三角形的面积计算教学研究

1、从忘记“+2 2”说起关于“三角形的面积计算”的教学研究华中科技大学附属小学冯胜杨道吉摘要：本研究从学生在计算三角形面积时，出现忘记“+2 2”的现象入手，比较数学知识的形成过程以及学生的已经经验，思考学生数学学习的障碍，探寻三角形的面积计算的有效教学策略。关键词：典型错误，教材分析，教学建议，实验结果在教学中，我们会发现有些学生在计算三角形面积时，会直接用“底 X X 高”。如果我们让学生检查，他们会很快发现自己忘记“+2 2”，并很快订正。通常，我们把这样的错误看作是学生“粗心”造成的，真的是粗心吗？为什么有些学生经过反复训练后，还在出现此类错误呢？面对这样的现象，笔者认为我们不能简单地站

2、在“成人视角”去理解，而应更多以“儿童视角”来分析产生此类错误的原因，以便我们运用更适合儿童心理的教学方法，尽量避免孩子们在认识上“少走弯路”。基于这样的认识，笔者开展了有关“三角形的面积计算”的教学研究，准备从学生作业错例分析入手，结合对教学内容的再次思考，探寻学生错误的真实原因，提出较为合理的教学建议。一、三角形面积计算的典型错误和错因分析（一）测试的问题及意图在设计测试的问题时，我们将三角形的面积计算的数学运用分为了三个层次。序号测试问题设计意图1 1计算卜面二角形的面积。（单位：厘米）三角形面积计算公式的正向运用层次。4.24.22 2一个二角形的面积是 2424 平方厘米，图是 4.

3、84.8 厘三角形面积计算公式的逆米。这个三角形的底是多少？向运用层次。3 3有块三角形的菜地，底是 35m35m 比高多 13m,13m,如果每 2020 平方分米有一棵大白菜。这块菜地共有多少棵大白菜？该问题中三角形的面积计算是解决最终问题的过渡性问题， 属于三角形面积计算的情境运用层次。（二）测试的对象和过程20132013 年 1111 月，我们选择了使用人教版课标教材小学数学五年级上册的个教学班。其中 2 2 个班的学生作为对照班在没有使用本研究的教学建议学习算”后完成测试， 另一个班的学生作为实验班在使用本研究的教学建议学习算”后完成测试。测试后我们对学生的解题情况进行初步整理，

4、在整理的基础上选择了部分学生单独进行访谈，测试与访谈在同一天完成。（三）测试的结果与分析1 1 . .三角形的面积计算运用的整体掌握情况我们将对照班的 7878 名学生的测试卷的三个问题从正确率、错误率以及“算法”错误率三个方面进行了初步的数据统计，其中“算法错误”指运用三角形面积计算公式时，列式造成的错误。（“错误率”的计算方法：三角形面积计算列式错误人数+被测学生人数 X100%X100%）。有关统计数据如下。F F 小学五年级部分学生“三角形的面积计算”测试数据分析（1 1）.百分比7目向区正确率错误率“算法”错误率问题 1 184.6%84.6%15.4%15.4%10.3%10.3%

5、问题 2 278.2%78.2%21.8%21.8%20.5%20.5%问题 3 338.5%38.5%61.5%61.5%24.4%24.4%由上表可知：学生对三角形的面积计算运用的掌握情况是有层次的。其中“算法”错误有下面两类典型错误。序号典型错误错误原因1 1|.卜曲单 a 爆米）三学生直接用“底 X X 高”来计算三角形的面积。F F 小学五年级 3 3“三角形面积计“三角形面积计学生求三角形的底时，直接用“三角形的面积+高”。针对以上错误，还进行了学生进行了访谈。在访谈时，多数学生看到自己出现的第一类错误，随即就说“老师，我忘记除以 2 2 了。当我们追问：“你为什么会忘记除以 2

6、2 呢？”，学生答到“和平行四边形的面积计算方法弄混了”。继续针对学生出现的第二类错误访谈“你为什么这样做？”，学生说到“原来，求长方形和平行四边形的，也是这样算的”。由此可见，学生对三角形的面积计算公式的运用，很容易受已有对长方形和平行四边形的面积计算公式的影响。2 2 . .三角形的面积计算在不同背景中运用的掌握情况为进一步探索学生在不同背景中，三角形面积计算公式正向和逆向运用的相互影响关系。我们关注了测试答卷中以下三类情况，学生答题过程中“算法”错误统计，如下表。F F 小学五年级部分学生“三角形的面积计算”测试数据分析（2 2）数据目“算法”错误人数“算法”错误率问题 1 1 解答正确

