中南大学大学物理课件第七章机械波

1、波动波动是一切微观粒子的属性，是一切微观粒子的属性，与微观粒子对应的波称为与微观粒子对应的波称为物质波物质波。各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，有类似的波动方程。有类似的波动方程。机械振动在介质中的传播称为机械振动在介质中的传播称为机械波机械波。声波、水波声波、水波7-1 机械波的产生和传播机械波的产生和传播一、机械波的产生条件一、机械波的产生条件1 1、有作机械振动的物体，即、有作机械振动的物体，即波源波源2、有能够传播这种振动的、有能够传播这种振动的介质介质纵波和横波纵波和横波横波横波质点质点振动方向与传播方向垂直，如电磁波振动方向与传播方

2、向垂直，如电磁波纵波纵波质点质点振动方向与传播方向相同，如声波。振动方向与传播方向相同，如声波。二、机械波的分类二、机械波的分类弹性介质弹性介质由弹性力组合的连续介质。由弹性力组合的连续介质。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 14 151617 1819 20 2122 2324 252627 28 2930 313233 34 35 36u1）横波传播时有波峰波谷；）横波传播时有波峰波谷；2）波源每完成一次全振动，沿着波传播的方向传）波源每完成一次全振动，沿着波传播的方向传 出一个完整的波。出一个完整的波。3）波的传播不是质点的传播，而是相位和能量）波的传播不是质点的传

3、播，而是相位和能量 的传播的传播0 t4/Tt 2/Tt 43 /Tt Tt 45 /Tt 结论结论：机械波向外传播的是波源（及各质点）：机械波向外传播的是波源（及各质点） 的的振动状态振动状态和和能量能量。波面波面在波的传播过程中任一时刻振动位相相同的在波的传播过程中任一时刻振动位相相同的点所组成的面。点所组成的面。波前（波阵面）波前（波阵面）-某时刻波源最初的振动状态传到的某时刻波源最初的振动状态传到的波面。或在波的传播过程中波面。或在波的传播过程中, ,离波源最远的离波源最远的, ,即最前面即最前面的波面的波面. .波线（波射线）波线（波射线）-代表波的传播方向的射线。代表波的传播方向的

4、射线。各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直. . 沿波线方向各质点的振动相位依次落后。沿波线方向各质点的振动相位依次落后。波线波线波面波面波面波面波线波线平面波平面波球面波球面波波面波面波线波线波线波线波波面面波的周期波的周期和频率和频率波的周期：波前进一个波的周期：波前进一个波长的距离波长的距离所需的时间，用所需的时间，用T表示。表示。波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波 的数目的数目，用，用 表示。表示。波长波长 同一波线上相邻的位相差为同一波线上相邻的位相差为2 的两质点的距离的两质点的距离。三、描述

5、波的物理量三、描述波的物理量 12 T振动状态（即位相）在单位时间内传播振动状态（即位相）在单位时间内传播的距离称为的距离称为波速波速 ，也称之，也称之相速相速。波速波速 u Gu 在固体媒质中在固体媒质中纵波纵波波速为波速为 Yu G、 Y为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量 为介质的密度为介质的密度在固体媒质中在固体媒质中横波横波波速为波速为在同一种固体媒质中，在同一种固体媒质中，横波横波波速比波速比纵波纵波波速小些波速小些 Tu T为弦中张力，为弦中张力， 为弦的线密度为弦的线密度在弦中传播的在弦中传播的横波横波波速为波速为: :在液体和气体只能传播在液体

6、和气体只能传播纵波纵波，其波速为：，其波速为： Bu B为介质的容变弹性模量为介质的容变弹性模量 为密度为密度理想气体理想气体纵波纵波声速声速: :molMRTu 为气体的定为气体的定压压摩尔热容摩尔热容与定容摩尔热容与定容摩尔热容比，比，Mmol为气体的摩尔质量，为气体的摩尔质量，T为热力学温度，为热力学温度， R为气体的普适常数，为气体的普适常数， 为气体的密度为气体的密度 uuT 介质决定介质决定波源决定波源决定找到一个方程式描述介质中任一质点任一时刻的找到一个方程式描述介质中任一质点任一时刻的振动状态振动状态一、平面简谐波的一、平面简谐波的波函数波函数平面简谐波平面简谐波: :简谐波的

