大物第16章(2)

1、N.玻尔、玻尔、M.玻恩、玻恩、 W.L.布拉格、布拉格、L.V.德布罗意、德布罗意、A.H.康普顿、康普顿、M.居里、居里、P.A.M 狄喇克、狄喇克、A.爱因斯坦、爱因斯坦、W.K.海森堡、海森堡、郞郞之万、之万、W.泡利、普朗克、薛定谔泡利、普朗克、薛定谔 等等 第五次索尔维会议与会者合影第五次索尔维会议与会者合影(1927年)假设假设: 实物粒子具有实物粒子具有 波粒二象性。波粒二象性。22202/1chcmhmchEv220/1cmhmhphvvv一一. 德布罗意假设德布罗意假设(1924年年)hmcE216.5 微观粒子的波粒二象性微观粒子的波粒二象性 不确定关系不确定关系 hmp

2、v频率频率波长波长革末革末戴维孙电子散射实验戴维孙电子散射实验(1927年年)，观测到电子衍射现象。，观测到电子衍射现象。X射射线线电电子子束束（波长相同）（波长相同）衍射图样衍射图样电子双缝干涉图样电子双缝干涉图样物质波的实验验证：物质波的实验验证：杨氏双缝干涉图样杨氏双缝干涉图样计算经过电势差计算经过电势差 U1 =150 V 和和 U2 =104 V 加速的电子的德布加速的电子的德布罗意波长罗意波长（不考虑相对论效应）（不考虑相对论效应）。例例 解解 eUm2021v02meUvnm225. 11200UUemhmhvnm 1 . 01nm 0123. 02根据根据，加速后电子的速度为，

3、加速后电子的速度为根据德布罗意关系根据德布罗意关系 p = h /，电子的德布罗意波长为电子的德布罗意波长为波长分别为波长分别为说明说明观测仪器的分辨本领观测仪器的分辨本领 22. 1DR 电子波波长电子波波长光波波长光波波长电子显微镜分辨率电子显微镜分辨率远大于远大于光学显微镜分辨率光学显微镜分辨率二二. 不确定关系不确定关系 1. 动量动量 坐标不确定关系坐标不确定关系微观粒子的位置坐标微观粒子的位置坐标 x 、 动量动量 分量分量 px 不能同时具有确不能同时具有确定的值。定的值。一个量确定的越准确，另一个量的不确定程度就越大。一个量确定的越准确，另一个量的不确定程度就越大。xpx、分别

4、是分别是 x、 px 的不确定量，其乘积的不确定量，其乘积下面借助电子单缝衍射实验加以说明。下面借助电子单缝衍射实验加以说明。2xpxpx/hp 电电子子束束xsinx电子经过狭缝，其坐标电子经过狭缝，其坐标 x 的不确定量为的不确定量为 x ；大部分大部分电子落在电子落在中央明纹中央明纹xsinpxhppx/sinhpxxpx0电子经过狭缝，其坐标电子经过狭缝，其坐标 x 的不确定量为的不确定量为 x ；电电子子束束x 动量分量动量分量 px的的不确定量为不确定量为x/hp xsin减小缝宽减小缝宽 x, x 确定的越准确确定的越准确px的不确定度的不确定度, 即即px越大越大 原子的线度约

5、为原子的线度约为 10- -10 m ，求原子中电子速度的不确定量。，求原子中电子速度的不确定量。10313410101 . 914. 341063. 62xmmpxxvsm 108 . 55电子速度的不确定量为电子速度的不确定量为氢原子中电子速率约为氢原子中电子速率约为 106 m/s。速率不确定量与速率本身。速率不确定量与速率本身的的数量级基本相同，因此原子中电子的位置和速度不能同时数量级基本相同，因此原子中电子的位置和速度不能同时完全确定，也没有确定的轨道。完全确定，也没有确定的轨道。 原子中电子的位置不确定量原子中电子的位置不确定量 10- -10 m，由不确定关系，由不确定关系2xp