7、，问题 3 3“算法”错误一121215.4%15.4%问题 1 1 解答正确，问题 2 2“算法”错误9 911.5%11.5%问题 1 1 和问题 3 3 解答正确，问题 2 2“算法”错误4 45.2%5.2%从上表可知：（1 1）部分学生虽然能直接正向运用三角形面积计算公式，但在具体情况中正向运用时错误较多。出现该现象的原因是具体情境中运用公式时，易受情境信息和干扰因素等影响。（2 2）部分学生对三角形的面积计算的逆向运用掌握情况低于正向运用。（3 3）当学生不同背景中，能克服干扰因素和复杂背景正确的正向运用三角形的面积计算公式时，三角形的面积计算公式的逆向运用掌握也较高。也许我们会有

8、这样的疑问：为什么教学过程中学生操作了，教师演示了，还有学生出错呢？真的是学生无法跨越这道坎吗？下面是笔者观察到的教学片断，也许会引起我们一些新思考。【教学现象】（1 1）每个组准备了一些三角形，请同学们摆一摆，拼一拼，看能不能拼成我们学过的平面图形（学生合作探究）。(2)(2)交流汇报，每个小组选代表到黑板上演示。(3)(3)小结：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。(4)(4)自主探究：三角形与所拼成的平行四边形有什么关系？(5)(5)合作探究：通过“转化”“找关系”，你能推导出三角形面积计算公式吗？(6)(6)板书：三角形的面积=底*高+2 2S=ahS=ah+2+2【分析与思考

9、】在这个教学片断中，学生充分经历了三角形面积计算公式的推导过程吗？我认为学生只是被动的按教师的设计机械地完成了一系列的操作，没有充分经历计算公式的探究过程。在这一过程中，学生只是“操作工”，对于“为什么会想用两个完全一样的三角形来拼？”、“还有其他推导方法吗？”等问题学生没有主动地思考，更谈不上猜想和创造。这样肤浅的操作导致学生没有深刻的理解，记忆也不深刻的。这样看来，学生作业时会忘记“+2 2”也是情有可原。二、三角形面积计算的教学内容和教材分析从以上测试，我们发现部分学生习惯于将“平行四边形的面积计算公式直接运用于三角形的面积计算”中的现象。为此，我们将平行四边形和三角形的面积计算公式的推

10、导过程、面积计算公式的数学结构以及公式的变式运用等三个方面来对比分析，再次思考学生错误的真实障碍。具体分析如下。平行四边形和三角形的面积计算学习内容的对比分析内图、形平行四边形的面积计算三角形的面积计算计算公式的推导过程将平行四边形用割补法转化成为与它面积相等长方形，因为长方形的长与平行四边形的底相等，长方形的宽与平行四边形的高相等，而长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘图。(如图 1)1)将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形(或长方形)，因为平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，所以可以推出三角形的面积

11、=底 X X 高+2+2(如图 2)2)(其他方法不说明)计算公式的数学结构平行四边形的面积计算公式为 S-ah,S-ah,表示面积等于对应底和局的乘积，也就是两个变重的乘积。三角形的面积计算公式为 S-S-ah,ah,表示面积等于对应底和高的乘积的二分之一，是两个变量乘积的2。计算公式的变式运用a-S+ha-S+h 或 h-S+ah-S+aa-2S+ha-2S+h 或 h-2S+ah-2S+a从以上对比中，我们可以发现：1 1 . .在平行四边形的面积计算公式推导过程中，我们将平行四边形转化成长方形，虽然转化前后图形的形状发生了变化，但前后两个图形的面积没有发生改变。这样的图形面积计算公式的

12、推导方法，称为等积变换。但在三角形的面积计算公式推导过程中，将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，进而推导三角形的面积计算公式。像这样通过图形的拼组推导面积计算公式的方法，称为图形重组。我们可以发现，三角形的面积计算公式的推导过程与平行四边形的有明显的差异。11112 2. .从两个计算公式的数学结构来看，由于 S=1ahS=1ah 前面有系数“2公式本身也比前,1者复杂。因此，在计算公式的逆运用时，需要先将系数2”转化成 1,1,即 2S=ah2S=ah。而学生在长方形或平行四边形的面积计算公式逆运用时，都直接是将面积除以一个变量，如 a=S+a=S+bobo 回顾这些学生原有面积计算的

13、经历，发现像三角形的面积计算公式这样的数学结构还是学生第一次接触。综上分析，我们可以知道三角形面积计算公式的推导过程、数学结构等方面都比平行四边形的复杂，对于学生的数学经历是一次跨越。三、“三角形面积计算”的教学建议和实验结果通过对平行四边形和三角形面积计算的多角度比较、分析，找到了学生数学学习的障碍，更为我们解决问题找到了方向。下面笔者对如何帮助学生理解三角形的面积计算公式以及克服已有学习经验的负迁移，提出几点建议。（一）完善结论的推导过程，丰富数学体验。在以上分析过程中，我们可以知道要帮助学生在解决问题中克服忘记“+2 2”的习惯，应该有效帮助学生理解为什么“+2 2”，也就是理解三角形面