7、波面是平面。简谐波的波面是平面。7-2 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数一平面简谐波在理想介质中沿一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播，轴正向传播，x轴即为某一波线轴即为某一波线简谐波简谐波: :波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。),(xtyy 波函数波函数设原点振动表达式：设原点振动表达式：)cos(0 tAyxypuOxy表示任意的表示任意的P质点偏离平衡位置的质点偏离平衡位置的位移位移x为为p点在点在x轴的坐标轴的坐标p点的振动方程：点的振动方程：0,c

8、os()xtup txyyAtut 时刻时刻p处处质点的振动状态重复质点的振动状态重复uxt 时刻时刻O处处质点的振动状态质点的振动状态p点振动比点振动比O点振动晚点振动晚 uxt 沿沿x轴正向轴正向传播的平面简谐波的波动方程传播的平面简谐波的波动方程是否一定要知道波源的振动方程呢？是否一定要知道波源的振动方程呢？)cos(tAyb)(costtAy)(cosudxtAy已知已知b点振动方程：点振动方程：任一点任一点p比比b点晚振动点晚振动udxt/ )( xuOpXybd其波动方程：其波动方程：即：即：u若是左行波：若是左行波： p点只不过比点只不过比b点早振动一段时间：点早振动一段时间：其

9、波动方程：其波动方程：)(cosudxtAycos2 ()txyAT)22cos xtAy)(2cos xutAy)(cos xutkA 2 k波矢波矢， 表示在表示在2 长度内所具有的完整波的数目。长度内所具有的完整波的数目。沿沿x轴负向轴负向传播的传播的平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程cos()xyAtu二、二、波函数波函数的物理意义的物理意义)(cos uxtAy1、如果给定、如果给定x，即即x=x0yOtTTx0处质点的振动初相为处质点的振动初相为 02 x 02 x为为x0处质点落后于原点的位相处质点落后于原点的位相为为x0处质点的振动方程处质点的振动方程则则y=y(t) )

10、2(cos)(0 xtAty若若x0= 则则 x0处质点落后于原点的位相为处质点落后于原点的位相为2 是波在空间上的周期性的标志是波在空间上的周期性的标志2、如果给定、如果给定t，即即t=t0 则则y=y(x) 221212xxx )(cos0 uxtAy表示给定时刻波线上各质表示给定时刻波线上各质点在同一时刻的位移分布点在同一时刻的位移分布,即给定了即给定了t0 时刻的波形时刻的波形同一波线上任意两点的振动位相差同一波线上任意两点的振动位相差XYOux1x2 21212Tt)tt( 同一质点在相邻两时刻的振动位相差同一质点在相邻两时刻的振动位相差T是波在时间上的是波在时间上的周期性的标志周期

11、性的标志3.如如x,t 均变化均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形包含了不同时刻的波形)(cos)( uxtAxyxyuOxtt tx )(cos),( utuxttAttxxyt时刻的波形方程时刻的波形方程t+ t时刻的波形方程时刻的波形方程)(cos)( uxttAxyt时刻时刻,x处的某个振动状态经过处的某个振动状态经过 t ，传播了，传播了 x的距离的距离)(cos uxtA)t , x( y)tt , xx( y 在时间在时间 t内整个波形沿波的内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离传播方向平移了一段距离 x行波行波) t , x( y) tt , xx( y xyuOxtt

12、tx )(cos222 uxtAty22222221)(costyuuxtuAxy 222221tyuxy 三、三、平面简谐波平面简谐波的波动方程的波动方程沿沿x方向传播的方向传播的平面波平面波波动波动方程。方程。)(cos),( uxtAtxy求求t 的二阶导数的二阶导数求求x的二阶导数的二阶导数物理量物理量 在三维空间中以波的形式传播，在三维空间中以波的形式传播，其波动方程的一般形式为：其波动方程的一般形式为： zyx, 2222222221tuzyx 2222222zyx 拉普拉斯算符拉普拉斯算符22221tu 平面波的波动微分方平面波的波动微分方程程波动媒质中一体积元波动媒质中一体积元

