第2部分连续系统的时域分析ppt课件

1、第2章 延续系统的时域分析 2.1 引言引言 2.2 微分方程式的建立和求解微分方程式的建立和求解2.3 零输入呼应和零形状呼应零输入呼应和零形状呼应2.4冲激呼应和阶跃呼应冲激呼应和阶跃呼应2.5卷积积分及其性质卷积积分及其性质2.6用算子符号表示微分方程用算子符号表示微分方程引言系统的数学模型： 微分方程 方框图延续时间系统处置延续信号用微分方程来描画： 系统的输入与输出之间经过它们时间函数及其对时间的各阶导数的线性组合联络起来，不研讨系统内部其它信号的变化输入输出法、端口描画法系统分析的义务：给定系统模型和输入信号求系统的输出呼应。求呼应系统分析方法很多，系统时域分析法不经过任何变换，直

2、接求解微分、积分方程；fyT.时域分析方法，直观、物理概念清楚，是学习各种变换的根底；2.1 2.1 微分方程式的建立和求解微分方程式的建立和求解 2.1.1 系统的描画 描画线性非时变延续系统的数学模型是线性常系数微分方程。 对于电系统，列写数学模型的根本根据有如下两方面:元件约束、构造约束。 1. 元件约束VAR (1)电阻RuR(t)=RiR(t)； (2)电感L00( )1( ),( )( )tLLLLLtdi tu tLii tuddtL00( )1( ),( )( )( )tCCCCCtdutitCututiddtC (3)电容C (4)互感(同、异名端衔接)、理想变压器等原、副边

3、电压、电流关系等。 2. 构造约束：KCL与KVL例 如下图电路，输入鼓励是电流源iS(t),试列出电流iL(t)及R1上电压u1(t)为输出呼应变量的方程式。 iS(t)iC(t)u1(t)iL(t)R2R1L解 由KVL，列出电压方程122211221( )( )( )( )( )( )1( )( )( )( )CLLLLLLutu tu tR i tdi tLR i tdtdi tditdi tu tLRRCdtdtdt对上式求导，思索到 11( )( )( )( )CCCdutitCRitu tdt2-1根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因此 u1(t)=R1iC(t)

4、=R1(iS(t)-iL(t) 2122212121( )( )( )( )( ( )( )()( )( )1( )1( )( )SLLLSLLLSLSdi tdi td i tdi ti ti tRLRCdtdtdtdtd i tRRdi tR di ti ti tdtLdtLCLdtLC(22) 整理上式后，可得221121121122( )( )1( )( )( )SSd i tRRdi td i tR Rdi ti tRdtLdtLCdtLdt(23) 【例】图中所示电路，试分别列出电流i1(t)、电流i2(t)和电压uO(t)的数学模型。 【 解】12212221: ( )( )(

5、)( )2:13 ( )( ( )( )( )2:( )( )tStOtOKCL i ti tidi tKCLdi ti tidutdtVARutid 解此联立方程，最后求得 22111222222222( )7( )5( )1( )( )( )222( )7( )5( )( )322( )75( )3 ( )22SSSSOOOSd i tdi td i tdi ti ti tdtdtdtdtd i tdi tdi ti tdtdtdtd utuuti tdtdtiS(t)i1(t)i2(t)uO(t)2 3 1 F1 H 2.1.2 微分方程的经典解 假设单输入、单输出线性非时变的鼓励为f(

6、t)，其全呼应为y(t)，那么描画线性非时变系统的鼓励f(t)与呼应y(t)之间关系的是n阶常系数线性微分方程 y ( n ) ( t ) + a n - 1 y ( n -1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)= b m f ( m ) ( t ) + b m - 1 f ( m -1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t) 式中an-1，a1，a0和bm，bm-1，b1，b0均为常数。 该方程的全解由齐次解和特解组成。齐次方程的解即为齐次解yh(t) 。非齐次方程的特解yp(t)y(t)=yh(t)+yp(t) 1.齐次解 齐次解满足齐次微分方程y ( n ) ( t ) + a

7、n - 1 y ( n -1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 由高等数学经典实际知，该齐次微分方程的特征方程为 n+an-1n-1+a1+a0=0 (1)特征根均为单根。假设几个特征根都互不一样(即无重根)，那么微分方程的齐次解1( )inthiiy tce1( )jntihiiy tcte (2) 特征根有重根。假设1是特征方程的重根，即有1=2=3=，而其他(n-)个根+1，+2，n都是单根，那么微分方程的齐次解(3)特征根有一对单复根。 即1,2=ajb，那么微分方程的齐次解112112( )coscoscossinsinsinatmathmatatmatmy tcdtc

