空间向量与立体几何知识点归纳总结

1、一对一授课教案学员姓合：年级：所授科目：上课时间：年月日时分至时分共_ 小时老师签名学生签名教学主题空间向与立体几何上次作业检査本次上课表现本次作业一.知识要点。1. 空间向旻的概念：在空间，我们把具有大小和方向的長叫做向長。注： 向基一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向長。(2) 向長具有平移不变性2. 空间向長的运算。OB = OA + AB = d + b ；BA = OA-OB = a-h -OP =e R)运算律：加法交换律：a+b=b + a加法结合律：(a + b) + c =a + (b+c)数乘分配律：A(a+b) = + Ab运算法则：三角形法则、平行四边

2、形法则、平行六面体:法则3. 共线向旻。(1) 如果表示空间向長的有向线段所在的直线平行或重台，那么这些向是也叫做共线向長或平行向長，N平行于 b，记作allb o(2) 共线向星定理：空间任意两个向長方、b (b 6), allb存在实数人使a=Ab o(3) 三点共线：A、B、C三点共线<=>而=几疋<=>5c = .yO4 + yOB(K 中x+y = l)(4) 与°共线的单位向旻为+方 一同4共面向長(1) 定义：一般地，能平移到同一平面内的向呈叫做共面向昼。说明：空间任意的两向星都是共面的。(2) 共面向長定理：如果两个向長乳方不共线，尸与向共面的

3、条件是存在实教使”=肋+ )亦。(3)四点共面：若A、B、C、P四点共面Xp = xAB + yAC<=> OP = xOA + yOB + z况(其中 X + y + z = l)5. 空间向長基本定理：如果三个向長乳氏e不共面，那么对空间任一向昱，存在一个唯一的有序实数组兀,y,z,使 p = xJ + yZ? + ZC 0若三向長打,孑不共面，我们把ajic叫做空间的一个基底，ci.b.c叫做基向長，空间任意三个不共面的向長 都可以构成空间的一个基底。推论：设OA,5C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数匕”Z,使OP = xOA + yOB + zOC

4、6. 空间向長的直角坐标系:(1)空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系。一中，对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA = 2 + i+S,有序实 数组(x,”z)叫作向長A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x, y,z),兀叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐 标。注：点a (“Q关于X轴的的对称点为(“y严)，关于xoy平面的对称点为&片z)即点关于什么轴/平面对称，什 么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,、口)(2)若空间的一个基底的三个基向長互相垂直，且长为1,这个基底叫单位正交基底，用'，)，&

5、#171;表示。空间中任一 向 a = xi + yj + zk= (x,y,z)(3) 空间向長的直角坐标运算律：若ci = (q, d?,偽) b =(玄上2，仅)，贝 a+b = (q +也,勺+仇佝+仇)>> >a-b = (aA -b,a2 -b2,a3 b) , Act = (2?,Aa2,)(2 e R),a b =,allb<>aA =Ab,a2 =Ab2,a3 =AZ?3(2 e/?),a 丄b <=>ab +a2b2 + a3b3 =0 0 若心？必),B(w忆2),则而=(吃一西*2 一比皿2 勺)。一个向長在直角坐标系中的坐标等

6、于表示这个向長的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 定比分点公式：若,3(兀22忆2), 乔=兄两，则点P坐标为(：拧，；：? , ：2)。推导：设卩(心切则(x-xly-yl,z-zl) = A(x2-x,y2-y,z2-z)，显然,当P为AB中点时3州+兀2)'1 + 儿 Z+Z?2 ， 2 ， 2三角形重心 P 坐标为® MBC, A(X 切忆丿,8(兀2*2忆2)(兀3*3心)胪+勺+心”+旳+儿Z|+o+G)3'22©AABC的五心:内心P:内切圆的圆心，角平分线的交点。一而疋(单位向長)外心P:外接圆的圆心,中垂线的交点。|pa|=|ps|=|

7、pc|垂心P:高的交点：PA PB = PA PC = PB PC (移项，内积为0,则垂宜)重心P:中线的交点，三等分点(中位线比)丽=?而+疋)中心：正三角形的所有心的台一。 模长公式：若a = (aa2.a3) , b = (bb2,by),Wa=yjaa =yja； +a +a , b=4 = Jb：+bj+bj(5)夹角公式:ABC中ABAC>O <=>A为锐角AB»AC<0 <=>A为钝角，钝角(6)两点间的距商公式：若A(xryrz) , B(x2,y2,z2), 则AB= IaB' =5/(x2-xI)2+(y2-y,)2+

8、(z2-z1)2 ,或 % = g 一 X )' + (，2 一 X)' +(Z? Z7. 空间向長的数長积。(1) 空间向長的夹角及其表示：巳知两非零向a,b ,在空间任取一点O,作OA = a,OB=b ,则ZAOB叫 做向長N与5的夹角，记作<万,方>且规定05V乳方>5兀，显然有<&伍>=<6& > ； <a,b>=-,则称刁2 与5互相垂宜，记作：&丄5。(2) 向長的模：设OA = a,则有向线段0久的长度叫做向長的长度或模，记作：叼I。(3) 向長的数長积：已知向長乩5 , Plijll

