第6章弹性体的一维振动题解

1、习题6-1 一等直杆沿纵向以等速 v向右运动，求下列情况中杆的自由振动:(1)杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。 解；(1)杆的左端突然固定；杆的初始条件为：u x,0 = u0 x =0I -IT O 由式(8-15),(8-16)可知 Pi, i = 1,3,5 ,2lUj(x) =DjSinx, i =1,2,3,.” 一、2dx =1 得 Di -由归一化条件即正则振型为由式(8-39)l,i0、A Disi音<Al2. i二sin x, i = 1,2,3, :Al 2lUi(x)二得正则坐标表示的初始条件为i兀21li 0AVDi sin xd ?AVDi

2、 i 0 i 2li ii 0 =0, i=1 , 3, 5,-由式(8 40) 得 i = sin p£，进而有:Pi00 00i nx2lu(x,t)=、 5 i(t)=、DiSin专AVDif.i#3,73.2li応 i*a2l sinpi8 - AsinUsing兀 ay i2l2l(2)杆的右端突然固定；杆的初始条件为：u x,0 = u0 x =0u x,0 =Vi兀a由式(8-15),(8-16)可知 Pi, i = 1,3,5，2lI :U丄x)二 C,cos x,i 二 1,3,521由归一化条件ACcos'Xfdx"得 C| 二2 in即正则振型

3、为 Uj(x)cos x,i= 1,3,5,.Y PAI2l由式(8-39)得正则坐标表示的初始条件为.ii(0) = 0 ；-AVC ii cosdx 二 Cj AV 2(_i)22Ii 二i Oi=O, i=1 , 3,5, -由式(840) 得i二丄0sin pt，进而有:Pii i21 21.+ 8VI©isin Pit 厂' (-1)2i二 i二a二 a®”.1 i 二x . cos sin t2I 2I乂处Hixu(x,t)二 '、Ui i(t)二 '、DiSin AVDi ±3,.i =1,3,.2I6-2求下列情况中当轴向常

4、力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。(1) 常力F作用于杆的中点，如题 6-2(a)图所示；(2) 常力F作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b)图所示；(3) 两个大小相等、方向相反的常力F作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图6-2(c)所示。創专hR臂p $r£ 小rj 十- -*t*j*4a內)c>题6-2图解：(1)根据题意，t =0时杆内的应变P/2；0 ：EA杆的初始条件为塔x OEx 兰 1/2 u x,0 二u0 x ='丿0乜(1 -x) 1/2兰xZ因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为ia 二P 二，1,2,，1,2,将主振型代入归一化条

5、件，得Ii -严 DisinTx dx“2Di 二"I得到正则振型5 x 二insin-px i =1,2,得到以正则坐标表示的初始条件为i 0 = o "u0 x Di sin； xdXhA0Dj2I2.2 2i 二.i二sin2i x =0 i = 1,2,得到以正则坐标表示的对初始条件的响应i = i 0 cos pit于是杆的自由振动远i兀u x,t = ' Uj i t = 'Di sin x'A；j0 Di2I2i 土2,.i 土2,.2 2sincospit i 二 2'二 i£,2, .i 二 sin - 2_.2.

6、i.i二sin xcosIPt2PIi -J-1云二 2EA i 壬3,.i二sinIi二 axcos tI(2) 根据题意，t=0时杆内的应变2P/3P/3 、九 P"12设"0 :EAEAEA杆的初始条件为ux,0 yI -x20X3；0 I x0乞x乞I / 3I/3乞x乞丨因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为_ ianPi 二Ui x 二 Dj sin$x i将主振型代入归一化条件，得Disinx dx =10 i l2Di：、AI得到正则振型Ui x 二2 . sin x ，AII L得到以正则坐标表示的初始条件为i 0 = /?AUo x Di sinL&#

