2018年北师大版高中数学选修2同步优化指导12归纳与类比活作业1

1、活页作业(一)归纳与类比去砒巩固1 .有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律，拼成若干个图案，则第六个图案中有阴影花色的正六边形的个数是()A.26C.32解析：设第 n 个图案有 an个阴影花色的正六边形，则 a1=6xi0,a2=6X21,a3=6X32,故猜想 a6=6X65=31.答案：B2 .观察下列各式：1=12,22+3+4=3,2_23+4+5+6+7=5,24+5+6+7+8+9+10=7，可以得出的一般结论是()2A.n+(n+1)+(n+2)+(3n2)=nB.n+(n+1)+(n+2)+-+(3n2)=(2n1)22C.n+(n+1)+(n+2)+(3n1)=nD.n

2、+(n+1)+(n+2)+-+(3n-1)=(2n-1)2解析：可以发现：第一个式子的第一个数是 1,第二个式子的第一个数是 2故第 n个式子的第一个数是 n；第一个式子中有 1 个数相加，第二个式子中有 3 个数相加故第 n 个式子中有 2n-1 个数相加；第一个式子的结果是 1 的平方，第二个式子的结果是 3 的平方故第 n 个式子应该是 2n1 的平方，故可以得到 n+(n+1)+(n+2)+(3n2)=(2n1)2答案：B.1_1_4xx43xx43.已知 x0,由不等式 x+；2yx=2,X+X2=2+2+X23AJ-22=3,我们可以得出推广结论：x+jn+1(nCN+),则 a

3、等于()2A.2nB.nB.31D.36第一个图案第二个图案33X,X,X/4X+3+3+3+X3、由此可得 a=nn.答案：D底 X 高一4.已知扇形的弧长为 1,半径为 r,类比三角形的面积公式 S=,可推知扇形面积公式 S 扇等于（）2A.21r 一，.C.2D.不可类比解析：由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式.答案：C5 .平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到（）A.空间中平行于同一直线的两直线平行B.空间中平行于同一平面的两直线平行C.空间中平行于同一直线的两平面平行D.空间中平行于同一平面的两平面平行解析：利用类比推理，平面中的直线和空

4、间中的平面类比.答案：D6 .在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1：2,则它们的面积比为 1：4.类似地,在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 1：2,则它们的体积比为.答案：1：87 .已知等差数列an的前 n 项和是 Sn=n但1产1由此可类比得到各项均为正数的等比数列bn的前 n 项积 Tn=（用 n,b1，bn表示）.解析：由等差数列中的“求和”类比等比数列中的“求积”，可知各项均为正数的等比 n数列bn的前 n 项积 Tn=（b1bn）2.nC. 3n解析：再续写一个不等式:D. n解析:S1h1V13V21qS2h23|S1hi_1XJ_162,h2428.答案：（b1bn）2

5、8 .上图中，上起第 n 行，左起第 n+1 列的数是.PA1与 FA2斜率之积为证明如下:a设点 P(xo,y0),点 A1(a,0),A2(-a,0).椭圆中：kPAkPe/亦的规律，请你写出一个一般性的命题，并证明.解：一般性的命题为sin20+sin2(60+sin2(120+0)=|.证明如下：sin20+sin2(60+sin2(120+0)L L2 25101017III4-3-361118II93937 7121219II解析：第 1 行第 2 个数为 2=1X2,第 2 行第 3 个数为 6=2X3,第 3 行第 4 个数为 12=3X4,第 4 行第 5 个数为 20=4X

6、5.故归纳出第 n 行第 n+1 个数为 n(n+1)=n2+n.答案：n2+n9.在椭圆中,22有一结论：过椭圆+点=1(ah0)上不在顶点的任意一点 P 与长轴两端点 A1，A2连线,.h2则直线 PA1与 PA2斜率 N 禾/为一?,类比该结论推理出双曲线的类似性质,并加以证明.解：过双曲线2京=1 上不在顶点的任意一点P 与实轴两端点 A1,A2连线，则直线2y0n=X2a2h2aX2-a2双曲线中:2kPA1kPA2=x2y0a2=b2ai.x2-a2=a2.10.已知2c2c2-3.2sin30+sin90+sin150=-,sin5+sin265+sin2125=1.观察上述两等

