东北大学材料力学7

1、第七章 应力状态与强度理论7 71 1 应力状态的概念应力状态的概念7 72 2 平面应力状态分析平面应力状态分析7 73 3 空间应力状态分析空间应力状态分析7 74 4 材料的破坏形式材料的破坏形式7 75 5 强度理论强度理论第七章 应力状态与强度理论7 71 1 应力状态的概念应力状态的概念第七章 应力状态与强度理论一、引言一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁P PP P铸铁拉伸 P P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP第七章 应力状态与强度理论四、普遍状态下的应力表示四、普遍状态下的应力表示三、单元体三、单元体： 单元体构件内的点的代表物，是包围

2、被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。二、一点的应力状态：二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态。xyzs s xs sz s s yt txy第七章 应力状态与强度理论单元体的性质a、平行面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。xyzs s xs sz s s yt txy五、剪应力互等定理五、剪应力互等定理 过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。0 :zM单元体平衡证明0d)dd(d)dd(yxzxzyyxxyttyxxytt第七章 应力状态与强度理论t tz

3、x六、原始单元体（已知单元体）：六、原始单元体（已知单元体）：例例1 1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。 PPAAs sxs sxMPxyzBCs sxs sxBt txzCt txyt tyx第七章 应力状态与强度理论七、主单元体、主面、主应力：七、主单元体、主面、主应力：主单元体： 各面上剪应力均为零的单元体。主平面： 剪应力为零的截面。主应力： 主面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，321ssss s1 1s s2 2s s3 3xyzs sxs sys sz第七章 应力状态与强度理论单向应力状态： 一个主应力不为零的应力状态。 二向应力状态： 一个主应力为零的应力状态

4、。三向应力状态： 三个主应力都不为零的应力状态。As sxs sxt tzxs sxs sxBt txz第七章 应力状态与强度理论7 72 2 平面应力状态分析平面应力状态分析第七章 应力状态与强度理论等价等价s sxt txys syxyzxys sxt txys syO7 72 2 平面应力状态分析平面应力状态分析一、解析法一、解析法规定：s 截面外法线同向为正； t a绕研究对象顺时针转为正； a逆时针为正。图1设：斜截面面积为S，由分离体平衡得： Fn00cossinsinsincoscos22tstssSSSSSyxyxyx1 1、任意斜截面上的应力、任意斜截面上的应力xys sxt

5、 txys syOs sy yt txyxys sx xs sa at ta aa axyOtn图27 72 2 平面应力状态分析平面应力状态分析图1xys sxt txys syOs sy yt txyxys sx xs sa at ta aa axyOtn图2tsssss2sin2cos22xyyxyxtsst2cos2sin2xyyx考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：7 72 2 平面应力状态分析平面应力状态分析02cos22sin:000tsssxyyxdd令2 2、求极值、求极值yxxysst22tg0和两各极值：）、（由此的两个驻点：20101！极值正应力就是主应力 00t）22

6、22xyyxyxm inm axt ts ss ss ss ss ss s （ xys sxt txys syO7 72 2 平面应力状态分析平面应力状态分析xys sxt txys syO主主单元体单元体s1在剪应力相对的项限内，且偏向于sx 及sy大的一侧。0dd:1t令xyyxtss22tg1222x yyxminmaxt ts ss st tt t ）（01045 , 4成即极值剪应力面与主面min2max1 ;ssss 2s1s7 72 2 平面应力状态分析平面应力状态分析例例2 2 分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原 始单元体求极值应力0yxssPnxyWMtt2221

7、22xyyxyxtssssss）（tt2xyt txyCt tyxMCxyOt txyt tyx7 72 2 平面应力状态分析平面应力状态分析破坏分析ttsstt22minmax2xyyx）（tssts321;0;4522tg00sstyxxy0022tg11tssxyyxMPa200;MPa240:ssts低碳钢MPa300198;MPa960640MPa28098:bybLbtss灰口铸铁低碳钢铸铁7 72 2 平面应力状态分析平面应力状态分析tssttsssss2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyxtsstsss对上述方程消去参数（2），得：二

8、、图解法二、图解法 1 1、应力圆、应力圆xys sxt txys syOs syt txys sxs s t t xyOtn此方程为圆方程应力圆（或莫尔圆）7 72 2 平面应力状态分析平面应力状态分析建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）2 2、应力圆的画法、应力圆的画法在坐标系内画出点A(s x，txy)和B(sy，tyx) AB与sa 轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆；s sxt txys syxyOns s t t Os s t t CA(s sx ,t txy)B(s sy ,t tyx)x2 nD( s s , t t 7 72 2 平面应力状态分析