8、tedtc tedtd ebtd tebtd tedtyh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt (4)特征根有一对m反复根。即共有m重1,2=ajb的复根，那么微分方程的齐次解【例】求微分方程y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)的齐次解。【解】 由特征方程2+3+2=0解得 特征根1=-1， 2=-2。 因此该方程的齐次解 yh(t)=c1e-t+c2e-2t 【例】 求微分方程 y(t)+2y(t)+y(t)=f(t)的齐次解。 【解】 由特征方程2+2+1=0解得二重根1=2=-1，因此该方程的齐次解yh(t)=c1e-t+c2te-t【例】求微分方程y(t)+y(t)

9、=f(t)的齐次解。【解】由特征方程2+1=0解得特征根是一对共轭复数1,2=j因此，该方程的齐次解 yh(t)=c1cost+c2sint2.特解 特解的函数方式与鼓励函数的方式有关。表中列出了几种类型的鼓励函数f(t)及其所对应的特征解yp(t)。 选定特解后，将它代入到原微分方程，求出其待定系数Pi，就可得出特解。鼓励函数及所对应的解 【例】假设输入鼓励f(t)=e-t，试求微分方程y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)的特解。1021010102( )()3()2()ttptttttttytPtePeddPtePePtePePtePeedtdt将特解yp(t)代入微分方程，有【解】

10、 查表，由于f(t)=e-t，=-1与一个特征根1=-1一样，因此该方程的特解3.完全解 完全解是齐次解与特解之和， 假设微分方程的特征根全为单根，那么微分方程的全解为1( )( )intipiy tceyt 当特征根中1为重根，而其他(n-)个根均为单根时，方程的全解为111( )( )inttiipijy tctece jyt 假设微分方程的特征根都是单根，那么方程的完全解为 将给定的初始条件分别代入到式中及其各阶导数，可得方程组1( )( )intipiy tceyty(0)=c1+c2+cn+yp(0)y(0)=1c1+2c2+ncn+yp(0) y(n-1)(0)=n-11c1+n-

11、12c2+n-1ncn+y(n-1)p(0) 【例】描画某线性非时变延续系统的微分方程为y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)，知系统的初始条件是y(0)=y(0)=0，输入鼓励f(t)=e-tu(t)，试求全呼应y(t)。【解 】 在前面已求得该方程的齐次解和特解，它们分别是 yh(t)=c1e-t+c2e-2t yp(t)=te-t 因此，完全解是 y(t)=c1e-t+c2e-2t+te-t 由初始条件y(0)=y(0)=0，有 y(0)=c1+c2=0 y(0)=-c1-2c2+1=0 解得c1=-1，c2=1，所以，全呼应为 y(t)=(-e-t+e-2t+te-t)u(t) 2

12、.32.3起始点的跳变从起始点的跳变从0-0-到到0+0+形状的转换形状的转换 把呼应区间确定为鼓励信号e(t)参与之后系统形状变化区间。 普通鼓励都是从t=0时辰参与，这样的系统区间定义为0+ t 假设系统在鼓励信号参与之前瞬间有一组形状，系统的起始形状0_形状，它包含未来呼应的“过去信息 在鼓励的作用下，这组形状从t =0_到 t =0+时辰能够发生变化 在电路分析中，为确定初始条件，经常利用系统内部储能的延续性，即电容上电荷的延续性和电感中磁链的延续性。0000()()()()CCCLututiti tv 当电路中没有冲激电流或阶跃电压强迫作用于电容；v 当电路中没有冲激电压或阶跃电流强

13、迫作用于电感；有 那么换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。有【例】如下图，t0时， iS(t)=1A ， 代入零形状呼应方程( )0Sditdt222( )( )32( )2(0)LLLfd i f tdi f tittdtdt 其齐次解为cf1e-t+cf2e-2t，特解yp(t)=P0。代入原微分方程得P0=1，所以，系统的零形状呼应 iLf(t)=cf1e-t+cf2e-2t+1 (t0) 知iLf(0+)=0，且1(0 )111(0 )( )/2LFLfSdiuRi tA sdtLL有 1212(0 )101(0 )2LfffLffficcicc 解得 123212f

14、fcc 231( )1(0)22ttLfiteet 2.2.3 初始形状等效为信号源 引入奇特函数概念之后，我们进一步讨论电容和电感上电压和电流的关系。在恣意时辰t，电容端口电压uC(t)与电容电流i(t)的关系是1( )( )tCCutidC 假设选初始时辰为t=0，那么，在t0的恣意时辰，上式可写为0_0_0_111( )( )( )(0_)( )(0_)ttCCCCCutididuidtCCC 式中u(t)为单位阶跃信号。积分下限取0-是思索到iC(t)能够包括冲激信号(t=0时的冲激)。假设iC(t)不包含冲激信号，即iC(t)延续有界，那么可不用区分0-与0+。 或写为 0_1( )