13、 中的能量中的能量V 以一个平面简谐纵波为例来说明以一个平面简谐纵波为例来说明一一、波的能量、波的能量 波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。动能量的传播。7-3 波的能量波的能量Vm xxxyxyyyu )(cosuxtAy1）体积元的动能）体积元的动能sin()yxvAttu 区分波速和振动速度 )(sin21212222uxtVAmvwk2）体积元的势能）体积元的势能 )(sin21222uxtVAwP3）体积元的总能量）体积元的总能量PKwww )(sin222uxtVA体元中的能量是随时间变化的（非弧立系统）体元中的能量是随时间

14、变化的（非弧立系统）波动过程是一个能量传播的过程。波动过程是一个能量传播的过程。波动过程中，体元中的动能与势能波动过程中，体元中的动能与势能“同相同相”-”-同同 时达到最大，同时达到最小。时达到最大，同时达到最小。 定量定量分析分析)(cosuxtAy)(sinuxtAtyv速度最大时：速度最大时：2) 12()(Kuxt0y质点过平衡位置时动能最大。质点过平衡位置时动能最大。此时的相对形变（应变）此时的相对形变（应变）uAuxtuAxy)(sin也最大！也最大！同理可证：质元动能最小时，势能也最小。同理可证：质元动能最小时，势能也最小。0 为为方方便便令令能量密度：能量密度：介质单位体积内

15、的能量。介质单位体积内的能量。222sin ()VExwAtu平均能量密度平均能量密度 一个周期内能量密度的平均值。一个周期内能量密度的平均值。2221 Aw dtuxtATwdtTwTT)(sin112202 0 T2sin02dVuxtAw )(sin222 二二、能量密度、能量密度能流能流: :单位时间内通过介质中某一单位时间内通过介质中某一 截面的能量。截面的能量。三、三、能流和能流密度能流和能流密度wSudtpwSusdt， 为截面积平均能流平均能流：在一个周期内能流的平均值。在一个周期内能流的平均值。pwuS能流密度（或称为：波的强度）能流密度（或称为：波的强度）：通过垂直于波动传

16、播方向的单位面积的平均能量通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。uwSpI uA2221 udtuS2221 Aw Iwu波的吸收波的吸收波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。xeII 20 是是介介质质的的吸吸收收系系数数 波强的衰减规律：波强的衰减规律：处处波波的的强强度度和和分分别别是是、xxxII 00例例7-5:7-5:在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变在行进方向上振幅不变在一个周期在

17、一个周期T内通过内通过S1和和S2面的能量应该相等面的能量应该相等,2211TSITSI SSS 21TSAuTSAu222212122121 21AA u1S2S所以所以, ,平面波振幅相等。平面波振幅相等。2224 rS 2211rArA 2114 rS 所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离的振幅为位距离的振幅为A0 则距波源则距波源r 处的振幅为处的振幅为A0 /r由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：与平面波类似，球面简谐波的波函数：)(cos0 urtrA

18、yTSAuTSAu222212122121 在均匀不吸收能量的媒质中传播的球在均匀不吸收能量的媒质中传播的球面波的振幅与离波源的距离成反比。面波的振幅与离波源的距离成反比。1r2r1S2S三三*、声波声波* *在弹性媒质中在弹性媒质中, ,如果波源所激起的纵波的频率在如果波源所激起的纵波的频率在20-20-2000020000HzHz之间，就能引起人的听觉之间，就能引起人的听觉. .在这一范围内的在这一范围内的振动称为振动称为声振动声振动. .由声振动所激起的纵波称为由声振动所激起的纵波称为声波声波. .频率高于频率高于2000020000HzHz的机械波称为的机械波称为超声波超声波. .频率

19、低于频率低于2020HzHz的机械波称为的机械波称为次声波次声波. .1. 1. 声压、声强和声强级声压、声强和声强级声压声压: :介质中有声波传播时的压强与无声波时的静介质中有声波传播时的压强与无声波时的静压强之间的差值压强之间的差值. .)(sinuxtAup )(sin uxtpm对平面简谐声波对平面简谐声波: :引起痛觉的声音引起痛觉的声音炮炮 声声铆铆 钉钉 机机交通繁忙的亍道交通繁忙的亍道通通 常常 谈谈 话话耳耳 语语引起听觉的最低声音引起听觉的最低声音树树 叶叶 沙沙 沙声沙声声声 源源声强（声强（W m-2）响响 度度1110-210-510-610-1010-1110-12

