数理统计试题及答案

1、数理统计考试试卷一、填空题（本题 15分，每题3分）1、 总体XN（20,3）的容量分别为10,15的两独立样本均值差 X -Y ；2、 设XX2,，乂花为取自总体 X N（0,0.52）的一个样本，若已知7（2.01（1632.0,则16PZX >8=；i 43、 设总体XN（j；2），若和二2均未知，n为样本容量，总体均值的置信水平为1 -«的置信区间为（X k,X +入），则k的值为4、 设X1,X2,.,Xn为取自总体XN（4；2）的一个样本，对于给定的显著性水平:，已知 关于CT2检验的拒绝域为 7- 2<晋七（n-1），则相应的备择假设 H1为;5、 设总体X

2、N（7；2），匚2已知，在显著性水平0.05下，检验假设H。： _ *,H 1 : ： J , 拒绝域是。11、 N(0,) ;2、0.01;23、怙(n 1)卓;2n2 24、 - 0 ；5、 Z Z0.05。二、选择题（本题 15分，每题3 分）1、设X1，X2，X3是取自总体X的一个样本，是未知参数，以下函数是统计量的为（1(A) :-(X1 X2 X3)(B) X1 X2 X3(C)X1X2X3a2、设X1,X2, Xn为取自总体XN（；2）的样本，X为样本均值,1 3 2(D) (X)23 yS2(Xi -X)2 n i#则服从自由度为n -1的t分布的统计量为（(A )- n( J

3、)(B )2Sn（C）n（X）CJ（D） n（X）Sn3、设X1,X2/ ,Xn是来自总体的样本,D（X）=；2 存在，S21 nTX(Xi-x)2,则（A） S2是二2的矩估计（B） S2是二2的极大似然估计（C） S2是二2的无偏估计和相合估计（D） S2作为二2的估计其优良性与分布有关4、设总体X N（叫，g2）,YN（,；採）相互独立，样本容量分别为n 1, n2，样本方差分别为S； , M，在显著性水平:下，检验H 0 : of _ 匚;，H1 :;； ： ；I 的拒绝域为（(A)-2 _F(n2 -1,n1 -1)62s2(B )- A F g( n2 1 n1 - 12Si(C)

4、2 _F-.(ni 1,n2 )2S2(D)2 兰 Ft a(n1 1, n2 1)S12S1设总体XNK2），匚2已知,Xi,X2, X 是来自总体的样本观察值，已I的置信水平为0.95的置信区间为（4.71,5.69），则取显著性水平 a =0.05时，检验假H0 -5.0, H1 : )=5.0 的结果是(（A ）不能确定(B)接受H0(C)拒绝H°（D）条件不足无法检验1、B; 2、D;3、C； 4、A； 5、B.三、（本题14分）设随机变量X的概率密度为:2 x 0 . 0fEfJ其他，其中未知参数二0，X1/ ,Xn是来自X的样本，求（1）二的矩估计；（2）二的极大似然估

5、计。解：(1) E(X)二 _.xf (x)dx =令询次弓，得几沪为参数'的矩估计量。似然函数为：L（xD,0 ：Xi ：m,（i =1,2,，n），im廿 廿 im而L（v）是二的单调减少函数，所以 二的极大似然估计量为 -maxX1,X2 ,Xn。四、（本题14分）设总体XN（0,二2），且X1,X2 X10是样本观察值，样本方差s2 =22（1）求匚 的置信水平为 0.95的置信区间;（2）已知Y二务2（1），求dX2的置信解:(1)c 2的置信水平为0.95的置信区间为18180.025(9)0.975(9)，即为（0.9462, 6.6667);(2)X2T71DCTX2T

6、7,D 2(1)=c2仅2、2由于2是匚2的单调减少函数，置信区间为2丿即为（0.3000, 2.1137）。五、（本题10分）设总体X服从参数为二的指数分布,其中二 0未知,X1,，Xn为取自n总体X的样本， 若已知U = 、 Xi2（2n），求：日y（1）二的置信水平为1-:的单侧置信下限；（2） 某种元件的寿命（单位：h）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本，测得样本均值为5010（ h），试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。(监05(31) =44.985,监10(32) =42.585)。解：（H竿 <卷(2n)=1a, P T > 严-a,.M