15、(0 ) ( )( )tCCCutuu tidCuC(t)uC(0)iC(t)C(a)uC(t)uC(0)u(t)iC(t)CiC(t)CuC(t)CuC(0)d (t)ttuCd)(dC(b)(c) 图三个电路对于端口电压uC(t)和电流iC(t)来说是相互等效的。将式求导数并乘以C，得( )(0_) ( )( )( )( )(0_) ( )CCCCCCdutCCutitdtdutitCCutdtdd移项，有 同理，对于电感L，也有对偶的等效公式和等效电路模型图如下图：0_1( )(0_) ( )( )( )( )(0_)( )tLLLLLLi tiu tudLdi tuLL itdtduL

16、(t)iL(t)iL(0)L(a)LiL(t)uL(t)iL(0)u(t)LiL(t)uL(t)LuL(0)d (b)(c) 冲激函数平衡匹配法 系统的0_到0+形状有无发生跳变，决议于微分方程右端能否包含(t)及其各阶导数。 冲激平衡法是指为坚持系统对应的动态方程式的恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必需相等。根据此规那么即可求得系统的冲激呼应h(t)。 假设微分方程右端是包含(t)及其各阶导数，阐明0_到0+形状发生跳变，【例】知某线性非时变系统的动态方程式为( )3 ( )2 ( )(0)dy ty tf ttdt试求系统的冲激呼应h(t)。 【解】 根据系统冲激呼应h(t

17、)的定义，当f(t)=(t)时，即为h(t)，即原动态方程式为 由于动态方程式右侧存在冲激信号(t)，为了坚持动态方程式的左右平衡，等式左侧也必需含有(t)。这样冲激呼应h(t)必为Aetu(t)的方式。思索到该动态方程的特征方程为( )3 ( )2 ( )(0)dh th tttdtd30 特征根1=-3，因此可设h(t)=Ae-3tu(t)，式中A为待定系数，将h(t)代入原方程式有33333( )3( )2 ( )( )3( )3( )2 ( )( )2 ( )tttttdAeu tAeu ttdtAetAeu tAeu ttAttddddd即 解得A=2，因此，系统的冲激呼应为3( )

18、2( )th teu t ( )( )( )( )( )( )( )( )(0)( )df t g tf tg tf t g tdtf t g tftd 求导后，对含有(t)的项利用冲激信号(t)的取样特性进展化简，即 例212 知某线性非时变系统的动态方程式为 试求系统的冲激呼应h(t)。 解 由原方程可得( )6 ( )3( )2 ( )dy ty tftf tdt( )6 ( )3 ( )2 ( )(0)dy ty ttttdtdd 由于动态方程式右侧存在冲激信号(t)，为了坚持动态方程式的左右平衡，等式左侧h(t)最高次h(t)也必需含有(t)。这样，冲激呼应h(t)必含有(t)项。思

19、索到动态方程式的特征方程为 特征根为1=-6，因此设 式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程式有606( )( )( )th tAeu tBtd66( )( )6( )( )3 ( )2 ( )(6 ) ( )( )2 ( )3 ( )ttdAeu tBtAeu tBtttdtABtBtttdddddddd623163ABBAB 解得 即 因此，系统的冲激呼应为6( )3 ( )16( )th tteu td 例213 知某线性非时变系统的动态方程式为 22( )( )32 ( )2( )3 ( )(0)d y tdy ty tf tf ttdtdt试求系统的冲激呼应h(t)。 解 由原方

20、程可得 22( )( )32 ( )2 ( )3 ( )(0)d y tdy ty ttttdtdtdd 思索到该动态方程的特征方程为2+3+2=0，特征根1=-1，2=-2，因此设 2( )( )( )tth tAe u tet 式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程式，解得A=1，B=1。因此，系统的冲激呼应为 2( )( )( )tth te u tet 例214 RLC串联电路如图2.16所示。R=3，L=0.5H，C=0.25F，电路输入鼓励为单位冲激电压(t)。电路的初始形状为零，试求系统的冲激呼应电容电压uC(t) 解 由KVL ( )( )( )( )(0)RCLututu

21、 ttdd由VAR 22( )( )( )( )( )( )RRCCCLdututR itRCdtditd utu tLLCdtdt即有 图2.16 RLC串联电路 RLCd (t)uRuLuC(t) 思索到该动态方程的特征方程为( )( )( )( )(0)( )6( )8( )8 ( )(0)CCCCCCLCutRCututttutututttdd代入R、L、C元件参数值并化简得 2126802,4 特征根 因此设 24( )() ( )ttCutAeBeu t 式中A、B为待定系数。那么有uC(t)=(-2Ae-2t-4Be-4t)u(t)+(A+B)(t)u C ( t ) = ( 4