20、震耳震耳响响正常正常轻轻极轻极轻声强声强: :声波的能流密度声波的能流密度. .22221uAIB B）声波的声强不大，大小相差十几个数量级。声波的声强不大，大小相差十几个数量级。声强级（声强级（L L）定义：某声波的声强为定义：某声波的声强为I I，则声强级：则声强级：0lgIIL )/10(2120mWII I0 0为人耳听得到的最小声强（标准声强）为人耳听得到的最小声强（标准声强）（B B）单位：贝尔（单位：贝尔（BelBel）)(lg100dBIIL 或或“分贝分贝”A A）人耳听觉的范围为人耳听觉的范围为20-2000020-20000H HZ Z，且有一听阈且有一听阈注意：注意：引

21、起痛觉的声音引起痛觉的声音炮炮 声声铆铆 钉钉 机机交通繁忙的亍道交通繁忙的亍道通通 常常 谈谈 话话耳耳 语语引起听觉的最低声音引起听觉的最低声音树树 叶叶 沙沙 沙声沙声声声 源源声强（声强（W m-2）1110-210-510-610-1010-1110-12声强级声强级dB震耳震耳响响正常正常轻轻极轻极轻120100706020100120有的地方规定户外噪声不得超过有的地方规定户外噪声不得超过100分贝分贝7-4 惠更斯原理惠更斯原理 波的衍射波的衍射 反涉反涉 折射折射一一、惠更斯原理惠更斯原理 惠更斯原理惠更斯原理： 介质中波阵面（波前）介质中波阵面（波前）上的各点，都可以看作上

22、的各点，都可以看作为发射子波的波源，其为发射子波的波源，其后任一时刻后任一时刻, ,这些子波的这些子波的包迹便是新的波阵面。包迹便是新的波阵面。平面波平面波t+ t时刻波面时刻波面u t波传播方向波传播方向t时刻波面时刻波面球面波球面波 tt + tt时刻波面时刻波面 t+ t时刻波面时刻波面波的传播方向波的传播方向惠更斯惠更斯-菲涅耳原理解释了波为什么不向后传的问题，这是惠更斯原理所无法解释的。菲涅耳原理解释了波为什么不向后传的问题，这是惠更斯原理所无法解释的。如你家在大山后如你家在大山后, ,听广播和看电听广播和看电视哪个更容易视哪个更容易? (? (若广播台、电若广播台、电视台都在山前侧

23、视台都在山前侧) )二二、波的、波的衍射衍射衍射（绕射）衍射（绕射）-波动在传播过程中遇到障碍物时波动在传播过程中遇到障碍物时能绕过障碍物的边缘前进的现象能绕过障碍物的边缘前进的现象“室内讲话，墙外有耳室内讲话，墙外有耳”水波的衍射水波的衍射AA2A3A1B1B2B3dtu 32d3dB三三、波的、波的反射和折射反射和折射t时刻时刻时刻时刻tt 7-5 7-5 波的干涉波的干涉 各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性（频率、波长、振动方向、传播方向等）不变，（频率、波长、振动方向、传播方向等）不变，与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振与各波单独传播时

24、一样，而在相遇处各质点的振动则是各列波在该处激起的振动的合成。动则是各列波在该处激起的振动的合成。波传播的波传播的独立性原理独立性原理或波的或波的叠加原理叠加原理：说明说明： 振动的叠加仅发生在单一质点上振动的叠加仅发生在单一质点上 波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上能分辨不同的声音正是这个原因能分辨不同的声音正是这个原因一一、波的叠加原理波的叠加原理 两列波若两列波若频率相同频率相同、振动方向相同振动方向相同、在相遇点的、在相遇点的位相相同或位相差恒定位相相同或位相差恒定，则合成波场中会出现某些点，则合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一点的

25、振动始终减弱（或完全抵的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵消），这种现象称为消），这种现象称为波的干涉波的干涉。相干条件相干条件1r2r1S2Sp具有具有恒定的相位差恒定的相位差振动方向相同振动方向相同两波源具有两波源具有相同的频率相同的频率满足相干条件的波源称为满足相干条件的波源称为相干波源相干波源。波的干涉波的干涉波的干涉之波的干涉之模拟演示图模拟演示图波的干涉之波的干涉之模拟演示图模拟演示图传播到传播到p点引起的振动分别为：点引起的振动分别为： )cos(1110 tAy)cos(2220 tAy在在p点的振动为同点的振动为同方向同频率振动方向同频率振动的合成。的合成。设有两个