6、x例例解解说明说明2. 能量能量 时间不确定关系时间不确定关系反映了原子能级宽度反映了原子能级宽度E 和原子在和原子在该能级的平均寿命该能级的平均寿命 t 之间的关系。之间的关系。 基态基态eV 1028tE辐射光谱线固有宽度辐射光谱线固有宽度hE hE 2EE 2EE 激发态激发态 E基态基态寿命寿命t光辐射光辐射2tE能级宽度能级宽度平均寿命平均寿命 t 10-8 s平均寿命平均寿命 t 能级宽度能级宽度 E 0一一. 波函数及其统计解释波函数及其统计解释 )(0) (20ee),(pxEtixtitx微观粒子微观粒子具有波动性具有波动性用物质波波函数描述用物质波波函数描述微观粒子状态微观

7、粒子状态1925年薛定谔年薛定谔例如例如自由粒子沿自由粒子沿 x 轴正方向运动，由于其能量、动量为常量，轴正方向运动，由于其能量、动量为常量，所以所以 v 、 不随时间变化，其物质波是单色平面波，波不随时间变化，其物质波是单色平面波，波函数为函数为16.6 波函数波函数 一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程 波函数波函数 描写微观粒子运动状态的函数描写微观粒子运动状态的函数波函数的物理意义：波函数的物理意义：2| ),(|tr t 时刻，粒子在空间时刻，粒子在空间 r 处处的单位体积中出现的概率，又称为概率密度的单位体积中出现的概率，又称为概率密度VtrtrVtrWd),(),(d| ),(|

8、d*21. 时刻时刻 t , 粒子粒子在空间在空间 r 处处 dV 体积内出现的概率体积内出现的概率1ddd| ),(|2zyxtr2. 归一化条件归一化条件 ( (粒子在整个空间出现的概率为粒子在整个空间出现的概率为1)1) 3. 波函数必须单值、有限、连续波函数必须单值、有限、连续概率密度在任一处都是唯一、有限的概率密度在任一处都是唯一、有限的, , 并在整个空间内连续并在整个空间内连续VtrWd| ),(|d2电子数电子数 N=7电子数电子数 N=100电子数电子数 N=3000电子数电子数 N=20000电子数电子数 N=70000单个粒子单个粒子在哪一处出现是在哪一处出现是偶然事件偶

9、然事件；4. 大量粒子大量粒子的分布有确定的的分布有确定的统计规律统计规律。出现概率小出现概率大电电子子双双缝缝干干涉涉图图样样二二. 薛定谔方程薛定谔方程 (1926年年)描述微观粒子在外力场中运动的微分方程描述微观粒子在外力场中运动的微分方程 。质量质量 m 的粒子在外力场中运动，势能函数的粒子在外力场中运动，势能函数 V ( r , t ) ，薛定，薛定谔方程为谔方程为ttritrtrVzyxm),(),(),(22222222粒子在稳定力场中运动，势能函数粒子在稳定力场中运动，势能函数 V ( r ) 、能量、能量 E 不随时不随时间变化，粒子处于定态，定态波函数写为间变化，粒子处于定

10、态，定态波函数写为tEiertr)(),(由上两式得由上两式得0)(2)(2222222rVEmrzyx定态薛定谔方程定态薛定谔方程粒子能量粒子能量一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程（粒子在一维空间运动（粒子在一维空间运动) ) 02d)(d222xVEmxx描描述述外外力力场场的的势势能能函函数数注意：波函数的连续、单值、有限性以及归一化条件注意：波函数的连续、单值、有限性以及归一化条件(3) 薛定谔方程是量子力学的一个基本假设。是量子力学的动薛定谔方程是量子力学的一个基本假设。是量子力学的动力学方程，它的地位就同经典力学中的牛顿运动定律一样。力学方程，它的地位就同经典力学中的牛顿运动定律