22、 A e - 2 t + 1 6 B e - 4 t ) u ( t ) -(2A+4B)(t)+(A+B)(t) 将uC(t),uC(t)及u(t)代入原动态方程式解得A=4，B=-4 因此，系统的冲激呼应电容电压为 uC(t)=(4e-2t-4e-4t)u(t) 根据系统动态方程式两边冲激信号的平衡来设定系统的冲激呼应h(t)时，假设等式左边求导的最高阶次为n次，等式右边求导的最高阶次为m次，且动态方程的特征方程的特征根全为单根时，那么有 11( )() ( )( )( )() ( )iintiintiih tceu th tBtceu td(246) (247) nm时， n=m时， 在

23、零输入条件下，等式右端均为零，化为齐次方程。1( )intxxiiy tc e1( )( )intffipiytc eyt y ( n ) ( t ) + a n - 1 y ( n -1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)= b m f ( m ) ( t ) + b m - 1 f ( m -1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t)假设其特征根全为单根，那么其零输入呼应 式中cxi为待定常数。 假设系统的初始储能为零，亦即初始形状为零，仍为非齐次方程。假设其特征根均为单根，那么其零形状呼应式中cfi为待定常数。 系统的完全呼应既可分解为零输入呼应和零形状呼应，也可分解为自在呼应和

24、强迫呼应，它们的关系为： 111( )( )( )iiinnntttipxifipiiiy tceytc ec eyt式中 111iiinnntttixifiiiicec ec e 2.1.3 零输入呼应和零形状呼应 线性非时变系统的完全呼应也可分解为零输入呼应和零形状呼应。 零输入呼应是鼓励为零时仅由系统的初始形状x(0)所引起的呼应，用yx(t)表示； 零形状呼应是系统的初始形状为零(即系统的初始储能为零)时，仅由输入信号所引起的呼应，用yf(t)表示。 这样，线性非时变系统的全呼应将是零输入呼应和零形状呼应之和，即y(t)=yx(t)+yf(t) 2.3 冲激呼应和阶跃呼应 2.3.1

25、冲激呼应 一线性非时变系统，当其初始形状为零时，输入为单位冲激信号(t)所引起的呼应称为单位冲激呼应，简称冲激呼应，用h(t)表示。亦即，冲激呼应是鼓励为单位冲激信号(t)时，系统的零形状呼应。其表示图如图2.15所示。 图2.15 冲激呼应表示图 0td (t)(1)线 性 非 时变 系 统d (t)h(t)(0) 0th(t)0 1.冲激平衡法 冲激平衡法是指为坚持系统对应的动态方程式的恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必需相等。根据此规那么即可求得系统的冲激呼应h(t)。 例211知某线性非时变系统的动态方程式为( )3 ( )2 ( )(0)dy ty tf ttdt试求

26、系统的冲激呼应h(t)。 解 根据系统冲激呼应h(t)的定义，当f(t)=(t)时，即为h(t)，即原动态方程式为 由于动态方程式右侧存在冲激信号(t)，为了坚持动态方程式的左右平衡，等式左侧也必需含有(t)。这样冲激呼应h(t)必为Aetu(t)的方式。思索到该动态方程的特征方程为( )3 ( )2 ( )(0)dh th tttdtd30 特征根1=-3，因此可设h(t)=Ae-3tu(t)，式中A为待定系数，将h(t)代入原方程式有33333( )3( )2 ( )( )3( )3( )2 ( )( )2 ( )tttttdAeu tAeu ttdtAetAeu tAeu ttAttdd

27、ddd即 解得A=2，因此，系统的冲激呼应为3( )2( )th teu t ( )( )( )( )( )( )( )( )(0)( )df t g tf tg tf t g tdtf t g tftd 求导后，对含有(t)的项利用冲激信号(t)的取样特性进展化简，即 例212 知某线性非时变系统的动态方程式为 试求系统的冲激呼应h(t)。 解 由原方程可得( )6 ( )3( )2 ( )dy ty tftf tdt( )6 ( )3 ( )2 ( )(0)dy ty ttttdtdd 由于动态方程式右侧存在冲激信号(t)，为了坚持动态方程式的左右平衡，等式左侧h(t)最高次h(t)也必需

28、含有(t)。这样，冲激呼应h(t)必含有(t)项。思索到动态方程式的特征方程为 特征根为1=-6，因此设 式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程式有606( )( )( )th tAeu tBtd66( )( )6( )( )3 ( )2 ( )(6 ) ( )( )2 ( )3 ( )ttdAeu tBtAeu tBtttdtABtBtttdddddddd623163ABBAB 解得 即 因此，系统的冲激呼应为6( )3 ( )16( )th tteu td 例213 知某线性非时变系统的动态方程式为 22( )( )32 ( )2( )3 ( )(0)d y tdy ty tf tf