9、-ll-COS<t7, >叫做Z5的数長积，记作ab ,即 a -b = INllb lcos<Nb >0(4) 空间向長数長积的性质： a-e d cos < ci,e > o ”丄 b Odb =0。 lal2=dao(5) 空间向長数長积运算律：(Aa) b=A(a b) = a (Ab)o a-b=b-a (交换律)。®a (b+c = a b+a-c (分配律)。> f ff f 不满足乘法结台率：(C八b)c H u(b c)二.空间向旻与立体几何1. 线线平行o两线的方向向星平行1- 1线面平行O线的方向向長与面的法向長垂直1-

10、 2面面平行O两面的法向星平行2线线垂宜(共面与异面)O两线的方向向旻垂宜2- 1线面垂直O线与面的法向昱平行2- 2面面垂直O两面的法向長垂直3线线夹角& (共面与异面)0°,90°0两线的方向向呈示石的夹角或夹角的补角，cos°= cosv屁Q>3- 1线面夹角& 0°.90°:求线面夹角的步骤：先求线的方向向長AP与面的法向長川的夹角，若为锐角角即可,若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角sin&=cos<AP/>3- 2面面夹角（二面角）&0180°：若两面的法向呈一

11、进一出，则二面角等于两法向長®/工的夹角；法向星同进同出，则二面角等于法向長的夹角的补角.COS6> = ±COS<HPA?2 >4点面距商力：求点“心儿）到平面&的距商：在平面&上去一点0（匕），得向長西；计算平面&的法41线面距离（线面平行）：转化为点面距离4«2面面距离（面面平行）：转化为点面距离【典型例题】1基本运算与基本知识0例1巳知平行六面体ABCDABCD,化简下列向呈表达式，标出化简结果的向長。(1)AB + BC ;(2)AB + AD + AAf;(8) AB + AD 42CC;(AB + AD +

12、AA).3例2.对空间任一点O和不共线的三点问满足向長式:OP = xOA + yOB + z,OC（其中X + y + Z = l）的四点P,A,5C是否共面?例 3 巳知空间三点 A （0, 2, 3）, B （-2, 1, 6）, C （1, -1, 5）。求以向長丽，疋为一组邻边的平行四边形的面积S；（2）若向長&分别与向長AB, AC垂宜，且16/ | = >/3 ,求向長的坐标。2. 基底法（如何找，转化为基底运算）3坐标法(如何逹立空间宜角坐标系，找坐标)4.几何法例 4.如图，在空间四边形 04BC 中，04 = 8, AB = 6, AC = 4, BC = 5

13、 , ZOAC = 45 , AO AB = 60 ,求 OA与3C的夹角的余弦值。说明：由图形知向長的夹角易出错，如芮，走=135°易错写成 O4,AC=45切记！例5长方体ABCD-BXCDX中，AB = BC = 4 E为人©与妨9的交点，F为与QC的交点，又 AF丄BE,求长方体的高BB-【模拟试题】1已知空间四边形ABCD,连结AC.BD，设M,G分别是BC.CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果丽+*(丽+吧；走冷+迢。2.已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点0引向星。OE = kOA.OF = kOB.OG = kOC,OH =kOD 0(1) 求证

14、：四点E,F,G,H共面；(2) 平面AC/平面EG。3如图正方体ABCD-ACD中，3爲=0百=人弟 求肚】与M；所成角的余弦。5.已知平行六面体ABCD-ATCD中， AB = 4,AD = 3, AAf = 5, ABAD = 90 , N3AA = ADAA = 60 ,求 AC 的长。参孝答案1解：如图,(1) 1AB + BC + CD = AC + CD = AD ;(2) AB + -(Bb + BC) = AB + -BC + -BDo2 2 2=AB + BM + MG = AG ;(3) AG-(AB + AC) = AG-AM=MG(>22.解：(1)证明：四边形

15、ABCD是平行四边形，二疋=而+方万， :EG = OG-OE ,= kOC-kOA = k(OC-OA) = kAC = k(AB + AD)= k(OB-OA + OD-OA) = OF-OE + OH-OE= EF + EHEFG、H共面；(2)解：:EF = OF-OE = k(OB-OA) = k-AB , :EG = k AC, :.EFIIAB'EGIIAC。所以，平面4C平面EG。3. 解：不妨设正方体棱长为1,建立空间直角坐标系O-厂2,3 1则 3（1 丄0）, E/1,-,1）, £（0,0,0）,斤（0,亍 1）,-1.1 硒=（0，-丁,1）,砂=（01）,4 4B<. = 0x0 + (-lxl) + lxi5阿碣=悬嗒444分析:亦3",亦（2）,.coS心驍冷/.ZBAC=60° , .S=I ABII ACIsin60 =7>/3(2)设万=(x, y, z),则丄AB=>-2x-y + 3z = 0,a 丄 AC =>x-3y + 2z. = 0