9、平面应力状态分析s sxt txys syxyOns s t t Os s t t CA(s sx ,t txy)B(s sy ,t tyx)x2 nD( s s , t t 3 3、单元体与应力圆的对应关系、单元体与应力圆的对应关系面上的应力(s ，t ) 应力圆上一点(s ，t )面的法线 应力圆的半径两面夹角 两半径夹角2 ；且转向一致。7 72 2 平面应力状态分析平面应力状态分析223122xyyxyxROCtssssss）（半径4 4、在应力圆上标出极值应力、在应力圆上标出极值应力22minmaxminmax22xyyxRtsssstt）（半径OCs s t t A(s sx ,t

10、 txy)B(s sy ,t tyx)x2 1 1mintmaxt2 0 0s s1s s2s s37 72 2 平面应力状态分析平面应力状态分析例例3 3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)4532532595150解：主应力坐标系如图)325,45(B)325,95(A在坐标系内画出点7 72 2 平面应力状态分析平面应力状态分析s s t t (MPa)(MPa)O20MPaBACs s34532532595150ABs s 1s s2解：0s s1s s2BAC2s0s s t t (MPa)(MPa)O20MPa7 72 2 平面应力状态分析平面应力状态分析AB 的

11、垂直平分线与 轴的交点C 便是圆心，以C为圆心，以AC 为半径画圆应力圆s s3s s1s s2BAC2s0s s t t (MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图020120321sss3004532532595150s s 10s s2AB7 72 2 平面应力状态分析平面应力状态分析tsst2cos2sin2xyyx4532532595150解法2解析法：分析建立坐标系如图xyyxyttsMPa325MPa45?xs222122xyyxyxtssssss）（60MPa325MPa956060tsxyO7 72 2 平面应力状态分析平面应力状态分析zzxyIbQStzxIMys1

12、2345P1P2q如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。单元体：223122xyxxtssss）（7 72 2 平面应力状态分析平面应力状态分析三、主应力迹线三、主应力迹线2 21 1s s1 1s s3 3s s3 33 3s s1 1s s3 34 4s s1 1s s1 1s s3 35 50450s st tA1A2D2D1COs sA2D2D1CA1Ot t20s st tD2D1CD1O20= 90s sD2A1Ot t20CD1A2s st tA2D2D1CA1O7 72 2 平面应力状态分析平面应力状态分析拉力压力主应力迹线

13、（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。s s1s s3s s1s s37 72 2 平面应力状态分析平面应力状态分析qxy主应力迹线的画法：主应力迹线的画法：11 1截面截面22截面截面33 3截面截面44 4截面截面ii i截面截面nn n截面截面bacds s1s s3s s3s s17 72 2 平面应力状态分析平面应力状态分析7 73 3 空间应力状态分析空间应力状态分析第七章 应力状态与强度理论s s2s s1xyzs s31s2s3sst一、空间应

14、力状态一、空间应力状态7 73 3 空间应力状态分析空间应力状态分析1 1、三向应力分析、三向应力分析弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图图a图图b整个单元体内的最大剪应力为：t tmax231maxssts s2s s1xyzs s31s2s3sst7 73 3 空间应力状态分析空间应力状态分析例例4 4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）解：由单元体图知：y z面为主平面501s建立应力坐标系如图，画应力圆和点s1,得:275058321sss44maxt5040 xyz3010 (M Pa)s s （M Pa ）t t A

15、BCABs s1s s2s s3t tmax7 73 3 空间应力状态分析空间应力状态分析（30，- 40）（0，40）1 1、单向应力状态、单向应力状态-应变关系应变关系ExxsxyEsxzEs2 2、纯剪切应力状态、纯剪切应力状态-应变关系应变关系Gxyxyt) 0 x,y,z(i,jij)( 0 x,y,zii0zxyzxyzs sxxyzt t x y二、广义虎克定律二、广义虎克定律7 73 3 空间应力状态分析空间应力状态分析3 3、复杂应力状态下的应力、复杂应力状态下的应力 - - 应变关系应变关系依叠加原理,得:zyxzyxxEEEEssssss1 xzyyEsss1yxzzEs

16、ss1GxyxytGyzyztGzxzxtzyxxEsss1 xyzs szs syt txys sx7 73 3 空间应力状态分析空间应力状态分析主应力主应力 - - 主应变关系主应变关系4 4、平面应力状态下的应力、平面应力状态下的应力-应变关系应变关系: :0zxyzztts13221sssE12331sssE32111sssExyxyGtyxxEs21xyyEs21s s1s s3s s27 73 3 空间应力状态分析空间应力状态分析三、体积应变与应力分量间的关系三、体积应变与应力分量间的关系321aaaV)1 ()1 ()1 (3322111aaaV3211VVV体积应变：)(21

