2021年江苏理科数学高考试题及答案

1、2021年普通高等学校招生全国统一考试数学(卷)nnn 门2。1一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应 位置上1. 集合 A= 2, 1,3,4, B 1,2,3，那么 A B2. 复数z (5 2i)2(i为虚数单位),那么z的实部为.3. 右图是一个算法流程图，那么输出的n的值是4. 从1,2,3,6 这4个数中一次随机地取2个数,那么所取2个数的乘积为6的概率是.5.6.函数y cosx与y sin(2x) (0 <),它们的图象有一个横坐标为一的交点，贝U的值3是.设抽测的树木的底部周长均在区间80,130上，其频率分布直方图如下列图，那么在抽

2、测的60株树木中,有株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列an中，a2 1, a8 a6 2a4,那么a6的值是.8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为S), S2，体积分频率S 9组距别为V1 , V2，假设它们的侧面积相等，且-，S 4那么Yl的值是.V29. 在平面直角坐标系 xOy中,直线x 2y 30被圆(x 2)2 (y 1)24截得的弦长为10.函数f (x) x2mx 1,假设对于任意 xm,m 1,都有f (x)0成立,那么实数m的取值围是11. 在平面直角坐标系 xOy中，假设曲线y ax2 - (a, b为常数)过点P(2, 5)，且该曲线在点 P处的

3、x切线与直线7x 2y 3 0平行，那么a b的值是.12. 如图，在平行四边形 ABCD中， AB 8 , AD 5 ,CP 3PD , AP BP 2，贝U AB AD 的值是.13. f (x)是定义在 R上且周期为3的函数，当x 0,3)2i时，f(x) | x2 2x |.假设函数y f (x) a在区间3,4上2有10个零点(互不相同),贝U实数a的取值围是.14. 假设厶ABC的角满足sin A , 2 sin B 2sin C ,那么cosC的最小值是.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域 作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题总

4、分值14分) 一，sin2,5"5"、5(1) 求 sin( )的值；(2)求 cos(462 的值.16.本小题总分值14分 如图，在三棱锥 PABC 中,D , E F分别为棱PC,AC,AB的中点.PAAC , PA 6,BC 8,DF 5.求证：(1)直线PA/平面DEF ；(2) 平面BDE 平面ABC .C第16题17.本小题总分值14分如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆2 X ""2 a3笃 1a b 0的左、右焦点，顶点B的 b2坐标为0,b，连结BF2并延长交椭圆于点 A过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C

5、.程;4 1j1假设点C的坐标为-,-,且BF22 ,求椭圆的方3 3假设FQ AB,求椭圆离心率e的值.18. (本小题总分值16分)如图,为了保护河上古桥 0A,规划建一座新桥 BC同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与 河岸AB垂直；保护区的边界为圆心 M在线段0A上并与BC相切的圆且古桥两端0和A到该圆上任 意一点的距离均不少于 80m.经测量，点A位于点0正北方向60m处，点C位于点0正向170m处4(0C为河岸),tan BC0 -.3(1) 求新桥BC的长;(2) 当0M多长时，圆形保护区的面积最大？(第18题)19. (本小题总分值16分)函数f(x) ex e x,其中

6、e是自然对数的底数.(1) 证明：f(x)是R上的偶函数；(2) 假设关于x的不等式mf(x) < e x m 1在(0,)上恒成立，数 m的取值围；(3) 正数a满足：存在xo 1,)，使得f(xo) a( x3 3血)成立.试比拟ea 1与ae 1的大小, 并证明你的结论.20. 本小题总分值16分设数列an的前n项和为Sn.假设对任意正整数n ,总存在正整数 m ,使得S. am，那么称a.是“H 数列.假设数列an的前n项和Sn 2nn N ,证明：a.是“ H数列；2设an是等差数列，其首项印1,公差d 0.假设an是“ H数列，求d的值；3证明：对任意的等差数列an，总存在两

7、个“ H数列 bn和Cn，使得a. bn Cnn N 成立.数学n 附加题21. 选作题 此题包括A B、C、D,请选定其中两小题作答，假设多做，那么按作答的前两小题评分，解答 时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。A. 选修4-1 :几何证明选讲本小题总分值10分如图，AB是圆0的直径，C,D是圆0上位于AB异侧的两点。证明：/ OCBMDB. 选修4-2矩阵与变换1 2矩阵A=1 Xa = B 求x+y的值。C. 选修4-4 :坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy:本小题总分值10分1,B=本小题总分值10分中，直线I的参数方程为B2 ,x,y为实数，假设Ay，直线I与抛物线y24X相交

