平方根提高知识讲解

1、平方根(提咼)【学习目标】1了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即x2 a,那么这个正数x叫做a的算术平方根(规定o的算术平 方根还是0) ； a的算术平方根记作a，读作“ a的算术平方根”，a叫做被开方数要点诠释：当式子有意义时，a 一定表示一个非负数，即,3> o, a> 0.2.平方根的定义如果x2 a，那么x叫做a的平方根求一个数a的平方根的运算，叫做开平 方平 方与开平方互为逆运算 a

2、 (a> 0)的平方根的符号表达为,a (aO)，其中a是a的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1区别：(1)定义不同；(2)结果不同：f和72 联系：(1)平方根包含算术平方根；(2) 被开方数都是非负数；(3) 0的平方根和算术平方根均为0.要点诠释：(1 )正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的 算术平方根；负数没有平方根.(2)正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立 即写出它的另一个平方根因此，我们可以利用算术平方根来研 究平方根.要点三、平方根的性质要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根

3、的小数点就相应地向右或者向左移动1位例如：.62500250,: 625256252.5，、0.0625 0.25 .【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、(2015秋？张家港市校级期中)已知2a- 1的平方根是土 3, 3a+b9的 立 方根是2, c是：的整数部分，求a+b+c的平方根.【思路点拨】首先根据平方根与立方根的概念可得2a1与3a+b9的值，进而 可得a、b的值；接着估计打二的大小，可得c的值；进而可得a+b+c,根据平方根的 求法可得答案.【答案与解析】解：根据题意，可得2a 仁9, 3a+b9=8;故 a=5 , b=2;又2v%迪v3，c=2 'a+b+

4、c二5+2+2=9 9的平方根为土 3.【总结升华】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，还要掌握实数的基本运算技能，灵活应用.举一反三：【变式】已知2a 1与一 a + 2是m的两个不同的平方根，求m的值.【答案】2a 1与一a + 2是m的平方根，所以2a 1与一a + 2互为相反数. 解：当 2a 一 1 +（一 a + 2）= 0 时，a 二 一 1，所以 2a1 2 2（1） 123 2 9G2、x为何值时，下列各式有意义（1）X2;一 C; （3）；一X3【答案与解析】解：（1）因为"0,所以当x取任何值时，都有意义.（2）由题意可知：x4 0

5、，所以x4时x4有意义.x 1 0, ,（3）由题意可知：解得：1 x 1 .所以1 x 1时x 1.1 x1 x0有意义.x 10（4）由题意可知：，解得x1且x3 .X30所以当X 1且x 3时，一 x_1有意义.X3【总结升华】（1）当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨 论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义. 当分母中含有字母时，只 有当分母不为0时，式子才有意义.举一反三：【变式】已知b 4.3a 2【答案】 1 122 3a 2，求-的算术平方根.Qo O解:根据题意，得乙2 3aaHu 贝o 5o，所以 b-2,a13a b2a b二的算术平方根为一：2 .

6、a b. a b类型二、平方根的运算G 3、求下列各式的值.(1) J252 242 g J32 42 ; (2) A20- -70.36 A/900 .435【思路点拨】(1)首先要弄清楚每个符号表示的意义(2)注意运算顺序.【答案与解析】解:(1) 252 242 g . 32 42.49 g. 25 7 5 35 ;1 1(2) - 20, 0.36431R1 1199000.6 - 305V4 35 0.2 621.7 .【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方幵方，再乘除，后加减，同一级 运算按先后顺序进行.(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解， 熟练后直接

7、根据 a2 a(a 0)来解.类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x.(1) X2 3610；2(2) x 1289;(3) 9 3x264 0【答案与解析】 解：(1)V x2 3612X 361x .36?19289 X 1、289x+ 7 =±17x 二 16 或 x 二一18.2(3) v 93x2 640264-3x268二 3x232十14x -或x 99【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方 法.(2) (3)小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的x:(1)若 X2 1.21 则 x 二;(2) X2 1

8、69，则 x 二;29 22(3)右 x ,则 x = ;4【答案】61 )± 1.1 ; ( 2)± 13;( 3)类型四、平方根的综合应用【高清课堂:389316平方根:例5G5、已知a、b是实数，且|b,2|0【答案与解析】解：a、b是实数，,2a 6二 2a 6 0，b、20 .XV贝2X 若 )/解尖于x的方程(a 2)x b2 a 1 .|b、0 ，,2a 60 ，|b 、 . 2| 04，一 x 二2)x b2 a 1，得一 x + 2二.【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出 a、 b的值，再解方程此类题主要是考查完全平方式、算术

9、平方根、绝对值三者的非负 性，只需令每项分别等于零即可.举一反三：【高清课堂:389316平方根:例5练习】【变式】若x2 1 .y1 0，求好。"严伍的值.【答案】解：由 X2 1 y 10，得 / 10，y 1 *2012(1)2 .X 二2011 2012,2011当1 y二一1时，x y 1当 x 二一1, y 二一1 时，x2011 y2012 ( 1 )2011 ( 1 )2012 0 .【高清课堂:389316平方根:例626、小丽想用一块面积为400 cm?的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它长宽之比为 3:2，请你说明小丽能否用这块

10、纸片裁出符合要求 的长方形纸片【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x ( x >0) cm，贝U宽为2x cm，依题意 得3x 2x 300.26x 300.x2 50./ x >0、 x .50 . 长方形纸片的长为3. 50 cm. 50 > 49, 、50 7. 3.5021，即长方形纸片的长大于20cm由正方形纸片的面积为400 cm2,可知其边长为20cm, 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长答：小丽不能用这块纸片裁出符 合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长 为20-的正方形纸片裁出长方形纸片.举一反三：【变式】(2015春？台安县月考)某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一 块面积约为1000m的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420m,其中 长是宽的一倍，篮球场的四周必须留