17、)(21321zyxEEssssss体积应变与应力分量间的关系:s s1s s3s s2a1a2a37 73 3 空间应力状态分析空间应力状态分析例例7 7 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6， 2=16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。03 :s自由面上解MPa3 .4410)1603 . 0240(3 . 0110210 16292121sE所以，该点处的平面应力状态1s2s7 73 3 空间应力状态分析空间应力状态分析例例7 7 已知：1=24010-6， 2=16010-6，弹性模量E=2

18、10GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。MPa3 .4410)1603 . 0240(3 . 0110210 16292121sE解：MPa3 .2010)2403 . 0160(3 . 0110210 16291222sE1s2s7 73 3 空间应力状态分析空间应力状态分析669132103 .3410)3 .443 .22(102103 . 0ssE;MPa3 .20; 0;MPa3 .44321sss 334 2. 7 73 3 空间应力状态分析空间应力状态分析例例8 8 图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向

19、应变 t =350l0-6，若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。pppxs1smlpODxABy图a7 73 3 空间应力状态分析空间应力状态分析1、轴向应力:解：容器的环向和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程42DpDmss4pDmps sms smxD图b7 73 3 空间应力状态分析空间应力状态分析用纵截面将容器截开，如图c所示2、环向应力Dlplts2s2pDt3、求内压（以应力应变关系求之）ss241EpDEmttMPa3

20、6. 3)25. 02(5 . 01035001. 0102104 )2(469DEptst sm外表面yp ps s t ts s t tDqdq)d2(Dlpz图cO7 73 3 空间应力状态分析空间应力状态分析7 74 4 材料的破坏形式材料的破坏形式第七章 应力状态与强度理论1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁P PP P铸铁拉伸 P P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP7 74 4 材料的破坏形式材料的破坏形式二、强度理论：是关于“构件发生强度失效起因”的假说。1、伽利略播下了第一强度理论的种子；三、材料的破坏形式： 屈服； 断裂 。2、马里奥特关于变形

21、过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽；3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪应力理论；4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论；这是后来人们在他的书信出版后才知道的。7 74 4 材料的破坏形式材料的破坏形式7 75 5 强度理论强度理论第七章 应力状态与强度理论一、最大拉应力（第一强度）理论：一、最大拉应力（第一强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。1、破坏判据：0)( ; 11 s ss ss sb2、强度准则： 0)( ; 11 s ss ss s3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。 7 75 5 强度理论强度理论

22、四个强度理论二、最大伸长线应变（第二强度）理论：最大伸长线应变（第二强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。1、破坏判据：0)( ; 11 b2、强度准则：3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。 EEbs ss ss s s s 32111 bs ss ss s s s 321 s ss ss s s s 3217 75 5 强度理论强度理论三、最大剪应力（第三强度）理论：三、最大剪应力（第三强度）理论： 认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。1、破坏判据：st t

23、t t max3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。 sst ts ss ss st t 2231maxss ss ss s 312、强度准则： s ss ss s 317 75 5 强度理论强度理论s s2s s3s s 1图图 a图图 cs s3 -s sms s 1-s sms s2-s sms sm图图 bs sms sm7 75 5 强度理论强度理论四、形状改变比能（第四强度）理论：四、形状改变比能（第四强度）理论：变形比能变形比能 = 体积变形比能体积变形比能 + 形状变形比能形状变形比能体积改变形状改变txuuuxtuuu图图 cs s3 -s sms s 1-s sms s

24、2-s sm7 75 5 强度理论强度理论332211212121sssu312321232221221sssssssssE11122232tmmmmmmmmus s s s )(31321ssssm12312312()Esss21323222161ssssssEux单元体的应变能为：图c称为形状改变比能或歪形能。图图 cs s3 -s sms s 1-s sms s2-s sm7 75 5 强度理论强度理论222123123213122uEsss s ss ss s2123126tuEsssxtuuu形状改变比能（第四强度）理论：形状改变比能（第四强度）理论： 认为构件的屈服是由形状改变比能

25、引起的。当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时，构件就破坏了。1、破坏判据：xsxuu max2、强度准则3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。 21323222161s ss ss ss ss ss s Eux ss ss ss ss ss ss ss s 21323222121 s ss ss ss ss ss ss s 213232221217 75 5 强度理论强度理论相当应力：（强度准则的统一形式）相当应力：（强度准则的统一形式） ss其中，s *相当应力。1*1ss3212ssss213232221421sssssss313sss nsssss, 2 . 0b3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件及其拉压极限强度不等处于复杂应力状态的脆性材料破坏（岩石、混凝土等）。 7 75 5 强度理论强度理论强度计算的步骤：强度计算的步骤：1、外力分析：确定所需的外力值。2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体，求主应力。4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，