7、39; xdXhAeI2.2 2i 二.i二sin3i x i=0 i =1,2,得到以正则坐标表示的对初始条件的响应i 7 i 0 cospjt于是杆的自由振动-inu x,t -、Uj i t - *Di sinx?A 0Di ；I2i 土2,i 土2,2 2sincospiti 二 3s7,2, ”i2i 二sin xcos pt2: EA id1.2 isina丄 xcos tI(3)根据题意，t =0时杆内的应变P；0 :EA0_xE|/4杆的初始条件为sxu x,0 =U0 x 二 0 l/2 x 1/4 Ex 乞31/4；0 I - x 31/4-x- I因为杆两端固定，可解得固

8、有频率及主振型为_ianPilinU i x = Di sinx将主振型代入归一化条件，得'A Di sin 匕 x dx =10 i l得到正则振型U i x =2. i二Sin x J All i -1,2,得到以正则坐标表示的初始条件为ii 0 二 0 'Au0 x Di sinxd?A 0Dil2i2ji2(sin 匹sin 竺144丿i X =0 i =1,2,得到以正则坐标表示的对初始条件的响应i = i 0 cos pit于是杆的自由振动°O QOi 兀l 2u x,t = ' Ui i t 二 ' Di sin x'A；0Di

9、二 2i 壬2,i#,2, ”，li 71sin 匚-sin 里44COSPitJT.i 二 .3i- sin sin42 ioslPit- EA i =2,6,10 .i-2-1 4.i-2 sini2 li兀a丄 xcos tlP。二F0的作用,求分布力突题6-3图6-3如题6-3图所示，一端固定一端自由的等直杆受到均匀分布力 然移去时杆的响应。解：杆左端固定端，右端为自由端u x,t =U(x)(Acospt Bsin pt)边界条件得固有频率，主振型(2i 1)兀Pia2l杆在x处的应变初始条件u(x,t)00s73,.由 u(x,0) = U0(x)二 0，再利用三角函数正交性得Ai

10、16F0Ii : EApxU (x)二 C cos D sin adUdx Xpxa=0Ui(x)=Disin(x2Ir x i 二 a 计AcosEAdxi=1,2,tBi sin2IF°x22EAl3F°xU(x,°)讪x)2EAlu(x,0)=U 0(x) = 0t)BiU(x,t)0zi±3,7B"BB Brx i 二a sin A cos t2I2II八o ；0xsin 打2dxi F°x32EAIsin2ldxQOix江aU(x,t)二、sinA cos ti ±3,2I2I16F°I iiA二 4 s

11、ini w,3, . .iixiacos t2I2I解二：用直接法Podx 二 p°x其中，P0杆的初始条件为Fox2dx =2EAIu x,0 = Uo X = 0由于此题为一端自由一端固定，则由公式可直接得出杆的固有频率及主振型i： aPi (i =135)2lUi(x) Psin 上x(i =1,3,5)2l将主振型代入归一化条件得i兀 2： A(DisinNx) d"1得到正则振型为得Di2?AlJi x =x2li=1,3,5则得到正则坐标表示的初始条件为ii 0 = °-AU0 xUidx 二i 二sin xdx =2I4F02Ei2 二2i 0 =0

12、 i=1,3,5以正则坐标表示对初始条件的响应为i = i (0)cos Pit得到杆对初始条件的总响应0O0u x,t = 'Ii X i 二 'i =1,2,3.i =1,3,5.2:Al.i 二sin x2I4F0 -12 2 . r 2K：axh二2 fl 才匚迹亍16F0I即 u(x,t)二n EA-1 . i nxi 冗a丄3sin cos t 古i32I2I6-4假定一轴向常力F突然作用于题6-2的等直杆的中点处，初始时刻 杆处于静止平衡状态，求杆的响应。解：U (xCcosx D sin 卫 xaaU (0)=0由题意知，边界条件为U (l ) = 0E a由此