29、ttdtdt试求系统的冲激呼应h(t)。 解 由原方程可得 22( )( )32 ( )2 ( )3 ( )(0)d y tdy ty ttttdtdtdd 思索到该动态方程的特征方程为2+3+2=0，特征根1=-1，2=-2，因此设 2( )( )( )tth tAe u tet 式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程式，解得A=1，B=1。因此，系统的冲激呼应为 2( )( )( )tth te u tet 例214 RLC串联电路如图2.16所示。R=3，L=0.5H，C=0.25F，电路输入鼓励为单位冲激电压(t)。电路的初始形状为零，试求系统的冲激呼应电容电压uC(t) 解 由K

30、VL ( )( )( )( )(0)RCLututu ttdd由VAR 22( )( )( )( )( )( )RRCCCLdututR itRCdtditd utu tLLCdtdt即有 图2.16 RLC串联电路 RLCd (t)uRuLuC(t) 思索到该动态方程的特征方程为( )( )( )( )(0)( )6( )8( )8 ( )(0)CCCCCCLCutRCututttutututttdd代入R、L、C元件参数值并化简得 2126802,4 特征根 因此设 24( )() ( )ttCutAeBeu t 式中A、B为待定系数。那么有uC(t)=(-2Ae-2t-4Be-4t)u(

31、t)+(A+B)(t)u C ( t ) = ( 4 A e - 2 t + 1 6 B e - 4 t ) u ( t ) -(2A+4B)(t)+(A+B)(t) 将uC(t),uC(t)及u(t)代入原动态方程式解得A=4，B=-4 因此，系统的冲激呼应电容电压为 uC(t)=(4e-2t-4e-4t)u(t) 根据系统动态方程式两边冲激信号的平衡来设定系统的冲激呼应h(t)时，假设等式左边求导的最高阶次为n次，等式右边求导的最高阶次为m次，且动态方程的特征方程的特征根全为单根时，那么有 11( )() ( )( )( )() ( )iintiintiih tceu th tBtceu

32、td(246) (247) nm时， n=m时， 2.等效初始条件法 系统冲激呼应h(t)的求解还有另一种方法，称为等效初始条件法。冲激呼应h(t)是系统在零形状条件下，受单位冲激信号(t)鼓励所产生的呼应，它属于零形状呼应。 例215 知某线性非时变(LTI)系统的动态方程式为 y(t)+3y(t)=2f(t)t0 试求系统的冲激呼应h(t)。 解 冲激呼应h(t)满足动态方程式 h(t)+3h(t)=2(t)t0 由于动态方程式右边最高次为(t)，故方程左边的最高次h(t)中必含有(t)，故设 h(t)=A(t)+Bu(t) 因此有 h(t)=Au(t) 将h(t)与h(t)分别代入原动态

33、方程有 A(t)+Bu(t)+3Au(t)=2(t) A(t)+(B+3A)u(t)=2(t) 解得 A=2，B=-6 例216 知某线性非时变(LTI)系统的动态方程式为 y(t)+5y(t)+4y(t)=2f(t)+3f(t)t0 试求系统的冲激呼应h(t)。 解 冲激呼应h(t)满足动态方程式h(t)+5h(t)+4h(t)=2(t)+3(t)t0 由于动态方程式右边最高次为(t)，故方程左边的最高次h(t)中必含有(t)，故设 h(t)=A(t)+B(t)+Cu(t) 因此有 h(t)=A(t)+Bu(t) h(t)=Au(t) 将h(t)，h(t)与h(t)分别代入原动态方程式可解得

34、 A=2，B=-7，C=27 因此可得 h(0+)=A=2,h(0+)=B=-7,h(0+)=27 例217 知某线性非时变系统(LTI)的动态方程式为 y(t)+3y(t)=2f(t)+5f(t)t0 试求系统的冲激呼应h(t)。 解 冲激呼应h(t)满足动态方程式 h(t)+3h(t)=2(t)+5(t)t0 由于动态方程式右边最高次为(t)，故方程左边的最高次h(t)中必含有(t)，故设 h(t)=A(t)+B(t)+Cu(t) 因此有 h(t)=A(t)+Bu(t) 将h(t)与h(t)分别代入原动态方程有A(t)+(A+B)(t)+(B+C)u(t)=2(t)+5(t) 解得 A=2

35、，B=3，C=-3 以上表示在t=0处，h(t)含有幅度为B的跳变，h(t)含有幅度为C的跳变。因此可得 h(0+)=B，h(0+)=C 3.其它方法 系统的冲激呼应h(t)反映的是系统的特性，只与系统的内部构造和元件参数有关，而与系统的外部鼓励无关。但系统的冲激呼应h(t)可以由冲激信号(t)作用于系统而求得。在以上两种求解系统冲激呼应h(t)的过程中，都是知系统的动态方程。 例218 知某线性非时变(LTI)系统在 f1(t)=4u(t-1)作用下，产生的零形状呼应为 y1(t)=e-2(t-2)u(t-2)+4u(t-3) 试求系统的冲激呼应h(t)。 解知系统在f1(t)作用下产生呼应