7、式1cos2。1cos(120+2。)1-cos(240+29)2+2231=2一cos20+cos(120+2()+cos(240+20)31。=2-2【cs2 计 cos120cos20-sin120sin20+cos(180+60+2()313=cos(60+2cos(60+20)=.憾力提升2S11.设ABC 的三边长分别为 a,b,c,ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r=，a+b+c类比这个结论可知：四面体 A-BCD 的四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,内切球半径为 R,四面体 A-BCD 的体积为 V,则 R 等于()V2VSS1+S2+S3+S4S1+S2

8、+S3+S4一 3V4VCzz-Dzz-S1+S2+S3+S4S1+S2+S3+S4解析：设四面体的内切球的球心为 O,则球心 O 到四个面的距离都是 R,所以四面体的体积等于以 O 为顶点，分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和.则四面体的体积为.1V四面体A-BCD=(S1+S2+S3+S4)R,3答案：C12 .设 n 为正整数，f(n)=1+；+1+-+1计算得 f(2)=3,f(4)2,f(8)5,f(16)3,23n22观察上述结果，可推测一般的结论为.解析：由题意吟，5/，解3词,.，故一般的结论为何卢止 2*-n+2答案：f(2n)爹x一、13 .设函数 f(x)=(x0)

9、,观祭:、x 十 2xf1(x)=f(x)=,xI2xf2(x)=f(f1(x)=3x-I-4xf3(x)=f(f2(x)=7,R=3VS1+S2+S3+S4.xf4(x)=f(f3(x)=xZw根据以上事实，由归纳推理可得：当 nCN+且 n2 时，fn(x)=f(fn-I(X)=.解析：依题意，先求函数结果的分母中 x 项系数所组成数列的通项公式，由 1,3,7,15,可推知该数列的通项公式为 an=2n1.又函数结果的分母中常数项依次为 2,4,8,16,其通项公式为 bn=2n.所以当 n2 时，fn(x)=f(fn-1(x)=答案：2n-2n14 .(2015 郑州模拟卷)平面几何里

10、有“设直角三角形 ABC 的两直角边分别为 a,b,111边上的图为 h,则孑+1=彳，拓展到空间，研究三棱锥的侧棱长与底面上的高之间的关面 BCD 上的高为 h,则ABXAC,ABLAD 得 ABL 面 ACD.又易证 CD 上面 ABE,CDXAE.1111，/+72+=2.abch1111答案：a2+b+c2=h15.(2015 江西模拟卷)设 f(n)=n2+n+41,nCN+,计算：f(1),f(2),f(3),f(4),f(10)的值，同时作出归纳推理，并用 n=40 验证猜想是否正确.解：f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,f(3)=32+3+41=5

11、3,f(4)=42+4+41=61,f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83,f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151.,43,47,53,61,71,83,97,113,131,151 都为质数，(2n12n系可以得出的正确结论是：“设三棱锥 A-BCD的三个侧棱两两垂直，其长分别为 a,b,c,解析：如右图所示，设 A 在底面的射影为O,连接BO 并延长交 CD 于 E.连接 AE,ABLAE.设 AE=hi,在 4ABE 中，由已知可得1a211十席下C，归纳猜想：当

12、nCN+时，f(n)=n2+n+41 的值都为质数.当 n=40 时，f(40)=402+40+41=40X(40+1)+41=41X41, f(40)是合数.由上面归纳推理得到的猜想不正确.16.如右图，点 P 为斜三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱 BB1上一点，PMLBB1交 AA1于点 M,PNXBB1交 CC1于点 N.(1)求证：CCJMN;(2)在任意DEF 中有余弦定理 DE2=DF2+EF22DFEFcos/DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.(1)证明：PMXBBI,PNXBBI, BB1，平面 PMN.BBIMN.又CCI/BB1,CCIMN.(2)解：在斜三棱柱 ABC-A1B1C1中，有 S2ABBIAI=S2BCCIBI+S2ACC1A1-2SBCC1B1SACC1A1COSa其中a为平面 CCIBIB 与平面 CCIAIA 所成的二面角.证明如下：