26、相干波源设有两个相干波源S1和和S2发出的简谐波在空间发出的简谐波在空间p点相遇。点相遇。 合成振动为：合成振动为：)cos(21 tAyyy1r2r1S2Sp)2cos(1111rtAy )2cos(2222rtAy cos22122212AAAAA其中：其中：)(21212rr )cos( tAy 对空间不同的位置，都有恒定的对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象干涉现象。 由于波的强度正比于振幅的平方，所以合振动的强度为：由于波的强度正比于振幅的平方，所以合振动的强度为：cos22121IIIII,.3 , 2 ,

27、 1 , 0 1)(2k21212 krr 21maxAAAA |21minAAAA 相长干涉的条件相长干涉的条件：相消干涉的条件相消干涉的条件：,.3 , 2 , 1 , 0 2k21212 krr cos22121IIIII cos22122212AAAAA2121max2IIIIII2121min2IIIIII当当两相干波源为同相波源两相干波源为同相波源时，相干条件写为时，相干条件写为,.3 , 2 , 1 , 0,12 kkrr ,.3 , 2 , 1 , 0,2) 12(12 kkrr 相长干涉相长干涉相消干涉相消干涉 称为波程差称为波程差例题例题 位于位于A、B两点的两个波源，振幅

28、相等，频两点的两个波源，振幅相等，频率都是率都是100赫兹，相位差为赫兹，相位差为 ，其，其A、B相距相距30米，米，波速为波速为400米米/ /秒，求秒，求: :A、B连线之间因相干干涉而连线之间因相干干涉而静止的各点的位置。静止的各点的位置。解：如图所示，取解：如图所示，取A点为坐标原点，点为坐标原点，A、B联线为联线为X轴，轴，取取A点的振动方程点的振动方程 : :)cos( tAyA在在X轴上轴上A点发出的行波方程：点发出的行波方程：)2cos( xtAyA B点的振动方程点的振动方程 : :)0cos( tAyB BAXxm30 x30O)2cos( xtAyA B点的振动方程点的振

29、动方程 : :)0cos( tAyB 在在X轴上轴上B B点发出的行波方程：点发出的行波方程：)30(20cos xtAyB 因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为静止的点满足：为静止的点满足： )()(123022 kxx,.2, 1, 0 kBAXxm30 x30O整理上式则相干相消的点需满足：整理上式则相干相消的点需满足：kx 230mu4 因为因为：,.2, 1, 0215 kkxmx29,27,25,.9 , 7 , 5 , 3, 1 )12()30(22 kxx,.2, 1, 0 kBAXxm30 x30O7-6 驻波驻波二、驻波

30、方程二、驻波方程)2cos(1 xtAy )2cos(2 xtAy txAyyy cos2cos221 xAxA2cos2)( 一、驻波的产生：一、驻波的产生： 驻波是两列驻波是两列振幅、频率相同振幅、频率相同，但，但传播方向相反传播方向相反的简谐波的叠加。的简谐波的叠加。驻波方程驻波方程)x, t ( y)tux, tt ( y 函数不满足函数不满足它不是行波它不是行波 它表示各点都在作它表示各点都在作简谐振动简谐振动，各点振动的频，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。不同而不同。 驻波的驻波的特点特点：不是振动的传播，

31、而是媒质中各质：不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。点都作稳定的振动。txAy cos2cos2 12cos x xAxA2cos2)( 振振幅幅最最大大，波波腹腹AxA2)( kx 2,kkx2102 02cos x振振幅幅最最小小，波波节节0)( xA )k(x212 , 2 , 1 , 04)12( kkx 1 1、波腹与波节、波腹与波节 驻波振幅分布特点驻波振幅分布特点txAy cos2cos2 相邻波腹间的距离为：相邻波腹间的距离为：221 k|kx相邻波节间的距离为：相邻波节间的距离为：2 x相邻波腹与波节间的距离为：相邻波腹与波节间的距离为： 4 因此可用测量波腹间的