13、解出固有频率R =(i = 1,2,.)inxUi(i)二DjSinl将主振型代入归一化条件AU ：dx = 1，得0Disin0 i 、2I 二x dx = 1 lDi 二Ai得到正则振型U i X -i 二 sin x i =1,2,.i x sin l所以由上式得稳态响应i(t)|2P2i兀a：Ai sin(1i亓a-cos t)(i =1,2,3.)2Plu(x,t)花n EA0zi 吕3111i =1,2”.i 二 x sinlQOQOU(x,t) = 、Ui(x) i(t)八j =e,1,2m£t) (i=l,I sin；(1 cosft)2P.2 2 2 - ai(-1

14、)V . i nx “ i sin (1-cos- i2Il2, 3)6-5假定题6-3的等直杆上作用有轴向均匀分布的干扰力F。解：因为杆是一端固定，可得固有频率和主振型为ia 二2Isinut，求该杆的稳态强迫振动。i兀U i x = Di sin xii 2Ii =1,3,5i =1,3,5将主振型代入归一化条件，得由F +卩：二=f q(x,t)Ujdx因为P(t) =P为集中力，不是分布力0q(x,t)Ujdx 二 0 p(t)、(x- Qdx 二 p(t)0()二得到正则振型：、Ai DjSin "02lx dx =1又第i个正则方程为2Di 二AU i x =insin

15、x i =1,3,52lHi ' Pi2 i二 0q x,tUidx1 F0i 二°sin ，t sin xdx0 l2lsin ，t 1,3,52DiF°i 二所以可得正则坐标的稳态响应为2DiFoWp2"2)皿sin t杆的稳态响应振动为u( x，t)八：Ut/F°sin t <i 理,3,5,-.血PA机i春"(pF 国2 畀n2l x其中口a2lE,a-°6-6 一根两端自由的等直杆，中央作用有一轴向力F(t)二F1、b为常数，假设起初杆处于静止，求杆的响应。解：U (x) =C cospx Dsin -x aa

16、a =dUd x-PCsiP<a a-PDcoP<aa由题意知，边界条件为dUdx x=e7dU dx=0由这些边界条件得D -0-Csin Pl =0，所以aa alin p = ai =0, 1, 2H3所以Ui(x)rCiCOS】xli =0,1, 2|3由 I ! A(G cos x)2dx = 1i =0,1,2,3|l 所以 Ui(x)所以Ci二Ali =0,1,2,3Hl由IIPi2 i = ；q(x,t)Uidx由于p(t) =R(E)2集中力，而非分布力t1所以t、20q(x,t)Wdx 二 p(t)、(x - Uidx 二 p(t)U：()二 CiR()2 co

17、s i 二t1t 2i 兀t 2GR(厂)cosT=CiP()(-1，it1 2t1= 0,2,4,川，因为是在中央作用力，所以所以1，由上式求得稳态响应i(t)2GRL)Jcosi二Pit1TAI='2当 i=2,4,|H 时，口 式 0 ,7)=右心02(1si npi(t01i=一GR _2(-1 ；2 (t2 t2 cospt -2 +2cos pt)Pit1i2 .2当 i =0 时，p=0.dvp£)2t1i 二cos xldt?AIR(t)2t3tiR2'Al dttit1(t)二 0vdt =3?Alpt41 + 2t112'Al所以U(x,t

18、)二i i1t乞Uj(x)、(t)=送Ci cosxGR(r cosi11j =0,1,2j =0,1,2lPit12Rt2 J： (-1)j i 二cos x l：Alt1 j =0,1,2”lpiP占t1U(x,t)二12 PAIPi;:_;i一 12 TAIQO、Ui(x) i(t)i=2,4,QOz7,4,Ci 1 CF ! -1 2 t2 t2cospjt2 2cos pitPiti6-7 一根等直圆轴的两端连接着两个相同的圆盘，如题6-7图所示，已知轴长l，轴及圆盘对轴中心线的转动惯量分别为Is及Io,求系统扭转振动的频率方程。解:宀 2凡二a 2 .t；x（心）设 %x,t) =