7、l即日的单侧置信下限为 g = 2“X ； ( 2) g = 2 "6工5010 =3764 706 。 -2(2 n)一 42.585六、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度X N（10,1），今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8 （mg/L），标准差为1.2 （ mg/L ），问该工厂生产是 否正常？ ( a =0.05乙。25(9) =2.2622盜025(9)=19.023,瞪75(9) = 2.700)解:（1 ）检验假设H。：二2=1 , H1：匚2工1；取统计量：2 (n -1)s时；拒绝域为：'2W 7 2。( n1) = 72

8、 975 (9) =2.70 或/ 2/一 ；(n 1)=猛25=19.023 ,1i1经计算：2 2(n _1)S9 1.212.96，由于 2 =12.96. (2.700,19.023) 2,01故接受H0,即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为c 2=1。X 10(2 )检验假设H 0： » =10, H：式10 ；取统计量：t= t丹(9)；S/11O 210 R _ 10 拒绝域为 t 蜀0025(9)=2.2622t = 10.8 二=2.1028<2.2622，所以接受 H0，1.2M/10即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10(mg/L)。综上，认

9、为工厂生产正常。七、(本题10分)设X1,X2,X3,X4为取自总体 XN(i,42)的样本，对假设检验问题H。：=5, H1 :=5，( 1)在显著性水平0.05下求拒绝域；(2)若=6，求上述检验所犯 的第二类错误的概率1。解: (1)拒绝域为 z J更;5Zz0.025 =1.96;4/442(2)由(1)解得接受域为(1.08，8.92)，当卩=6时，接受H0的概率为=P1.08 : X ：8.928.92一6 一门 1.08 _6 =0.921。I 2丿I 2丿八、(本题8分)设随机变量 X服从自由度为(m,n)的F分布，(1)证明：随机变量 1服从X自由度为(n,m)的F分布；(2

10、)若口可，且PX =0.05，求PX 丄的值。Ct证明：因为X F(m,n),由F分布的定义可令 x二匕山，其中U2(m),V 2(n)，U V /n与V相互独立，所以丄二YZ2f(n,m)。X U /m当m=n时，X与1服从自由度为(n, n)的F分布，故有PX = = PX -，X«111从而 PX = P ： ： =1P:二 =1 Px ：=1 0.05 = 0.95。aXX数理统计试卷参考答案、填空题（本题 15分，每题3分）1、 N(0,-) ;2、0.01;2S3、n -1)-.2n2 _ 24、- 0 ;5、z _ _z0.o5。、选择题（本题 15分，每题3 分）1、

11、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、B.三、（本题14分）解:(1) E(X) = (x)dx =_ n3 令E（f） =X = 71，得?=X为参数71的矩估计量。32n 2x2n n似然函数为：L（xD 汕 Xi ,0 ：Xi ，（i =1,2, ,n），iT廿 廿im而L（R是的单调减少函数，所以的极大似然估计量为 =maxX1,X2 ,Xn。四、（本题14分）解:六、(本题14分)解:(1 )检验假设 H0：=1 , H1：丰1 ； 取统计量：2 (n -1)s2 ；_J；- 0拒绝域为：: a(n 1)=益.975(9)=2.70 或 2"：(n1)= 025=19.0

12、23,22经计算：2 =5 _?S =9 1.2 =12.96，由于 2 =12.96 (2.700,19.023) 2, % 1故接受H0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为c 2=1。(1) ;2的置信水平为0.95的置信区间为1820.025180.975(9)，即为(0.9462, 6.6667);(2) DX23 a12D<T12 <1D 2(1) = 22 ；a由于2 22是二的单调减少函数，置信区间为2 22 , 2 CT CF即为(0.3000, 2.1137)。五、(本题10分)解：(1)匸P*竽:2(2n)2nX>2 1 -,：.(2n)即'的单侧置信下限为签；(2宀2 16 50103764.706。42.585(2)检验假设H0:T0,、10 ；取统计量： UX 一10仁(9)；S/J102拒绝域为 t Zt0 025 (9) =2.2622 ； = t =10.8H=2.1028<2.2622，所以接受 H；，1.2M/10即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10(mg/L)。综上，认为工厂生产正常。七、(本题10分)解:(1)拒绝域为”斜罗詁25“96；(2)由解得接受域为(1.08, 8.92),当卩=6时，接受H0的概率为P = P1.08 c8.92='8.92 一6 L门&q