2020年高考数学一轮总复习69线性和非线性回归模型的建立

1、高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第69讲:线性和非线性回归模型的建立【知识要点】一、建立线性回归模型的基本步骤：确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在线性关系）；由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）；按照公式计算回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等二、建立非线性回归模型的基本步骤：确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，

2、观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等）；通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；消去新元，得到非线性回归方程；得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等三、检查数据模型拟合效果的好坏，一般有三种方法方法一：通过残差分析，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，则说明选用的模型比较合适，反之，不合适.方法二：通过残差平方和分析，如果残差的平方和越小，则说明选用的模型比

3、较合适，反之，不合适.方法三：用相关系数来刻画回归的效果，其计算公式是：2v(y-y)2R2=1-早其中yi-y=真实值-预报值=残差，R2值越大，说明残差的平方和越小,x(yi-y)2i1也就是说模型的拟合效果越好【方法讲评】题型一线性回归模型的建立解题步骤确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(是否存在线性关系)；由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a);按照公式计算回归方程中的参数(如最小二乘法)，得到线性回归方程；得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否

4、有误，或模型是否合适等.【例1】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x(Q101113128发芽数y(颗)2325302616该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归

5、方程y=bx+a;(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠?“Xiyi-nxy”供x)(y-y)_nn-=z,a=y-bx)222X-nx(xx)i4i4【解析】(1)设独到不相邻两组数据为事件，因为从5组数据中选取2组教据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，苴中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以P(A)=1-=3.故选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是-1055(2)由射据，求得二;(11+13-12)=12,y=|(25+30+26)=27,3xy=972.=11x25+1

6、3x30+12x26=977,V=lf+13;+12;=434,3x=432.yXU-WXV_八，c由公式J求得苫=u-=977-972=2,a-y-bx-27-xl2=-3小泼73222所以F关于丫的线性回归方程为，=*-3.5(3)当x=10时，？=5父103=22,|2223|2;5同样，当x=8时，？=3父83=17,|17-16|/*9丈25.十1=2L31255=今94.25-5x1.55x7.2=4.13421.3125-5x1.550=7-=7.2-4.134x1.550.8,/i-4134所以了=4.13张十0.8,所以y与工的回归方程是y=?1+0.8xk【点评】（1）由y

7、与x的散点图得到y与X不具备线性关系，近似地满足反比例函数y=上，X，,，I一，一一一1所以不能直接用最小二乘法求它们的回归方程.怎么求呢？可以通过换兀t=，得到y=kt,y与t近似满足线性关系，可以利用最小二乘法求线性回归方程.（2）相比建立线性回归方程模型，建立非线性回归方程模型多了两个步骤，即第四步通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型，第六步去新元，得到非线性回归方程。这个实际上，是数学中的转化的思想的具体运用【反馈检测2】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费Xi和

8、年销售量yi（i=1,2,3,.8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.XyW8工(Xi-X)2i=18Z(Wi-w)i=18工(Xi-x)(yi-y)i=18工(Wi-w)(yi-y)i=146.65636.8289.81.61469108.8iL-1;表中：Wi=.Xi,w二一wi.8y（I）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dJX,哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（n）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（出）已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2yx,根据（II）的结果回答下列问题:（

9、i）当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少?(ii)当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？并求出最大值高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第69讲:线性和非线性回归模型的建立参考答案【反馈检测1答案】(I)?=-1.45x+18.7；(II)预测当x=3时，销售利润z取得最大值.反馈检测1详细解析】(I)由已知得还。-10J5人工*LQ,_由Z巧耳=242=2工；=220,解得5=丹-=L45,白=j-法=1g.7所以回归直线的方程为y=T4.5x+1&7(II)z=-1.45x+18.7-(O.O5x2-1.75x+17.2)=-0.05V+03x+l5=-0_05(x-3)

10、2111所以预测当x=3时,销售利涧z取得最大值.【反馈检测2答案】（I）由散点图可以判断，y=c+dJX适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（n）y关于x的回归方程为；=100.6+68心；（出）（i）当x=49时，年销售量y的预报值y=576.6,年利润z的预报值Z=66.32;（ii）当x=46.24时，年利润的预报值最大.【反馈检测2详细解析】（I）由散点图可以判断，y=c+dJX适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（II）令w=或，先建立y关于w的线性回归方程，由于d=理6=68,1.6C=y-dw=563-68X6.8=100.6,所以y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为y=100.6+68&,（出）（i）由（n）知，当x=49时，年销售量y的预报值y=100.6+68J49=576.6,年利润z的预报值Z=576.6X0.2-49=66.32,（ii）根据（n）的结果可知，年利润z的预报值Z=0.2（100.6+68）-x=-x+13.66+20.12,当=6.8,即x=46.24千元时，年利润的预报值最大.2真理惟一可靠的标准就是永远自相符合。一一欧文土地是