第一章 知识点ppt课件

1、 第一章 数列，极限及连续性一一 、数列的定义、数列的定义例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意： 1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数列是整标函数数).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 例例1 求下列极限：求下列极限：nnnnnnnnnnnnnn)1(lim)4()1(1321211lim)3(313131121212

2、11lim)2(143lim)1(2222 二、数列极限的性质二、数列极限的性质1.收敛数列的有界性收敛数列的有界性例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数数列列数数轴轴上上对对应应于于有有界界数数列列的的点点nx都都落落在在闭闭区区间间,MM 上上.有界有界无界无界注意：有界性是数列收敛的必要条件注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .2.收敛数列的保号性收敛数列的保号性).0(0, 0),0(0,lim2 nnnnxxNnNaaax或或时，都有时，都有当当那么存在那么存在或或且且：如果：如果定理定理推论推论).0(0,lim00 或或则则）且

3、且（或或从从某某项项起起有有若若数数列列aaxxxxnnnnn3. 收敛数列的归并性收敛数列的归并性(子数列的收敛性子数列的收敛性) 定理定理3：如果数列收敛，那么它的子数列也收：如果数列收敛，那么它的子数列也收敛并敛并 且收敛于同一值。且收敛于同一值。 课本课本P40 例例9 4.唯一性唯一性定理定理4 4 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .三、函数极限的定义三、函数极限的定义 自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限 自变量趋向有限值时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限1、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的

4、变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx播放播放)()()(lim xAxfAxfx当当或或:.10情情形形 x:.20情形情形xAxfx )(limAxfx )(lim自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限单侧极限单侧极限)()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或2.自变量趋向有限值时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或单侧极限单侧极限3.单侧极限单侧极限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分

5、别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近; 00 xx记记作作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近; 00 xx记记作作yox1xy 112 xy.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理.lim0不不存存在在验验证证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例2证证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx

6、;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx 例例3试试问问函函数数 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x处处的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时，)(xf的的极极限限是是否否存存在在？解解)(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左极限存在左极限存在,)(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右极限存在右极限存在,)(lim0 xfx)(lim0 xfx)(lim0 xfx不存在不存在.1、无穷小、无穷小1.1 定义定义:极限为零的变量称为无穷小极限为零的变量称为无穷小.四、极限的运算法则四、极限的运算法则

7、例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数xx, 01lim xx.1时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.意义意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷无穷小小);).(,)()(. 20 xAxfxxf 误差为误差为附近的近似表达式附近的近似表达式在在给出了函数给出了函数1.2.无穷小的运算性质无穷

8、小的运算性质:定理定理1 在同一变化过程中在同一变化过程中,有限个无穷小的代有限个无穷小的代数和仍是无穷小数和仍是无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一变化过程中在同一变化过程中,有极限的变量与无穷小有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小的乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.xxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例例如如都是无穷小都

9、是无穷小2、无穷大、无穷大*绝对值无限增大的变量称为无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim. 20认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxxxxy1sin1 .,1sin1,0,但但不不是是无无穷穷大大是是一一个个无无界界变变量量时时当当例例如如xxyx 1(1)(0,1,2,3,

10、)22kxkk 取取()2,2ky xk lim().kkyx 无无 界界1(2)(0,1,2,3,)2kxkk 取取lim0 ,kkx 则则 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大11lim.1xx .)(,)(lim:00的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx 11 xy.)(,)(lim:的的图图形形的的水水平平渐渐近近线线是是函函数数则则直直线线如如果果定定义义xfycycxfx 直线直线 为函数的铅直渐近线。为函数的铅直渐近线。1x 直线直线 为函数的水平渐近线。为函数的水平渐近线。0y 1lim.1xx 3、