19、U (x)(Acos，t Bsint)代入运动微分方程得i题6-7图2 2d2U(x) - 2 rU(x) =0dx a上式的解可表示为U（x）=Ccos-xaDsi n x a其边界条件当x=0时,当x=l时,tan二a-J I IG (21 0 I s)-dxG(2I0 Is)dU -KU(I)dxU(0)=U(I)2*IIs a二 - K 屮（0）其中I02 I 2，其中(；V( )2 "IIs a6-8题6-8图中的等直圆轴一端固定，另一端和扭转弹簧相连，已知轴的抗扭刚度为GJp，质量密度为:?，长度为I，弹簧的扭转刚度为k,，求系统扭转的频率方程。解:c2Q2 c2维振动波

20、方程为 ac t c x-2（a2 仝）设二(x,tU (x)(Acos t Bsin ，t)题6-8图代入运动微分方程得:紀2"弄2U(x)=0dx aC为波动频率）上式的解可表示为其边界条件为：- xU (x)二 C cos aD sin在 x = 0 处 U(x)=0 ,GJ FdUdxk屮（I）将(a)代入(b)得：C =0 U(x)=Dsi n 二xa将(d)代入(c)得：GJfDcos 丨二-kDs inIa aa詁丨GJ p I得关于频率的频率方程为tan-丨, 其中aa（a）（b）（c）（d）2 Ga :P6-9写出题6-9图所示系统的纵向振动频率方程，并写出主振型的

21、正交性表达式。解：该题中杆的振动万程为：u（x, t） =U（x）Acospt Bsin pt其中 U （x） = Ccos（px/a） Dsin（px/a）（a2 = E / ：、） 题 6-9 图由于边界条件中U（0）=0代入U（ x）中得C=0再将U（ x）代入1中，由1知：CUEx Xz±= sin 以a a(Acos pt Bsin pt)-:t2-p2Dsinx=tpl (Acospt Bsin pt) a再由边界知:EA竺 dx-ku(x)x-t-2二 u一 m 2a2x-lEAD cos mDp2sinl -kDsin 卫 I a aaa得：tan pl (mp2k)

22、二 EA paa即:a pl EA tan2p a mp _k已知方程将e代入该式中得dx®%p2au取一特解ui,p2及另一特解Uj,p2得：-(EAdUiH -pi2A;?Ui < 2 d x d x由:：2 乘并对杆积分得i d dU2 1U j (EAduL)dpi2 AQUjUjdx0 dx dx0'EAdUi dUj) dx dx2 idx = -Pi AUUjdx:3一 ku(x)x4.：2u_m；:t2EA讐= (mp2 -k)U(I)X 土X士得:x=L及 U(0) =02ll''代入 c3>得Pi mUi(l)U j(l) +

23、AUiU jdx = EAUiU jdx + kUi (l)U j(l).<4> i, j互换p2mUi(l)U j(l) + A®iUjdx= EAUiU jdx + kUi(l)U j(l).<5>i两式相减得：0 AiiU jdx + mUi(l)U j(l)=列 将上式代入：:5 得:EAU i'U j dx kUi(l)U j (I) = p2j 所以，其解为正交。6-10试求具下列边界条件等截面梁的横向弯曲振动频率方程及主振型:(1)两端固定；一端固定、一端简支；一端简支、一端自由。6-11求下列情况中常力 F突然移去时等截面简支梁的自由振动：(1) 常力F作用于x = a处，如题图6-11(a)所示；(2) 两个大小相等、方向相反的常力F作用于梁的四分之一点及四分之三点处，如题图 6-11(b)所示。T 騎阳E畑 ” 十' |卜”一£一十(*|a)b)题6-11图6-12假定上题的简支梁承受强度为po的均匀分布力，求分布力突然移去时梁的响应。6-13 一简支梁在t = 0时除两端点外梁上所有点都得到横向速度v,求梁的响应。6-14 一常力F突