8、于A B两点，求线段 AB的长。D.选修4-5 :不等式选讲本小题总分值10 分 x 0, y 0，证明：1 x y21 x2 y 9xy必做题第22题、23题，每题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22. 本小题总分值10分盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球的除颜色外完全相同。 从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率 P;从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为X1,X2,X3，随机变量X表示Xi,X2,X3中的最大数，求 X的概率分布和数学期望EX23.本小题总分值10分sin x函数fo X 叱X 0,

9、设fn X为fn 1 X的导数,X求2fif2 -2 2 2证明：对任意的n N*,等式nfn 1 fn n 1 44 n 4普都成立c数学I试题参考答案一、填空8：本鬆考查根底知识*根本话算和根本思想方法.每小題S分、共计丹分.I-U 3|2. 2154. y5.氐 24工 4N. 2A i)10- -ToM.1至本小题主要畫査三瀚函栽的棊本关乘式、两轴和与差反二倍鶴的公式.署查运鼻求翅能 力总分值14 #.号r 霸. sinn = U rotas 寸, sirib = -, 故血(于+*in解,1因为or巨OF*丁 mg + iw sirur列普卜齊.质2xfx(-蚂：I 5丿(4iK2a

10、= 1 - 2 Mira = 1 -J «y,2cr)+ *in Kinla十幼孰-“一即(2) fh (I) W »iti2a = ZiEiac usa 二二口 气10IS本小题圭要考査直线与克线、頁线与平面以及平面与平面的位运关系，考査空间想象能力 和推理论证能力.总分值14分.证阴转I)闵为氏匕分別为U “的中点、Jriy UK/PA.(第16邑)乂闽为円G半血ZJAA ., m：CL乎血辭. 所以氏线円平而MF.(2)丙为亦別为校W, AC, AB的甲点、叫伉 Z?C = 8,所以£=1 = 3, £>-£?6' = 4又

11、因为X®故"严 口尸我宀 所Wada? =w°. Ufl uevEt X P4_LAC , 0rHOJ- .4C4CnEF=A AC匚平面 wu 皿匸平面"匚所口 PEI平向Mf； 丈 bA C + ta RD 赴、 晞匸平曲短址丄半ifilMC17.本小题主要考査備的的标准方釋与几何性质*直线与直嫌的位垃关系等根底知识.希登运 算求超能/k満分14井.解：设牺删的焦距为力、M FJ-c 0>, >；(c, UL(I )R为 /f(0t b) * 所IZJL HF产 Jtf=(J.又 HF士故 « =7?-16因为点丄花嗣上.所以占

12、4斧L解得b = 故所求椭同的方用为¥十卡“(2)因为 aco.fr), Fa(c. 0)在直线 4B 匕所以直线殆的方桎为- + - =LIK込八F + f a + c: J艮h乘N于工轴，由禰同的越称性.可祠"(：的坐标为因为血线F,C的観率为所以点1的坐标为«2+ r1 HFL±IWt 所 U?吁" 3u_c + £ 闵此屮=g加宀?. fi线M的斡率为-L .史尸=<<-、也理Jd ti =5e:-故e'=chjHd2«V-h=oT/ +,彻T + -T = 1 ,bdh *、产k解方輕殂(1?如

13、圈.HO为堂标原点.OC所在宜離为軸.建立平血ft ffl坐标蔡 眄由廉件知X(0,创.(XI70, 0),又因为肋丄M,所以血线 仏的斜率如二亍设点N的坐掠曲2r b),解时a = 8()6 = 1如WrLl 170 - 90)1+ (0 - 120)z -1SUI禺此新桥/比的KISO nt亢线饥伽率"SE罟(2)设保护区的边鑒風的*独为r叫OU = Jnl(WJ<M).曲駅件知.F线必的方程为?=- y(x - 170),即4a 3_)- 680 = 0. 由于岡耐与恆线BC相切故点M(0. d到直线BC的距离是f, 即壬国-680|跑-3d尸!导毎驭 国訥L第 18 &