11、一样。其正确性依靠实验来检验。其正确性依靠实验来检验。2)(),(rtr(1)(1)求解求解 E （粒子能量）（粒子能量） ( r ) （定态波函数）定态波函数）(2)(2)当粒子处于定态时，粒子在空间出现的概率是稳定不变的当粒子处于定态时，粒子在空间出现的概率是稳定不变的说明说明三三. 一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子 0 x a 区域，定态薛定谔方程为区域，定态薛定谔方程为x0 aV ( x )势能函数势能函数 02dd222xmExx222mEk令令V (x) = 0 0 x x 或或 x a0)(x0)(x0 x 或或 x a 区域区域0)(x 0dd222xkxx波函数在

12、波函数在 x = 0 处连续，有处连续，有 00 cos0 sin0kBkA在在 x = a 处连续，有处连续，有 kxAxsin 0sinkaAa222mEk ank所以所以0)(xx0 aV ( r )0)(x)(x kxBkxAxcossin解为解为其中其中因此因此0 B量子数为量子数为 n 的定态波函数为的定态波函数为 xanAxnnsin由归一化条件由归一化条件1d| )(|2xxnaAn/2xanaxnsin2)(波函数波函数可得可得1E1233 EE 1222 EE 波函数波函数122228EnmahnEn粒子能量粒子能量能量是量子化的能量是量子化的x0 a概率分布概率分布例例:

13、 : 设质量为设质量为m 的微观粒子处在宽度为的微观粒子处在宽度为L 的一维无限深势阱中，的一维无限深势阱中，试求试求：1 粒子在粒子在4/0Lx 区域中出现的概率？区域中出现的概率？2 在哪些量子态上，在哪些量子态上，L /4 处的概率密度最大？处的概率密度最大？解解：1. 已知粒子的定态波函数已知粒子的定态波函数xLnLxsin2)(概率密度为概率密度为xLnLx22sin2)(4/0Lx 区域中出现的概率区域中出现的概率在在dxxLnLdxPLL4/024/0sin22sin2141nn4sin2)4(2LLnLL2. 在在 L /4 处的概率密度：处的概率密度：概率密度最大对应概率密度

14、最大对应14sinn2124kn,10, 6 , 2n概率密度最大的量子态概率密度最大的量子态2022)(2UEmk2212mEk 0)(d)(d121212xkxx定态薛定谔方程：定态薛定谔方程：四四. .隧道效应（势垒贯穿）隧道效应（势垒贯穿）势垒势垒区区区0 aU0 区 U ( x ) = 0 x a区区 U ( x ) = 0 x 0区 U ( x ) = U0 0 x a2212mEk E E0)(d)(d222222xkxx0)(d)(d321232xkxx)0()0(210201ddddxxxx)()(32aaaxaxxxdddd32得到得到4个方程，求出常数个方程，求出常数 A

15、1 、B1 、 A2 、B2 和和 A3 间关系，从间关系，从而得到反射系数而得到反射系数 和透射系数和透射系数分别为分别为波函数在波函数在 x = 0 ，x = a 处连续处连续区 区 区 xikxikeBeAx11111)(xikxikeBeAx11333)(xikxikeBeAx22222)(x = 0 处：处：x = a 处：处：2121| /|ABR 2123| /|AAT 0 aU0 E三个区域的波函数分别为三个区域的波函数分别为B3 = 0222122222122222214)(sin)()(sin)(kkakkkakkkR222122222122214)(sin)(4kkakk

16、kkkT入射粒子一部分透射到达入射粒子一部分透射到达III 区，另一部分被势垒反射回区，另一部分被势垒反射回I 区区 1 RT讨论讨论(1)E U0 , R0, 即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并非即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并非全部透射进入全部透射进入 III 区区,仍有一定概率被反射回仍有一定概率被反射回 I 区。区。 (2)E U0 , T0, 虽然粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍虽然粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍可能穿过势垒进入可能穿过势垒进入 III 区区 隧道效应隧道效应0 aU0 EB3 = 0(3) 透射系数透射系数T 随势垒宽度随势垒宽度a、粒子质量、粒子质