36、为y1(t)，而系统的冲激呼应h(t)为系统在冲激信号(t)作用下产生的零形状呼应。因此，为求得系统的冲激呼应h(t)，只需找出f1(t)与冲激信号(t)之间的关系即可。 知 f1(t)=4u(t-1)y1(t)=e-2(t-2)u(t-2)+4u(t-3) 根据线性系统的特性，可以有 2(1)2121( )(1)4 ( )( )(1)(1)4 (2)tftf tu ty ty teu tu t根据非时变系统的特性，可以有 2(1)32322(1)3344111( )( )( )( )( )(1)(2)444( )( )11( )( )( )(1)(1)2)24ttf tf tu ty ty

37、teu tu tdf tdf tf tty teu tttdtdtddd 2.3.2 阶跃呼应 一线性非时变系统，当其初始形状为零时，输入为单位阶跃函数所引起的呼应称为单位阶跃呼应，简称阶跃呼应，用g(t)表示。阶跃呼应是鼓励为单位阶跃函数u(t)时，系统的零形状呼应，如图2.17所示。 图2.17 阶跃呼应表示图 线 性 非 时变 系 统g(t)(0) 001tu(t)g(t)0tu(t) 假设描画系统的微分方程是式(27)，将f(t)=u(t)代入，可求得其特解 假设式(27)的特征根i(i=1，2，n)均为单根，那么系统的阶跃呼应的普通方式(nm)为 00( )bu ta010( )()

38、 ( )intiibg tceu ta(248) (24) 例219假设描画系统的微分方程为y(t)+3y(t)+2y(t)= 1/2 f(t)+2f(t) 试求系统的阶跃呼应。 解 系统的特征根为1=-1，2=-2，由式(249) 知，其阶跃呼应 g(t)=(c1e-t+c2e-2t+1)u(t)它的一阶，二阶导数(思索到冲激函数的抽样性质)分别为g(t)=(c1+c2+1)(t)+(-c1e-t-2c2e-2t)u(t)g(t)=(c1+c2+1)(t)+(-c1-2c2)(t)+(c1e-t+4c2e-2t)u(t) 将f(t)=u(t)，y(t)=g(t)，及其导数g(t)和g(t)代

39、入系统的微分方程，稍加整理得 (c1+c2+1)(t)+(2c1+c2+3)(t)+2u(t)= 1/2(t)+2u(t) 由系统对应相等有1211223102112322cccccc 所以，系统的阶跃呼应为 231( )(1) ( )22ttg teeu t 2.4 卷积积分 2.4.1 信号分解为冲激信号序列 在信号分析与系统分析时，经常需求将信号分解为根本信号的方式。这样，对信号与系统的分析就变为对根本信号的分析，从而将复杂问题简单化，且可以使信号与系统分析的物理过程更加明晰。信号分解为冲激信号序列就是其中的一个实例。 图2.18 信号分解为冲激序列 从图2.18可见，将恣意信号f(t)

40、分解成许多小矩形，间隔为，各矩形的高度就是信号f(t)在该点的函数值。根据函数积分原理，当很小时，可以用这些小矩形的顶端构成阶梯信号来近似表示信号f(t)；而当0时，可以用这些小矩形来准确表达信号f(t)。即( )(0)( ( )()()()(2)()( ()()( ( )()()(2)(0)()( ()()()( ()kf tfu tu tfu tu tf ku tku tku tu tu tu tffu tku tkf ku tf k )()ku tk 式(252)只是近似表示信号f(t),且越小，其误差越小。当0时，可以用上式准确地表示信号f(t)。由于当0时，k，d，且00( ()()

41、()( ()()( )lim()lim()()( )()kku tku tktu tku tkf tf kf ktkf ttdd dd 故式(252)在0时，有(253) 2.4.2 卷积积分法求解零形状呼应 在求解系统的零形状呼应yf(t)时，将恣意信号f(t)都分解为冲激信号序列，然后充分利用线性非时变系统的特性，从而解得系统在恣意信号f(t)鼓励下的零形状呼应yf(t)。 由式(253)可得0( )( )()lim()()kf tf ttdf ktkdd 上式阐明,恣意信号f(t)可以分解为无限多个冲激序列的叠加。不同的信号f(t)只是冲激信号(t-k)前的系数f(k)不同(系数亦即是该

42、冲激信号的强度)。这样，任一信号f(t)作用于系统产生的呼应yf(t)可由诸(t-k)产生的呼应叠加而成。对于线性非时变系统，假设系统的冲激呼应为h(t)，那么有以下关系式成立。 00( )( )()()()()()()()()()()( )lim() ()( ) ()( )lim() ()kkkfkth ttkh tkf ktkf kh tkf ktkf kh tkf tf ktkf ttdytf kh tkdd d d dd ( ) ()f t h td 系统的零形状呼应yf(t)为输入鼓励f(t)与系统的冲激呼应h(t)的卷积积分，为( )( )()( )( )fytf t h tdf

