四川凉山州，12, 4分）二次函数2axbx(x 2)2 Dx2 2C的图像如图所示,反比列函数a -y 一与正比x列函数y bx在同一坐标系内的大致图像是y第12题yOxAa与一次bx c的图象如图所示,则反比例函数21.（安徽芜湖,10,4分）二次函数2axy函数v hv c在同一坐标系中的大致图象是（0y b

20、x c22. r （江苏无锡,A.9, 3分）下列二次函数中，图象以直线 x = 2为对称轴，且经过点（0,1）的是A. y = ( x - 2) 2 + 1C. y = ( x - 2) 2 - 3（第21题图）二、填空题1.（浙江省舟山,15, 4分）如图，已知二次函数 yx2 bx c的图象经过点（一1,0）,(1,2）,当y随x的增大而增大时,x的取值范围是（只要求填写(1,-2(第15y2,y x bx2.（山东日照，17, 4分）如图，是二次函数2y= ax+ bx+c （aw0）的图象的一部分，给出下列命题：2a+b+c=0；b>2a；ax+bx+c=0的两根分另1J为-3和1；a-2b+c>0.其中正确的命题是正确命题的序号）4.（浙江湖州，154）如图，已知抛物线x2 bx c经过点（0, 3）,请你确定一个 b的值,使该抛物线与x轴的一个交点在（10）和（3 , 0）之间你所确定的b的值是3 r的抛物线的解析式为5.（宁波市，166.（浙江义乌，16点B （1）写出点B的坐标O-3分）将抛物线y=x的图象向上平移1个单位，则平移后4分）