11、无穷小与无穷大的关系、无穷小与无穷大的关系2.cot,0,111tan,0,0,yxxyyxxyyy 例例当当时时为为无无穷穷大大. .当当时时为为无无穷穷小小3.tan ,0,0,111cot ,0,yxxyyxxyyy 例例当当时时为为无无穷穷小小当当时时为为无无穷穷大大. .定理定理4 4 在同一变化过程中在同一变化过程中, ,无穷大的倒数为无无穷大的倒数为无穷小穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .4、极限运算法则、极限运算法则定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfB

12、AxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为为常常数数而而存存在在如如果果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是是正正整整数数而而存存在在如如果果推论推论2 25、极限计算举例、极限计算举例例例4 4.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx52322 , 03 531lim232 xxxx.37 解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21

13、 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例5 5.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx分母 = 0 , 分子0 ,注 在不能直接用极限的四则运算法则时，可先考虑 将函数适当变形，再考虑能否用极限的四则运算法则。常用的变形方法有：通分，消去零因子，用非零因子同乘或同除分子分母，分子或分母有理化，等等。解解例例6 6.321lim221 xxxx求求。1 1后后再再求求极极限限因因子子先先约约去去不不为为零零的的无无穷穷小小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型（

14、消去零因子法）（消去零因子法）例例7 7.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法)“ 抓大头抓大头”小结小结: :为为非非负负整整数数时时有有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中

15、自变量的最高次幂除分子子, ,分母分母, ,以分出无穷小以分出无穷小, ,然后再求极限然后再求极限. .例8 求解 )1311(lim31xxx ) )型型( ( )1311(lim31xxx321131limxxxx )1(2lim321 xxxx12lim321 xxxx) )型型0 00 0( ()1)(1()1)(2(lim21 xxxxxx12lim21 xxxx. 1) )通分通分( (（消去零因子法）（消去零因子法）例9求xxx11lim0 解解xxx11lim0 ) )型型0 00 0( (（分子有理化）（分子有理化）)11()11)(11(lim0 xxxxx)11(1)1(

16、lim0 xxxx111lim0 xx.21 例10 求3662lim3 xxx解解) )型型0 00 0( (（分母有理化）（分母有理化）3662lim3 xxx)36)(36()36)(62(lim3 xxxxx9)6()36)(62(lim3 xxxx)36(2lim3 xx.12例例1111.sinlimxxx 求求解解为为无无穷穷小小，时时，当当xx1 是是有有界界函函数数，而而xsin. 0sinlim xxxxxysin 例例1212).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设解解单侧极限为单侧极限为是函数的分段点，两个是函数的分段点，两个0 x)1(lim)

17、(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,.1)(lim0 xfx故故yox1xy 112 xy例例1313).21(lim222nnnnn 求求解解是是无无穷穷小小之之和和时时, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.例例14 )2ln(lim 2xxx 2)4ln(lim 0 ttt换元法例例15150ln(1)limxxx . 1 xxx10)1ln(lim 原原式式)1(limln10 xxx eln 解解

18、极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;6.夹逼准则夹逼准则x00 x0 x0 xy ay ayay )(xhy )(xfy )(xgy 注意注意: :.,的的极极限限是是容容易易求求的的与与并并且且与与键键是是构构造造出出利利用用夹夹逼逼准准则则求求极极限限关关nnnnzyzy原则原则 I和准则和准则I称为夹逼准则称为夹逼准则.例例1616).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn

19、注：注：1) 1) 求求n n项和的数列极限时常用夹逼准则。项和的数列极限时常用夹逼准则。 2) 2) 使用夹逼准则时需要对极限的值有个猜测使用夹逼准则时需要对极限的值有个猜测。求求极极限限例例,1172nnxn 222211nnnnnx1x2x3x1 nxnx7、单调有界准则、单调有界准则满满足足条条件件如如果果数数列列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.几何解释几何解释:AM注注: : 此准则只给出了极限存在的充分性条件，并没此准则只给出了极限存在的充分性条件，并没有给出极限是什