14、amp;)園为U和,到圈V上任意一点的韭鹰为不少丁 HO m.解惜gd5.故当rf=W时，心翌导组大即風面段最上所以弯仍仁10 m时.風形保护区的闻枳最丸 網法二"(1?如南*延谊CM. R交于点卜、令兩數总屛牛2 - 1,那么-二令得“弋-J.JC当e (0. e - l)Uh Y】.故触h)是0 r - 1 )上的单州就甫数； 当讥(l -】，十b)时.“)>»*故旗珀是(严-I. + H)上的单询堀换数. 所以A(x)在(0*十© t一的最小値展A(r -】).Sfe®到山 *A(e) =0,所以半.t g (1, e - l)C(0, e

15、- 1)04, A(e - 1) h(r) <i(l) =0; 当耳乓(e-1 . e) G(e-1 . + 8)时、fc(j)<A(e) =0,所以肌苇)< 0对任意的* E (I,亡)成立 (D 当口 已(匕 *；*()U( I e>Bt, fi(n)c0,即 a - 1 < (p - I Una.从而e*-l< 旷1 ； 警畔"时 雪 n (© + ®) C(e1 + oc)时.+6)> A (r)山 即 «1 > (r-l ) lim,故 tb<,_J > fl*-1.综上所述T当盘皂f

16、 丁 .寸时.严 J7;半ON时T严丸I ;当d£(PT + ®JB-h frt_l > L |药本小題主要垮查数列的概念、等差数列尊根底知识,考查援究能力页推理论证能力"購分 16分*(1) 证阴：山.当歼31时.%产仏 恥严一 2' *2于是对任意的iEfiftii,总存 在jESC m =n + 】使=所以|%|足"HS(列=(2) 解；由已刼、得圮"叫+ J<2 t止用为|是“数列二所以T?在正麹数叫侵阳 S严心，即2 十 d“ 十(删l)d.于 SO« -2=1. IM 为d 0,所以 rri - 2 &

17、lt; 0,故 m= L 从|fii d = T当4-1时产2 - “町是小于2的整飙兀屮.干是对任意的正整数gM总77在正醱数»1-2 -久亠中厂),價得$2 -叶 J 所列二 兔此沖的(ft商-】.卩)证阴：谟等差数列|亦 的公差为叽那么叭g严(】)4呦严5-l(d-咗 gN* h 令直-rm, * c_= ( n - 1 ) (f/ - ut),那么孔二也+ ft e N * ).Kif设M的酣£!项棚为叮.那么匚=11罟12).干整对任息的正整数g皂存 在正林数刪5； V 使rt = 6,.所订1此1昆*h数列：同理町证匕他inHtn列：所对任宜的等闿教列山.总存柱

18、刚个穴丹«|6和|匚匚使得吐詔.十匚5总数学n (附加题)21. 选作题 此题包括A B、C、D,请选定其中两小题作答，假设多做，那么按作答的前两小题评分，解答 时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。A.选修4-1 :几何证明选讲(本小题总分值10分)如图，AB是圆O的直径，C,D是圆O上位于AB异侧的两点。证明：/ OCBMDOCB= ABC= D21 - A 题 1B.选修4-2矩阵与变换:本小题总分值10分矩阵A=21,B=x2，向量2,x,yy为实数，假设Aa = BB,求x+y的值。解析：1 2 2-2+2y112Aa =B B =1 x y2 xy21y所以由Aa= BB

19、 得:2+2y2 y2 xy 4 y1X 7解得2 x y -/ 2y 4C.选修4-4 :坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为-t2-It2AB的长。本小题总分值10分t为参数，直线I与抛物线y24x相交于A、B两点,求线段把直线方程22_ t为参数代入到y224x 中,所以,D.选修xABt1t2、2t，解得t128 20,t2824-5 :0, y不等式选讲本小题总分值0,证明：1 x y210 分2xy 9xy提示利用a b c 33 abc很简单就能得出结论。必做题第22题、23题，每题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22. (本小

20、题总分值10分)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球的除颜色外完全相同。从盒中一次随机取出 2个球，求取出的2个球颜色相同的概率 P;从盒中一次随机取出 4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为X1,X2,X3，随机变量X表示Xi,X2,X3中的最大数，求 X的概率分布和数学期望 E(X)18C4丄C 126'1 P X 41114c：c5 c；c6 阴c?63X234P111311463126所以随机变量X的概率分布如下表:因此随机变量X的数学期望:E(X)=2 X 1+3X 13+4X14631 20126923.(本小题总分值10分)sin x函数f0 X (x 0),设fn x为fn 1 x的导数，n Nx求2f1f2 2 2 2证明：对任意的n N ,等式nfn 1 fn 2都成立c4442解： 2打一 _ f2 = 12 2 2由得：xfo x sinx,两边分别对