32、距离，来确定波长。因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。,kkx2102 波波腹腹, 2 , 1 , 04)12( kkx 波波节节2、驻波的位相的分布特点、驻波的位相的分布特点 时间部分提供的相位对于所有的时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的，是相同的，而空间变化带来的相位是不同的。而空间变化带来的相位是不同的。在在波节两侧点的振动相位相反波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最。同时达到反向最大或同时达到反向最小。速度方向相反。大或同时达到反向最小。速度方向相反。两个两个波节之间的点其振动相位相同波节之间的点其振动相位相同。同时达到最。同时达到最大或同时达到最小。速度方向相同。大或同时

33、达到最小。速度方向相同。txAy cos2cos2 3、驻波能量、驻波能量驻波振动中无位相传播，也无能量的传播驻波振动中无位相传播，也无能量的传播一个波段内不断地进行动能与势能的相互转换，一个波段内不断地进行动能与势能的相互转换，并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。当波当波从波疏媒质垂直入射到从波疏媒质垂直入射到波密媒质波密媒质界面上反射时，界面上反射时，有有半波损失半波损失，形成的驻波在界，形成的驻波在界面处是面处是波节波节。三、半波损失三、半波损失入射波在反射时发生反相的现象称为半波损失。入射波在反射时发生反相的现象称为半波损失。折射

34、率较大的媒质称为折射率较大的媒质称为波密媒质波密媒质；折射率较小的媒质称为折射率较小的媒质称为波疏媒质波疏媒质. .有半波损失有半波损失无半波损失无半波损失当波当波从波密媒质垂直入射到波从波密媒质垂直入射到波疏媒质疏媒质界面上反射时，界面上反射时，无半波无半波损失损失，界面处出现，界面处出现波腹波腹。,.3 , 2 , 1,2 nLunn ,.3 , 2 , 1, nu ,.3 , 2 , 1,2 nnLn 在绳长为在绳长为l 的绳上形成驻波的波长必须满足下列条件：的绳上形成驻波的波长必须满足下列条件：四、振动的四、振动的简正模式简正模式 即弦线上形成的驻波波长、频率均不连续。这些即弦线上形成

35、的驻波波长、频率均不连续。这些频率称为弦振动的频率称为弦振动的本征频率本征频率，对应的振动方式称为该，对应的振动方式称为该系统的系统的简正模式简正模式（Normal mode).对应对应k=2,3,的频率为的频率为谐频，谐频，产生的音称为产生的音称为谐音谐音(泛音泛音)。最低的频率最低的频率(k=1)称为称为基频，基频，产生的一个音称为基音；产生的一个音称为基音；,.3 , 2 , 1,2 nnLn 或或7-7 多普勒效应多普勒效应一、多普勒效应一、多普勒效应 观察者接受到的频率有赖于观察者接受到的频率有赖于波源波源或或观察者观察者运动的现象，称为运动的现象，称为多普勒效应多普勒效应。 波源的

36、频率波源的频率u波在介质中的速度波在介质中的速度选介质为参考系选介质为参考系波源和观察者的运动在两者的连线上波源和观察者的运动在两者的连线上表示表示观察者相对于介质观察者相对于介质的运动速度。的运动速度。0v 观察者接受到的频率观察者接受到的频率表示表示波源相对于介质波源相对于介质的运动速度。的运动速度。sv一）波源与观察者均相对媒质静止一）波源与观察者均相对媒质静止ut时刻的波阵面时刻的波阵面t+1秒时刻的波阵面秒时刻的波阵面 uTuu接收的频率就是波源接收的频率就是波源振动的频率振动的频率观察者观察者 二）波源不动，观察者以速度二）波源不动，观察者以速度 相对媒质运动相对媒质运动Ovt时刻的波阵面时刻的波阵面ovuuTvuvuoo )1(uvo 接收频率提高！接收频率提高！t+1秒时刻的波阵面秒时刻的波阵面1 1）观察者观察者朝向波源运动朝向波源运动2 2）观察者背向波源运动）观察者背向波源运动t t时刻的波阵面时刻的波阵面ovu ut+t+1 1秒时刻秒时刻的波阵面的波阵面 ovu )1(uvo uTvuo 接收频率降低了！接收频率降低了！三）观察者静止，波源以速率三）观察者静止，波源以速率 运动运动Sv先看波源与观察者都静止时的情况先看波源与观察者都静止时的情况u