20、么。但是，在已知极限存在时常可以有给出极限是什么。但是，在已知极限存在时常可以通过一些方法求出极限特别是由递推公式给出的数通过一些方法求出极限特别是由递推公式给出的数列的极限问题）。列的极限问题）。8、两个重要极限、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx例例18. 求求xxx5sinlim0例例19. 求求xxxtanlim0例例20. 求求.)(3sinlimaxaxax例例21. 求求.cos1lim20 xxx例例18. 求求解解:xxx5sinlim0555sinlim55sinlim00 xxxxxx例例19. 求求解解:xxxtanlim0 xxxxxxxcos1sinlimt

21、anlim001cos1limsinlim00 xxxxx例例20. 求求解解: xa时，时， (x)= xa 0, 故故.)(3sinlimaxaxax3)(3sinlimaxaxax例例21. 求求解解:.cos1lim20 xxx2122sinlim2120 xxx220202sin2limcos1limxxxxxx22022sin21limxxx一般地，(i)kxxkxsinlim0(k为常数).(ii) 当xx0(或x )时，(x)0，那么. 1)()(sinlim)(0 xxxxx注意：注意：xxx10sinlim1100 xxxsinlim10 xxxsinlim1xxx1sin

22、lim(2)exxx )11(lim（利用单调有界收敛准则）（利用单调有界收敛准则）ennn )11(limexxx 10)1(lim,1xt 令令)71828. 2( e例例2222.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例2323.)(limxxxx21求解解22)11(lim)11(limxxxxxx 原式原式.2e 例例24. 求求解解:.)tan31(lim2cot20 xxx xxx2cot20)tan31(lim33tan31202)tan31(limexxx B)x(gXxXxXxg(x)A)x( flim B)x(gl

23、im , 0A)x( flim ,f(x)y 则则有有设设幂指函数幂指函数.)(limsinxxx201求例例2525.)23(lim2xxxx 求求解解222)211(lim xxxx原式原式.2e 例例26269、无穷小的比较、无穷小的比较无穷小之比的极限无穷小之比的极限0/0可以出现各种情况：可以出现各种情况：极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢程度不同快慢程度不同.例如例如,xxx20limxxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx ; 2快得多快得多比比 xx;sin大大致致相相同同与与xx

24、不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不不存存在在观察各极限观察各极限型）型）（0020limxxx; 2慢慢得得多多比比 xx, );(, 0lim)1( o记记作作高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比就就说说如如果果定义定义: :. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;),0(lim)2(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 CC;, 1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地.),0, 0(lim)3(无穷小无穷小阶的阶的的的是是就说就说如果如果kkCCk ，03lim20 xxx，1sinlim0

25、xxx高阶的无穷小，高阶的无穷小，是比是比时，时，当当xxx302；即即)0( )3(2 xxox).0( sinxxx例例1例例,lim212112nnnn例例3是是同同阶阶无无穷穷小小。与与时时，当当nnnn2112例例2727解解.tan4 ,0:3的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时当当证证明明xxxx 430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时故故当当xxxx 例例2828.sintan,0的的阶阶数数关关于于求求时时当当xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21

26、 .sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 10、等价无穷小、等价无穷小定理定理( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) ).limlim,lim, 则则存存在在且且设设1、等价无穷小的代换性质、等价无穷小的代换性质例例2929.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意结论结论P60）例例3030.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,t

27、an,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 时的几个常见的等价无穷小时的几个常见的等价无穷小*02x、例例31例例34例例32例例33xexx10lim求求10 xxxarcsinlim证：证：axxax110)(lim求求xxx)ln(lim10求求常用等价无穷小常用等价无穷小: :时时，当当 0 x，xxxxxx)1ln(arctanarcsintansin )0(1)1(,21cos1,12 aaxxxxxeax),(ln

28、101aaaxax总结总结1.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.特殊：1.裂项2.分子或分母有理化3.换元法4.夹逼法5.数列求和6.多项式除法（区别x趋于无穷大还是无穷小）7.重要极限8.等价无穷小替换(乘积) 课堂练习题课堂练习题例例34、求下列极限：、求下列极限：1、 2、3、 4、x