14、积计算公式的推导过程。那么这一过程核心问题是什么？探究的起点在哪里？三角形的面积计算公式推导过程较平行四边形的复杂，其原因是需要用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。如果不是学生提前已知或预习，这样的联想对于学生还是有一定难度的，因此，“为什么会想用两个完全一样的三角形来拼？”是核心问题。学生的探究起点在哪里呢？在探究平行四边形面积时，学生是沿平行四边形的高剪开，通过割补转化成为长方形。在探究三角形面积时，学生很自然也会联想到沿三角形的高剪开，此时剪下后两个直角三角形无法拼出规则图形，但利用同伴剪下后的直角三角形拼成了一个平行四边边（长方形），这样的探究经验应该充分迁移。根据这样的思考，设

15、计了如下教学思路。【改进思路】（1 1）寻找思路唤醒旧知：复习三角形分类，底和高的相关知识。提出猜测：三角形的面积计算公式。寻找转化思路：我们可以将三角形转化成会求面积的图形。我们会求哪些图形的面积呢？（生：平行四边形、长方形和正方形）（2 2）第一次探究（剪拼）学生动手操作。（此时每个学生只有一个锐角三角形，且同桌之间的三角形是完全一样的。）反馈剪拼方法。第一层次：学生通过动手操作，发现将这个三角形沿高剪开后很难转化。第二层次：用沿高剪开后的直角三角形和同桌剪下的直角三角形拼成一个平行四边形（或长方形）。师：虽然不能求出原来三角形的面积，但给了我们一个提示，像这样两个完全一样的三角形可以拼成

16、一个平行四边形（或长方形）。第三层次：用自己和同桌的三角形拼成了一个平行四边形。教师请学生把他的拼法详细介绍，引导学生进行第二次探究。师：用这样的两个三角形可以拼成一个平行四边形。是不是其他类型的三角形都可以这样拼呢？（3 3）第二次探究（拼组）（略）这样的教学思路，尊重和有效利用了学生的学习经验，引导充分经历探究过程，并激发学生产生“用两个完全一样的三角形可以拼出平行四边形”的联想，丰富了学生的数学体验。（二）沟通知识间的异同点，理解数学本质。在沟通平行四边形和三角形面积计算公式时，我们可以从以下两个方面进行比较：1 1、计算公式的数学结构。有关公式的数学结构前面已经进行叙述，此处不赘述。需

17、要关注的有两点：第一，引导学生说清为什么“+2 2”；第二，通过对比练习发现它们面积之间的关系，如“一个平行四边形的面积是 5050 平方厘米，与它等底等高的三角形面积是（）平方厘米”。这样的练习，不仅可以帮助学生理解平行四边形和三角形之间的关系，而且帮助学生理解两者的计算公式。2 2、计算公式的内涵。虽然两者的面积计算公式有差异，但它们都是根据图形的核心要素“底”和“高”来计算图形的面积。这种探索平面图形面积计算公式的思路，可以迁移到学生后续学习梯形、圆等图形面积计算公式之中。（三）运用合理的解答方法，克服思维定势。学生在逆用三角形面积计算公式时，出现像错例中直接用“面积+底=高”的思路。其

18、原因：一是学生对计算公式没有充分理解；二是受求长方形的长（或宽）以及平行四边形底（或高）的思路的影响，出现了思维定势。因此， 在教学中关注对这一计算公式的变式2s=axh2s=axh”的理解， 引导学生认识在已知三角形面积和底 （或高）的情况下，求高（或底），可以用三角形的面积 X2X2+底（或高）。另一方面，要引导学生运用合理的解答方法，克服思维定势的干扰。通过引导学生主动运用列方程解答的方法解决此类问题。这样不仅克服了学生逆向思考和思维定势的干扰，还可以通过方程的变换，使学生加深对2s=axh2s=axh”这一数学结构的理解。在探寻本研究教学策略后，我们在 F F 小学选择了与前面测试班级学业水平无明显差异的实验班（4848 人）结合提出的教学建议进行了教学，并利用以上测试题进行测试，将有关数据整理见下表。对照班学生与实验班学生测试结果统计百类问霞7对照班学生正确率实验班班学生正确率问题 i i84.6%84.6%95.8%95.8%问题 2 278.2%78.2%93.7%93.7%问题 3 338.5%38.5%54.2%54.2%从以上统计结果，可