17、量m 和能量差变化，和能量差变化， 随着势垒随着势垒的的加宽、加高透射系数减小。加宽、加高透射系数减小。 粒子类型粒子类型粒子能量粒子能量势垒高度势垒高度 势垒宽度势垒宽度透射系数透射系数电子电子1eV2eV1eV2eV1eV2eV210-10m510-10m0.024210-10m0.51质子质子310-381982年，宾尼（年，宾尼（G.Binnig）和罗雷尔）和罗雷尔(H.Rohrer)利用电子的隧道利用电子的隧道效应，研制了扫描隧道显微镜（效应，研制了扫描隧道显微镜（STM)。The Nobel Prize in Physics 1986 Scanning Tunneling Micr

18、oscopy (STM)的出现，使人类第一的出现，使人类第一次能够实时观察单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面次能够实时观察单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性质，在表面科学、微电子技术、材料科学、电子行为有关的性质，在表面科学、微电子技术、材料科学、生命科学等领域的研究中具有重大的意义和应用前景。生命科学等领域的研究中具有重大的意义和应用前景。2.2.定态薛定谔方程定态薛定谔方程3.3.能量量子化能量量子化) , 2 , 1 , 0( )21( nhnEn0)()21(2)( 222xxmEmx普朗克量子化假设普朗克量子化假设 En=nhv E0= 0说明说明量子力学

19、结果量子力学结果 En=(n+1/2)hv E0= hv/2 零点能零点能五五. .一维谐振子一维谐振子1.1.势能函数势能函数2222121)(xmkxxUm 振子质量，振子质量， 固有频率，固有频率，x 位移位移六六. .氢原子氢原子02)(2222222VEmzyxreV024球坐标的定态薛定谔方程球坐标的定态薛定谔方程0)4(2sin1)(sinsin1)(10222222222reEmrrrrrr其解一般为其解一般为的函数：的函数：,r),(r1. 能量量子化能量量子化 能量能量主量子数主量子数 n = 1 ，2 ，3 ，2122042)8(1nEhmenEneVE6 .131基态能

20、量基态能量能级间隔随主量子的增大而减小，能级间隔随主量子的增大而减小，En2. 角动量量子化角动量量子化 电子绕核转动的角动量电子绕核转动的角动量prL电子绕核转动的能量电子绕核转动的能量222221mrLmElv222)1(mrllEl.)3 ,2, 1( l3. 角动量空间量子化角动量空间量子化 角动量的空间取向也是量子化的。角动量的空间取向也是量子化的。电子云的转动具有角动量量子化；电子云的转动具有角动量量子化；波函数指出波函数指出电子云转动相电子云转动相当于一圆电流当于一圆电流圆电流具有圆电流具有一定的磁矩一定的磁矩磁矩在外磁场的作用磁矩在外磁场的作用下具有一定的取向下具有一定的取向电

21、子云磁矩方向总与电子云磁矩方向总与其角动量方向相反其角动量方向相反电子云转动的角动量电子云转动的角动量方向有一定的取向方向有一定的取向角量子数角量子数 l = 0 ，1 ，2 ， , n-1) 1( llL电子绕核转动的角动量电子绕核转动的角动量 L 的大小的大小通常用通常用,fdps代表代表,3 ,2, 1 ,0l等各个状态等各个状态ZB ,LzLo经典理论：经典理论：空间取向是连续的空间取向是连续的可取可取0的任意值的任意值量子力学理论：量子力学理论： 空间取向是不连续的空间取向是不连续的zL的取值是离散的的取值是离散的对应一个角量子数对应一个角量子数l ，角动量有，角动量有 2l+1 个