29、xxln)1arcsin(lim1mnxxx)(sin)sin(lim0)cos1 (cos1lim0 xxxx11sin( )1lim()xxxx 次序排列起来：次序排列起来：的的的无穷小按低阶到高阶的无穷小按低阶到高阶、将下列、将下列例例035x).arctan()(,)(,)cos()(,)(),ln()(sin322125141311211xexxxx可见 , 函数)(xf在点0 x定义定义1:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点0 x即)(0 xf(2) 极限)(lim0 xfxx(3). )(

30、)(lim00 xfxfxx设函数连续必须具备下列条件:存在 ;且有定义 ,存在 ;五、函数的连续性五、函数的连续性例例3636.0, 0, 0, 0,1sin)(处处连连续续在在试试证证函函数数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义由定义1知知.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf),0()(lim0fxfx 11.1单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 结论：结论：.)()(00处处既既左左连连续续又又右右连连续续在在是是函函数数处处连连续续在在函

31、函数数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 例例3737.0, 0, 2, 0, 2)(连连续续性性处处的的在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf11.2、区间上的连续函数、区间上的连续函数在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的连续函数的连续函数,或者说

32、函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.11.3、函数的间断点、函数的间断点处不连续或间断。处不连续或间断。在点在点此时也称此时也称0 xxf)(;)()(处无定义处无定义在点在点01xxf;)(lim)()(不不存存在在处处有有定定义义，但但在在点点xfxxfxx002).()(lim)(lim)()(00003xfxfxfxxfxxxx但但存存在在，处处有有定定义义且且在在点点).()()(或或间间断断点点的的不不连连续续点点是是那那么么一一，处处出出现现以以下下三三种种情情况况之之在在点点如如果果xfxxxf00(1)可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的的

33、可可去去间间断断点点为为函函数数义义则则称称点点处处无无定定在在点点或或但但处处的的极极限限存存在在在在点点如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例3838.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0为函数的可去间断点x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, , 则可使其变为连续点则可使其变为连续点. .如例如例38中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 1

34、0,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxfoxy112(2)跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的的跳跳跃跃间间断断点点为为函函数数则则称称点点但但存存在在右右极极限限都都处处左左在在点点如如果果xfxxfxfxxf 例例3939.0, 0,1, 0,)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为为函函数数的的跳跳跃跃间间断断点点 xoxy可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点. .特点特点.0处的左、右极限都存在处的左、右极限都存在函数在点函数在

35、点 x(3)第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例4040.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.0为函数的第二类间断点x.断断点点这这种种情情况况称称为为无无穷穷间间例例4141.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0为为第第二二类类间间断断点点 x

36、.点这种情况称为振荡间断注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点. .可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 xo1x2x3xyx xfy 判断下列各间断点类型判断下列各间断点类型:例例4242例例4343.0, 0, 0,cos)(,处处连连续续在在函函数数取取何何值值时时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要要使使,1时时故

37、当且仅当故当且仅当 a.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf, 1 a六、最大值和最小值定理六、最大值和最小值定理.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在区间在区间是函数是函数则称则称都有都有使得对于任一使得对于任一如果有如果有上有定义的函数上有定义的函数对于在区间对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 定理定理1 1 闭区间上的连续函数在该区间上有界闭区间上的连续函数在该区间上有界并一定有最大值和最小值并一定有最大值和最小值. .注意注意:1.:1.若区间是开区间若区间是开区间, , 定理不一定成立定理不一定成立; ; 2. 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, , 定理不一定定理不一定成立成立. .七、零点定理与介值定理七、零点定理与介值定理定义定义: :.)(, 0)(000的的零零点点称称为为函函数数则则使使如如果果xfxxfx .),(0)(内内至至少少存存在在一一个个实实根根在在即即方方程程baxf ab3 2 1 几何解释几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端