43、th t(254) 例220知某线性非时变(LTI)系统的动态方程式为 y(t)+3y(t)=2f(t)t0 输入鼓励为3u(t)，试求系统的零形状呼应yf(t)。 解 首先计算系统的冲激呼应h(t)，即 h(t)+3h(t)=2(t)t0 运用冲激平衡法，故可设 h(t)=Ae-3t u(t) 将h(t)及h(t)分别代入冲激呼应微分方程式得 Ae-3t(t)-3Ae-3t u(t)+3Ae-3t u(t)=2(t)t0 解 得 A = 2 ， 因 此 ， 冲 激 呼 应h(t)=2e-3t u(t)，系统的零形状呼应为3()3()033033033( )( )( )( )()3 ( ) 2

44、()3 2(0)6(0)16(0)32(1)(0)2(1)( )ftttttttttytf th tfh tdueu tdedtee dteeteteu t 由上例可见，假设鼓励f(t)和冲激呼应h(t)均为因果函数(即有t0，有 1()00111(1)(1)0011(1)11( )( )( ) ()11()(1)11(1)() ( )(1)(1)1( )( )() ( )(1)tttrRCfCSttttRCRCRCRCttttRCRCRCttRCfCytutuh tdeedRCeedeeRCRCeeeeu tRCRCytuteeu tRC因此，零形状呼应 例222 知某线性非时变(LTI)系

45、统数学模型为 输入鼓励f(t)=e-t u(t)，且知h(0)=0，h(0)=1。试用卷积积分法求系统的零形状呼应yf(t)。 解 系统的特征方程为2+3+2，特征根为1=-1，2=-2。又由于nm，因此，设 h(t)=(c1e-t+c2e-2t)u(t) 由h(0)=0，h(0)=1，解得c1=1，c2=-1。因此，系统的冲激呼应 h(t)=(e-t-e-2t)u(t) 22( )3( )2 ( )( )ddy ty ty tf tdtdt 由于鼓励f(t)=e-t u(t)和冲激呼应h(t)均为因果函数，因此，在t0时，有 ()2()022002( )( )( )(1)() ( )tttf

46、ttttttttttytf th teeedededteeeteeeu t因此，零形状呼应 yf(t)=(te-t-e-t+e-2t)u(t) 2.4.3卷积积分的性质 1.卷积积分的代数性质 卷积积分是一种线性运算，它具有以下根本特征。 1)交换律( )( )( )( )( )()( )()f th th tf tfh tdfh td(256) 式(256)阐明两信号的卷积积分与次序无关。即系统输入信号f(t)与系统的冲激呼应h(t)可以互相互换，其零形状呼应不变。 图2.20 系统级联满足交换律 h1(t)h2(t)h1(t)h2(t)d (t)d (t)h(t) h1(t) h2(t)*

47、h(t) h2(t) h1(t)* 2) 分配律 (f1(t)+f2(t)*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h(t) (2-57) 式(257)的实践意义如图2.21所示，阐明两个信号f1(t)与f2(t)叠加后经过某系统h(t)将等于两个信号分别经过此系统h(t)后再叠加。 图2.21 卷积分配律表示图 h(t)h(t)h(t)f1(t)f2(t)f1(t)f2(t)y(t)y(t) 3)结合律 设有u(t)，v(t)，w(t)三函数，那么有 u(t)*(v(t)*w(t)=(u(t)*v(t)*w(t) (258) 由于 ( )( )( ) ()( ) ( ( )( )( )(

48、 ) ()u ttvtdu tv ttuvtdd 此时积分变量为， 此时积分变量为，而从上式来看，对变量而言，无异于一常数。可引入新积分变量x=+，那么有=x-,d=dx。将这些关系代入上式右边括号内，那么有( ) ( ( )( )( )( ) ()u tv ttuvtdd 交换积分次序，并根据卷积定义，即可得( ) ( ( )( )( )( ) ()( ( )( ) ()( ( )( )( )u tv ttuvtddu tv ttx dxu tv tt 4)卷积的微分特性设 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 那么 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) (259)

49、证明 ( )( )()( )()( ) ( )ddy tfh tddtdtfh tdf t h t 5) 卷积的积分特性设 y(t)=y(t)*h(t)=h(t)*f(t) 那么 y(-1)(t)=f(-1)(t)*h(t)=h(-1)(t)*f(t) (260) 式中y(-1)(t)，f(-1)(t)及h(-1)(t)分别表示y(t)，f(t)及h(t)对时间t的一次积分。 6) 卷积的等效特性 设 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 那么 y(t)=f(-1)(t)*h(t)=f(t)*h(-1)(t) (261)证明根据式(259)卷积微分特性，有 y(t)=f(t)*h(

