绝对值定值、最值探讨

1、绝对值定值、最值探讨例题精讲板块一：绝对值几何意义当x=a时，x-a =0 ,此时a 是 | x -a的零点值.零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴 上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值.a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离.a -b的几何意义：在数轴上，表示数 a、b对应数轴上两点间的距离.-、绝对值定值探讨【例1】 若x -1 x_2 x_3屮| x2008的值为常数，试求 x的取值范围【巩固】 若2a 4 -5 "|1 -3a的值是一个定值，求 a的取值范

2、围【巩固】如果对于某一给定范围内的 x值，p = x 1 x -3为定值，则此定值为 【例2】 已知x| + x1 =2，化简4一2+卜一1【例3】已知代数式x -3| -|x -7 =4，则下列三条线段一定能构成三角形的是（）.【例4】 是否存在有理数 x，使x1 x_3 =2 ?【巩固】 是否存在整数x，使x-4x-3 x 3 x 4 =14 ?如果存在，求出所有整数 x，如果不存在, 请说明理由【例5】 将200个数1 200任意分为两组（每组100个），将一组从小到大排列，设为印<a2 <| ca100，另组从大到小排列，设为bb2"Ib100，求代数式印一艸卞2

3、-b2川"100700的值.、绝对值最值探讨【例6】 设y = x 一问：卜一20|计x b 一20，其中0 : b ：20,b _x _ 20，求y的最小值.【巩固】已知x乞2，求x -3 - x 2的最大值与最小值【例7】 已知0 _a _4，那么a -2 3 -a的最大值等于 【巩固】如果y=x 1 -2 x，x-2，且-1 < x < 2，求y的最大值和最小值【巩固】已知<x <-，求x取何值时X 一 x 3的最大值与最小值.9【例8】已知x < 1 ，y < 1，设 M = x 1 y 12y_x_4，求 M的最大值和最小值【巩固】已知m

4、是实数，求 m m _1 m2的最小值【巩固】 已知m是实数，求 m - 2 m - 4 m -6计m - 8的最小值【例9】设耳,a2, a3，.an是常数（n是大于1的整数），且印：:a? : a3 :：a. , m是任意实数，试探索求m -a“|m "|m -a3.an的最小值的一般方法【巩固】x -1 x -2x -2009 的最小值为 【巩固】 试求|x -1 - x _2_3 - ._2005的最小值【例10】设a :b :c,求当x取何值时x_a|-.-|x_b - x_c的最小值.【例11】正数a使得关于x的代数式x 1 x62xa的最小值是8，那么a的值为【例12】

5、若xi、X2、X3、X4、X5、x是6个不同的正整数，取值于1， 2，3，4， 5，6，记5=为1+1&沧1+1为一人1+1>4为1+为一冷勺* -x S的最小值是.【例13】在数轴上把坐标为1,2 3 .,2006的点称为标点，一只青蛙从点1出发，经过2006次跳动，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？请说明理由【例14】如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A、B、C、D、E、F到城市的距离分别为 4、10、15、17、19、20千米，而村庄 G正好是AF的中点.现要在某个村庄建一个活动中心，使各 村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位

6、置？城市【例15】如图，在一条数轴上有依次排列的5台机床在工作，现要设置一个零件供应站供应站P的距离总和最小，点 P建在哪？最小值为多少？P，使这5台机床到ABCDIIII-1124【例16】（6级）如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，7个工厂A , A ,，A7分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连.现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在P点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？A1【例17】先阅读下面的材料，然后回答问题：在一条直线上有依次排

7、列的 n（n>1 ）台机床在工作，我们要设置一个零件供应站 P，使这n台机 床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先退”到比较简单的情形：如图甲，如果直线上有 2台机床时，很明显设在 A和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走 的距离之和等于 A到A2的距离。如图乙，如果直线上有 3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A处，甲和丙所走的距离之和恰好为A到A的距离，而如果把 P放在别处，例如 D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A到A3的距离，可是乙还得走从 A2到D的这一段，这是多出来的，因此P放在A2处是最佳选择不难知道，如果直线上有 4台机床，P

8、应设在第2台与第3台之间的任何地方，有 5台机床，P 应设在第3台位置问题：有n台机床时，P应设在何处？问题：根据问题的结论，求x -1 x -2 x -3 x-617的最小值【例18】不等式x 1 x -2 :：:7的整数解有 个.【例19】一共有多少个整数 x适合不等式 x2000| “|x乞9999.【例20】彼此不等的有理数a ,b, c在数轴上的对应点分别为A , B , C ,如果ab bc二a-c ,那么A ,B，C的位置关系是【例21】设a :b : c ：d，求y = xa xb xc xd的最小值，并求出此时 x的取值.【例22】试求如下表达式的最大值：M(xi 72一対| 一川X2002：，其中x,、X2、X2002是1 2002的一个排列.目恤匸 课后练习1. 若2x 4 -5x 3x 4的值恒为常数，则 x应满足怎样的条件？此常数的值为多少?2. 求y=x_1x5的最大值和最小值.3. x _1 8 x _2 a x 一3 2 x 一4的最小值为12，则a的取值范围是 4. 少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差再取绝对值的运算，其运