讲分布函数及概率密度

1、 概率论与数理统计概率论与数理统计第六讲第六讲主讲教师：张冬梅主讲教师：张冬梅 博士博士 副教授副教授浙江工业大学理学院浙江工业大学理学院l2.3 随机变量及其分布随机变量及其分布l随机变量的分布函数；随机变量的分布函数；l概率密度；概率密度；l几种常见连续型随机变量分布几种常见连续型随机变量分布2.3.1 随机变量的分布函数随机变量的分布函数定义定义1: 设设 X( ) 是一个随机变量，称函数是一个随机变量，称函数 F(x) = PXx, - - x 为随机变量为随机变量 X 的分布函数的分布函数。性质：性质：(1).(1). a b, ,总有总有F( (a)F( (b)()(单调非减性单调

2、非减性) )；(2).(2).F( (x) )是一个右连续函数；是一个右连续函数；(3).(3). x R，总有，总有00F( (x)1()1(有界性有界性) )，且，且。， 1)(lim 0)(limxFxFxx. )()(lim ),()(limFxFFxFxx为为常记证明：证明：仅证仅证 (1)。因因 aXb = Xb - -Xa， PaXb = PXb - - PXa = F(b) - - F(a) .又又，因，因 PaXb0， 故故 F(a)F(b) .注意：注意：一个重要公式一个重要公式: : P a0，则称，则称X服从参数为服从参数为和和的正态分布。的正态分布。II. 正态分布正

3、态分布 的图形特点的图形特点),(2N特点特点“两头低，中间高，左右对称两头低，中间高，左右对称”。关于关于X= =对称的对称的钟形曲线钟形曲线, ,并在并在 x=x=处处达到最大值达到最大值. 21)(f 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N 决定了图形的中心位置决定了图形的中心位置, 决定了图形决定了图形峰的陡峭程度。峰的陡峭程度。这说明：曲线这说明：曲线 f(x) 向左右伸展时，越来越贴向左右伸展时，越来越贴近近 x 轴。即轴。即 f (x) 以以 x 轴为渐近线。轴为渐近线。 xexfx,)()(22221 当当 x 时，时，f(x) 0。求导的方法可以证明：求导的方法可以

4、证明：为为f (x)的两个拐点的横坐标。的两个拐点的横坐标。x = . ,21)(222)(xdtexFxtIII. 正态分布正态分布 的分布函数的分布函数),(2NIV. 标准正态分布标准正态分布. d21)( 21)(2/2/22texxexxtx， 称称 N(0, 1) 为标准正态分布，其为标准正态分布，其密度函数密度函数和分布函数常用和分布函数常用 来来表示。表示。(附录附录)( )(xx和和依据？依据？ 标准正态分布的重要性在于，标准正态分布的重要性在于，任何一个任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。标准正态分布。根据定理根

5、据定理1,1,只要将标准正态分布的分布函数只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题。算问题。. ) 1 , 0() ( 2NxYNx，则则，设设定理定理1：附录（附录（P289P289）附有标准正）附有标准正态分布函数数值表，可以态分布函数数值表，可以解决解决一般正态分布一般正态分布的概率的概率计算问题。计算问题。V. 正态分布表正态分布表. )(1)( 0 xxx时时，当当. d21)(2/2texxt表中给出的是表中给出的是 x 0时，时，(x)的取值的取值;xx若若 XN(0, 1),bxaPbXaP； )()(abb

6、XaPbXaP. ab，若若) ( 2NX服从服从N(0,1)解解: : 设车门高度为设车门高度为 h ，按设计要求按设计要求P(X h)0.01，或或 P(X h) 0.99，求满足上式的最小的求满足上式的最小的 h。例例1 1：公共汽车车门的高度是按成年男性与车公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在门顶头碰头机会在0.01以下来设计的。以下来设计的。设某地设某地区成年男性身高区成年男性身高 (单位单位: cm) XN(170, 7.692),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定? ?因为因为XN( (170,7.,7.692),),， ) 1 0(69. 7170NX ，故

7、故99. 0 69. 7170 69. 717069. 7170X hhPhXP求满足求满足 P(X h) 0.99 的最小的最小 h。，）得得查表，查表，99. 0 9901. 02.33( .88. 1 33. 269. 7170 hh即即，所所以以，故，当汽车门高度为故，当汽车门高度为188厘米时，可使男子与厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过车门碰头机会不超过0.01。若若随机变量随机变量 X 的概率密度为：的概率密度为：则称则称 X 服从区间服从区间 a, b 上的均匀分布，记作：上的均匀分布，记作：X Ua, b. , 0, ,1)(其其他他bxaabxf2. 均匀均匀分布分布 (

8、Uniform)(注注: 也记作也记作 X U(a, b) )。. d )( abcdxxfdXcPdc若若X Ua, b，则对于满足，则对于满足 acdb 的的c 和和 d，总有，总有 指数分布常用于可靠性统计研究中，如指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命服从指数分布。元件的寿命服从指数分布。 定义：定义：若随机变量若随机变量 X 具有概率具有概率密度密度3. 指数分布指数分布0)( . 0 , 0 , 0 , )(xxexfx则称则称 X 服从参数为服从参数为 的指数分布，记成的指数分布，记成 X E()。例例2：设某电子管的使用寿命设某电子管的使用寿命X(单位：小时单位：小时)服

9、从参数服从参数=0.0002的指数分布，求电子管使用的指数分布，求电子管使用寿命超过寿命超过3000小时的概率。小时的概率。. 5488.0 0002.0 )(3000 6 .0 3000 0002.0 3000 edxedxxfXPx解：解：2.3.4 连续型连续型随机变量随机变量的分布函数的分布函数即分布函数是密度函数的变上限积分。即分布函数是密度函数的变上限积分。由上式，得：由上式，得：在在 f (x)的连续点，有的连续点，有. )()(xfdxxdF回忆：若回忆：若X 是连续型随机变量，是连续型随机变量，f ( (x) )是是X 的的密密度函数，度函数，F(F(x) )是分布函数，则对任意是分布函数，则对任意xR，总，总有有. )()( xdttfxF求连续型随机变量的分布函数求连续型随机变量的分布函数例例4： 设随机变量设随机变量 X 的密度函数的密度函数. 0, 11,12)( 2其他xxxf解：解：求求 F(x) . d )()(xttfxXPxF对对 x 1， 有有 F (x) = 1.，有，有对对 11 x. 1, 1, 11,21arcsin11, 1, 0)(2xxxxxxxF即即思考：均匀分布的分布函数是什么？l随机变量的分布函数；随机变量