50、t)=h(t)*f(t)将上式对时间t积分，即可证明式 (261)。 式(261)阐明，经过鼓励信号f(t)的导数与冲激呼应h(t)的积分的卷积，或鼓励信号f(t)的积分与冲激呼应h(t)的导数的卷积，同样可以求得系统的零形状呼应。这一关系为计算系统的零形状呼应提供了一条新途径。 上述性质4)、5)、6)可以进一步推行，其普通方式如下： 设 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 那么 y(i+j)(t)=f(i)(t)*h(j)(t)=h(j)(t)*f(i)(t) (262) 7) 卷积的延时特性 假设 f(t)*h(t)=y(t) 那么有 f(t-t1)*h(t-t2)=y(t

51、-t1-t2) (263) 2. 奇特信号的卷积特性 含奇特信号的卷积积分具有以下特性。 1)延时特性 f(t)*k(t-t0)=kf(t-t0) (264)图2.22 理想延时器及其冲激呼应 Df (t)y(t) f (t t0)0tt0(1)h(t)(a)(b) 同理，假设一个系统的冲激呼应h(t)为(t)，那么此系统称为理想放大器，其中k称为放大器的增益或放大系数，如图2.23所示。当信号f(t)经过该放大器时，其输出为 y(t)=f(t)*k(t)=kf(t) 即输出是输入信号f(t)的k倍。图2.23 理想放大器及其冲激呼应 f (t)y(t) kf (t)0t(k)h(t)(a)(

52、b) 2) 微分特性 f(t)*(t)=f(t) (265) 即，恣意信号f(t)与冲激偶信号(t)卷积，其结果为信号f(t)的一阶导数。 假设一个系统的冲激呼应为冲激偶信号(t)，那么此系统称为微分器，如图2.24所示。 图2.24 微分器及其冲激呼应 f (t)y(t) f (t)0t(1)h(t)(a)(b)tdd( 1) 3) 积分特性 即，恣意信号f(t)与阶跃信号u(t)卷积，其结果为信号f(t)本身对时间的积分。假设一个系统的冲激呼应为阶跃信号u(t)，那么此系统称为积分器，如图2.25所示。 ( 1)( )( )( )( )tf tu tftfd(266) 图2.25 积分器及

53、其冲激呼应 f (t)y(t) f (1)(t)0th(t)(a)(b)1 例223设系统的冲激呼应为h(t)=(t+T)+(t-T)，如图2.26(a)所示。输入信号为f(t)，如图2.26(b)所示，试求系统在信号f(t)鼓励下的零形状呼应。 解 ff(t)=f(t)*h(t) =f(t)*(t+T)+(t-T) =f(t+T)+f(t-T) 也就是说，只需在每个冲激信号出现的位置处重画信号f(t)即可，卷积结果(即系统的零形状呼应)如图2.26(c)所示。 图2.26 例223信号波形 (1)(1)TTth(t)TTt00f (t)TTt02T2T(a)(b)(c)ff (t) f (t

54、) h(t)* 例225知f(t)=e-tu(t)，h(t)=u(t)-u(t-2)，试求两信号的卷积y(t)=f(t)*h(t)。 解 根据卷积运算的分配律，有 ff(t)=f(t)*h(t)=f(t)*(u(t)-u(t-2) =f(t)*u(t)+f(t)*u(t-2) =f(-1)(t)-f(-1)(t-2) 亦可利用卷积的等效特性来计算，即yf(t)=f(t)*h(t)=f(-1)(t)*h(t)=f(-1)(t)*(u(t)-u(t-2) =f(-1)(t)*(t)-(t-2) =f(-1)(t)-f(-1)(t-2) 可见两种方法计算结果一样。进一步求解可得卷积的最后结果为( 1

55、)( 1)(2)(2)( )( )( )( )(2)( )(2)(1) ( )(1) (2)fttttytf th tftftedeudeu teu t 例226 知某线性非时变(LTI)系统如图2.27所示。知图中h1(t)=u(t)，h2(t)=(t-1)，h3(t)=e-3(t-2)u(t-2)，试求该系统的冲激呼应h(t)。 解 当多个子系统经过级联，并联组成一个大系统时，大系统的冲激呼应h(t)可以直接经过各子系统的冲激呼应计算得到。 从图2.27可见，子系统h1(t)与h2(t)是级联关系，而h3(t)支路与h1(t)及h2(t)组成的支路是并联关系，因此 h(t)=h1(t)*h2(t)+h3(t) =h(t)*(t-1)+e-3(t-2)u(t-2) =u(t-1)+e-3(t-2)u(t-2) 图2.27 例226系统框图 h1(t)h2(t)h3(t)f (t)y(t)系 统 2.4.4 卷积积分的计算 1.解析计算 参与卷积的两个信号f1(t)与f2(t)都可以用解析函数式表达，