22、取向个取向角动量角动量 L 的在外磁场方向的在外磁场方向Z 的投影的投影lzmL 磁量子数磁量子数 ml = 0 , 1 , 2 , , l 2206L2l2 1Ll磁量子数磁量子数 ml = 0 , 1 , 2L 在在 Z 方向的投影方向的投影2, 0,2zLz6) 12(2LL 的大小的大小例如例如 l = 2 电子角动量的大小及空间取向电子角动量的大小及空间取向 ？z0(1) 实验现象实验现象v0v0 +vv0 -v光源处于磁场中时，一条光源处于磁场中时，一条谱线会分裂成若干条谱线谱线会分裂成若干条谱线光源eLLmee2BllezezmmmeLme)(22z 轴（外磁场方向）投影轴（外磁

23、场方向）投影B 玻尔磁子玻尔磁子摄谱仪磁磁矩矩磁矩和角动量的关系磁矩和角动量的关系(2) 解释解释NS4. 塞曼效应塞曼效应 磁场作用下的原子附加能量磁场作用下的原子附加能量zBBEz由于磁场作用由于磁场作用, 原子附加能量为原子附加能量为 其中其中 ml = 0, 1, 2, , lBmBl 能能 级级 简简 并并 l = 1l = 0ml10-1EBBBB0v0v0v0+vv0-v无磁场无磁场有磁场有磁场0 0 能级分裂能级分裂一一. 斯特恩斯特恩格拉赫实验格拉赫实验16.7 电子自旋电子自旋 四个量子数四个量子数SN通真空泵通真空泵OP1S2S实验装置实验装置 银原子射线银原子射线由加热

24、炉中产由加热炉中产生，经过准直生，经过准直狭缝狭缝 S ，到达，到达接收屏接收屏P 。实验结果：实验结果：1 无外磁场时，银原子不受外力作用，无外磁场时，银原子不受外力作用，Q2 加外磁场后，银原子束在屏上记录有两条不连续的痕迹。加外磁场后，银原子束在屏上记录有两条不连续的痕迹。直接到达屏上直接到达屏上Q 点。点。NSX取离散值取离散值SNFSNzzBFZddF 取取分分立立的的值值分分立立的的沉沉积积线线Z 取取分分立立的的值值zBFzdd 空空间间量量子子化化Lmee2空空间间量量子子化化角角动动量量原子沉积线条数应为原子沉积线条数应为奇数奇数（2l+1 ），而不应是两条，而不应是两条。基

25、态基态 Ag 原子的磁矩等于最外层价电子的磁矩，原子的磁矩等于最外层价电子的磁矩，其其 Z 取取（2l+1 ）个值，个值， 则则 F 可取可取（2l+1 ）个值，个值，实验观察到的磁矩实验观察到的磁矩 Z Z 是由价电子自旋产生的，且是由价电子自旋产生的，且 Z Z 取取 2 2 个值。个值。 基态基态Ag 原子只有一个价电子原子只有一个价电子,在正常情况在正常情况下，价电子处于基态。下，价电子处于基态。0l0lm不可能出现两条。不可能出现两条。二二. 电子自旋电子自旋 (1925年乌伦贝克等年乌伦贝克等)电子还存在有一种内在的运动，使之具有动量矩和磁矩。电子还存在有一种内在的运动，使之具有动量矩和磁矩。) 1( ssSsZmS 电子自旋角动量大小电子自旋角动量大小 S 在外磁场方向的投影在外磁场方向的投影 ) 1(432121Ss 自旋量子数自旋量子数电子自旋角动量在电子自旋角动量在 外磁场中的取向外磁场中的取向自旋磁量子数自旋磁量子数 ms 取值个数为取值个数为 ms = 1/22s +1= 2则则 s = 1/2 ，21ZS自旋磁量子数自旋磁量子数sms, 2, 1, 0三三. 四个量子数四个量子数 （表征电子的